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第一讲 等腰三角形
一、单选题
1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）．
A．过顶点的直线 B．底边上的高
C．底边的中线 D．顶角平分线所在的直线
2．等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个角的度数分别为（ ）
A．65°,65° B．50°,80° C．65°,65°或50°,80° D．50°,50°
3．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（ ）
A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100° C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°
4．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
5．如图，在△ABC中，D、E分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（ ）21·cn·jy·com
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A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
6．如图，C为线段AE上一动点（不与A ( http: / / www.21cnjy.com )、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤
7．连接正五边形A1，A ( http: / / www.21cnjy.com )2，A3，A4，A5对角线交出一个正五边形B1，B2，B3，B4，B5．则以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形（ ）个．21教育网
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A．25 B．30 C．35 D．40
8．如图，等边中，，与相交于点，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
9．如图，A、B两点在正方形网格的格点上 ( http: / / www.21cnjy.com )，每个方格都是边长为1的正方形．点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（ ）个．2·1·c·n·j·y
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A．3 B．5 C．8 D．10
10．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（ ）2-1-c-n-j-y
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
11．如图所示，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是（ ）．
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A．90° B．120° C．135° D．150°
12．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC= ∠ADC=70，则∠DAO+∠DCO的大小是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．70 B．110 C．140 D．150
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．3 B．2 C． D．1
二、填空题
14．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积为__________
15．（1）已知，点P在OA上，且，点P关于直线OB的对称点是Q，则________．
（2）已知，点P在的内部，，点和点P关于OA对称，点和点P关于OB对称，则、O、三点构成的三角形是________三角形，其周长为________．
16．（1）如图所示，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于点M，交AC于点N，若，则线段MN的长为________．21*cnjy*com
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（2）如图所示，已知，和的平分线相交于点O，，，则 的周长为________．
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17．如图，AB=AC=4cm，DB＝DC，若∠ABC为60°，则BE为________．
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18．（1）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm则该等腰三角形的底边长为________．
（2）已知等腰三角形的两条边为10、16，那么它的周长等于________．
19．（1）等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为________．
（2）已知的周长为24，，于点D，若的周长为20，则AD的长为________．
（3）已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是________．
20．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是_________．
21．如图，在△ABC中，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为_______．【出处：21教育名师】
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22．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．
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三、解答题
24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°,AD=AE，求∠CDE的度数．
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25．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．21教育名师原创作品
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26．如图，在△ABC中，AB=AC，点，在边上，．求证：．
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27．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
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（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由.
（3）如果BC=10，求AB+AE的长.
28．两个全等的含30°，60° ( http: / / www.21cnjy.com )角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．21世纪教育网版权所有
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29．如图所示，在中，，，BE平分，CD垂直于BE交其延长线于点D，且于点F，交BE于点H．21cnjy.com
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（1）求证：．
（2）探究BH与CD的大小关系，并证明．
30．（1）如图（a）所示在等边中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边连接CN．求证：．21·世纪*教育网
（2）如图（b）所示，在等边中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）．若其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．21*cnjy*com
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31．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．【版权所有：21教育】
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
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（1）特殊情况，探索结论
当点为 的中点时，如图1，确定线段与 的大小关系，请你直接写出结论： （填“>”,“<”或“=”）. www-2-1-cnjy-com
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（2）特例启发，解答题目
32．（1）如图（a）所示点D是等边边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明．
（2）如图（b）所示当动点D运动至等边边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）
（3）①如图（c）所示，当动点D在等边边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边和等边，连接AF、，探究AF、与AB有何数量关系？并证明．
②如图（d）所示，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．
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第一讲 等腰三角形
一、单选题
1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）．
A．过顶点的直线 B．底边上的高
C．底边的中线 D．顶角平分线所在的直线
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】
根据轴对称图形的概念，等腰三角形的对称轴为顶角平分线所在的直线．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2．等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个角的度数分别为（ ）
A．65°,65° B．50°,80° C．65°,65°或50°,80° D．50°,50°
【答案】C
【分析】
根据分类讨论已知角是顶角还是底角，进行分析，从而得到答案
【详解】
解：当已知角是底角时，另外两个角分别为：50°，80°；
当已知角是顶角时，另外两个角分别是：65°，65°．
故应选C．21教育网
3．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（ ）
A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100° C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．
【详解】
解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+∠B=90°，
则2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定．解答该题时，一定要与三角形的内角和定理相结合．
4．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】D
【分析】
可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确．
【详解】
∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是边BC上的中垂线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC，
∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D．
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．2-1-c-n-j-y
5．如图，在△ABC中，D、E分别是AC ( http: / / www.21cnjy.com )、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（ ）21*cnjy*com
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A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
【答案】C
【分析】
①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
【详解】
解：有①②，①③，②④，③④，共4种，
①②，
理由是：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中 ，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
③④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故选C．
6．如图，C为线段AE上一动点（不与A ( http: / / www.21cnjy.com )、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤
【答案】D
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；www.21-cn-jy.com
②由△ACD≌△BCE得∠CB ( http: / / www.21cnjy.com )E=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE， ( http: / / www.21cnjy.com )再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴①正确，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：D．
7．连接正五边形A1，A2，A3， ( http: / / www.21cnjy.com )A4，A5对角线交出一个正五边形B1，B2，B3，B4，B5．则以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形（ ）个．21·cn·jy·com
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A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【分析】
分别计算出以正五边形的边为腰的等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形、以正五边形A1，A2，A3，A4，A5对角线为腰的等腰三角形、以A1B1为腰的等腰三角形、以A5B4为腰的等腰三角形的个数，然后即可得出答案．
【详解】
解；以正五边形的边为腰的等腰三角形有5+10=15个；
以正五边形A1，A2，A3，A4，A5对角线为腰的等腰三角形有5个
以A1B1为腰的等腰三角形有5+5=10个
以A5B4为腰的等腰三角形有5个，共35个．
故选C．
8．如图，等边中，，与相交于点，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题目已知条件利用SAS可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角的性质求解．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE＋∠CBE＝60°，
∴∠ABE＋∠BAD＝60°，
∴∠APE＝∠ABE＋∠BAD＝60°，
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质，三角形外角的性质，关键是利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的常考题．www-2-1-cnjy-com
9．如图，A、B两点在正方形网格的格点上， ( http: / / www.21cnjy.com )每个方格都是边长为1的正方形．点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（ ）个．【来源：21cnj*y.co*m】
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A．3 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【解析】
试题分析：根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．【版权所有：21教育】
解：如图所示：
①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有0个；
②点C以点B为标准，AB为底边，符合点C的有0个；
③点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C1、C3、C7，共3个；
④点C以点A为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C2、C4、C5，C6、C8共5个；
综上所述，所有符合条件的点C共有8个．
故选C．
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点评：此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．21教育名师原创作品
10．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
【答案】D
【解析】
试题分析：根据点P在等边△ABC内，而且△P ( http: / / www.21cnjy.com )BC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，
可知P点为等边△ABC的垂心；
因为△ABC是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故选D．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．
11．如图所示，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是（ ）．
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A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】D
【分析】
先设 ，得到 ， ， ，求和即可得到答案．
【详解】
设
∵
∴
∴
∵
∴根据等边三角形的性质得
∴
∴
∴在四边形ABCD中， ， ，
即：∠BCD是最大角，等于150°
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了四边形的角度问题，掌握等边三角形的性质求出各角的度数是解题的关键．
12．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC= ∠ADC=70，则∠DAO+∠DCO的大小是( )
A．70 B．110 C．140 D．150
【答案】D
【解析】
如图，延长BO至点E，
∵ OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，
∴∠OAB+∠OCB=∠OBA+∠OBC=∠ABC=70°，
∵∠AOE=∠OAB+∠OBA，∠COE=∠OCB+∠OBC，
∴∠AOE+∠COE=70°+70°=140°=∠AOC，
又∵在四边形AOCD中，∠DAO+∠AOC+∠DCO+∠ADC=360°，∠ADC=70°，
∴∠DAO+∠DCO=360°-140°-70°=150°.
故选D.
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13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
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A．3 B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】
连接AF，
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∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF．
∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°．
∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°．
∵DE=1，∴AE=2DE=2．
∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2．故选B．
二、填空题
14．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积为__________
【答案】4
【解析】
如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm，可求得BD=AB =4×=2，因此此三角形的面积为：S=AC BD=×4×2=8×=4（cm2）．
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故答案是：4．
15．（1）已知，点P在OA上，且，点P关于直线OB的对称点是Q，则________．
（2）已知，点P在的内部，，点和点P关于OA对称，点和点P关于OB对称，则、O、三点构成的三角形是________三角形，其周长为________．
【答案】2 等边 9
【分析】
（1）根据P，Q关于OB对称得出，再根据三角函数求出PH的长，即可求出PQ的长．
（2）连接，根据角平分线的性质和轴对称图形的性质得，再求出，即可证明是等边三角形，计算其周长即可．
【详解】
（1）如图
∵P，Q关于OB对称
∴ 于H
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为：2．
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（2）如图，连接
∵关于OA对称，关于OB对称
∴OA垂直平分 ，OB垂直平分
∴ ， ，
∵
∴
∴是等边三角形，其周长为
故答案为：等边，9．
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【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握三角函数的性质以及应用、角平分线的性质和轴对称图形的性质、等边三角形的性质和判定是解题的关键．
16．（1）如图所示，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于点M，交AC于点N，若，则线段MN的长为________．
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（2）如图所示，已知，和的平分线相交于点O，，，则 的周长为________．
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【答案】9 3
【分析】
（1）首先由平行和角平分线的性质得到相关的角对应相等，再根据等角对等边证明 ， ，然后再由 ，结合线段间的关系进行等量代换即可得到答案．
（2）如图，先根据角平分线的性质求出，再根据平行线的性质求出 ，通过等量代换可得 ，根据等腰三角形的判定定理及性质可得 ，即可解答．
【详解】
（1）∵
∴
∵BE平分
∴
∴
∴
同理可得：
∴
故答案为：9．
（2）如图，
∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴△OEF的周长
故答案为：3．
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【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及判定，掌握平行线的性质和角平分线的定义、等腰三角形的性质以及判定是解题的关键．21cnjy.com
17．如图，AB=AC=4cm，DB＝DC，若∠ABC为60°，则BE为________．
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【答案】2cm
【分析】
由题意可得AE为中垂线，进而可得BE的长．
【详解】
解：因为AB=AC，∠ABC=60°，
所以△ABC为等边三角形，
又DB=DC，
所以可得AE为△ABC的中垂线，
所以BE=BC=2cm
故答案为：2cm．
18．（1）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm则该等腰三角形的底边长为________．
（2）已知等腰三角形的两条边为10、16，那么它的周长等于________．
【答案】3cm 42或36
【分析】
（1）分3cm为底边和3cm为腰边两种情况讨论，即可求解．
（2）分三边为10，10，16和三边为10，16，16两种情况讨论，即可求解．
【详解】
（1）当3cm为底边时，腰为6cm，6cm能构成三角形；当3cm为腰边时，底边为9cm，则
故答案为：3cm．
（2）当三边为10，10，16时，周长为36；当三边为10，16，16时，周长为42
故答案为：36或42．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质以及三角形周长公式是解题的关键．
19．（1）等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为________．
（2）已知的周长为24，，于点D，若的周长为20，则AD的长为________．
（3）已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是________．
【答案】4cm或8cm 8
【分析】
（1）根据题意画出图形，由题意得 ，即可得 ，又由等腰三角形的底边长为6cm，即可求得答案．
（2）由△ABC的周长为24 ( http: / / www.21cnjy.com )得到AB，BC的关系，由△ABD的周长为20得到AB，BD，AD的关系，再由等腰三角形的性质知，BC为BD的2倍，故可解出AD的值．
（3）设底边长为y，再由三角形的三边关系即可得出答案．
【详解】
（1）如图， ，BD是中线
由题意得存在两种情况：①②
①，
∵
∴
②，
∵
∴
∴腰长为：4cm或8cm
故答案为：4cm或8cm．
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（2）∵△ABC的周长为24，
∴
∵
∴
∴
∴
∵的周长为20
∴
∴
故答案为：8．
（3）设底边长为y
∵等腰三角形的周长为24，腰长为x
∴
∴ ，即
解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质、三角形的周长定义、三角形的三边关系是解题的关键．
20．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是_________．
【答案】30°或150°
【分析】
分别考虑当三角形为锐角三角形和钝角三角形时的情况，即可得出答案.
【详解】
当三角形为锐角三角形时，
高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°；
当三角形为钝角三角形时，
此时垂足落到三角形外面，
∵三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为150°
故答案为：30°或150°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理。做题时要考虑全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键.
21．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为_______．
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【答案】2
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可求出△ABD的面积，再根据点E、F是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ABD的面积的，依此即可求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABD＝6，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S△BEF＝S△ABD＝2．
故答案为2.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质求出△ABD的面积是正确解答本题的关键．
22．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．
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【答案】2．
【解析】
角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质．
作EG⊥OA于F，
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∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°．
∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2．
23．如图，过边长为3的等 ( http: / / www.21cnjy.com )边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．21*cnjy*com
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【答案】．
【分析】
过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可．
【详解】
过P作PF∥BC交AC于F，
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∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=3，
∴DE．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
三、解答题
24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°,AD=AE，求∠CDE的度数．
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【答案】20°
【解析】
试题分析：根据等腰三角形三线合 ( http: / / www.21cnjy.com )一性质可得到AD同时还是顶角的角平分线和底边的高线，从而可求得∠CAD与∠ADC的度数，再根据AD=AE，利用三角形内角和定理可求得∠ADE的度数，从而不难求解．
试题解析：解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°
又∵AD="AE"
∴∠ADE==70°
∴∠CDE=90°—70°=20°
考点：等腰三角形的性质，三角形内角和
25．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
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【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：利用辅助线，连接A ( http: / / www.21cnjy.com )F，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF．
试题解析：连接AF，
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∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C==30°，
∵EF垂直平分AC，
∴FA=FC，
∴∠1=∠C=30°，
∴∠2=∠BAC－∠1=90°，
∴Rt△ABF中，BF=2AF，
∴BF=2CF．
考点：线段垂直平分线的性质．
26．如图，在△ABC中，AB=AC，点，在边上，．求证：．
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【答案】见解析
【解析】
试题分析：证明△ABE≌△ACD 即可.
试题解析：法1：
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AD=CE,
∴∠ADE=∠AED,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD ,
∴BD=CE,
法2：如图，作AF⊥BC于F,
∵AB=AC,
∴BF=CF,
∵AD=AE,
∴DF=EF,
∴BF－DF=CF－EF,
即BD=CE.
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27．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
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（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由.
（3）如果BC=10，求AB+AE的长.
【答案】（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC（2）垂直，理由见解析（3）10．
【分析】
（1）根据等腰三角形的定义判断；
（2）由题意可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；
（3）根据（2），可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10．
【详解】
（1）△ABC等腰直角三角形，B ( http: / / www.21cnjy.com )E为角平分线；易证△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形；∠C＝45°，ED⊥DC，△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）AD与BE垂直．
证明：由BE为∠ABC的平分线，
知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，AE＝DE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∵A、D是对称点，
∴AD⊥BE；
（3）∵△ABD，△ADE，△EDC是等腰三角形
∴AB＝BD，AE＝DE＝DC，
∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10．
【点睛】
此题考查了学生对等腰三角形判定和性质的掌握以及在学习过程中对三角形知识的总结和认识．
28．两个全等的含30° ( http: / / www.21cnjy.com )，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
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【答案】△EMC是等腰直角三角形，证明见解析
【分析】
欲判断△EMC的形状，需知道其三边关系．根据题意需证EM＝CM，由此证明△EMD≌△CMA即可．依据等腰直角三角形性质易证．
【详解】
解：△EMC是等腰直角三角形．
理由如下：
连接MA．
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∵∠EAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠DAB＝90°，
∵△EDA≌△CAB，∴DA＝AB，ED＝AC，
∴△DAB是等腰直角三角形．
∴∠MDA＝∠MBA＝45°
又∵M为BD的中点，
∴∠MAD＝∠MAB＝45°，AM⊥BD（三线合一），
∴AM＝=MD，
∴∠EDM＝∠MAC＝105°，
在△MDE和△MAC中，
∴△MDE≌△MAC．
∴∠DME＝∠AMC，ME＝MC，
又∵∠DMA＝90°，∴∠EMC＝∠EMA+∠AMC＝∠EMA+∠DME＝∠DMA＝90°．
∴△MEC是等腰直角三角形．
【点睛】
此题难度中等，考查全等三角形的判定性质及等腰三角形性质．
29．如图所示，在中，，，BE平分，CD垂直于BE交其延长线于点D，且于点F，交BE于点H．
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（1）求证：．
（2）探究BH与CD的大小关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）延长BA交CD延长线于点M，证明，从而解得，再通过证明，求得，得证．
（2）连接CH，证明求得，根据直角三角形的斜边长大于直角边的边长，得证．
【详解】
（1）延长BA交CD延长线于点M．
，
．
，，
．
．
，，
．
又，，
．
．
，
．即．
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（2）连接CH，
∵，，
∴根据等腰三角形三线合一的定理，
∴在△BHF和△CHF中
∴
∴，
在中，，
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【点睛】
本题考查了全等三角形的性质以及判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形的斜边长大于直角边的边长是解题的关键．
30．（1）如图（a）所示在等边中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边连接CN．求证：．
（2）如图（b）所示，在等边中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）．若其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
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【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析
【分析】
（1）利用等边三角形的性质得出 ， ， ，进而得出 ，即可判断 ，得出 ，进而得出 即可得出结论．【出处：21教育名师】
（2）同（1）的方法即可得出结论．
【详解】
（1）、是等边三角形，
，，，
．
在和中，
，
．
．
（2）结论仍成立．
理由如下：、是等边三角形，
，，．
．
在和中，
，
．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质以及判定，掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质以及判定是解题的关键．
31．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
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（1）特殊情况，探索结论
当点为 的中点时，如图1，确定线段与 的大小关系，请你直接写出结论： （填“>”,“<”或“=”）. 21·世纪*教育网
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（2）特例启发，解答题目
解：题目中，与 的大小关系是： （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点 作，交 于点.
（请你完成以下解答过程）
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（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点 在直线上，点 在直线上，且 .若的边长为1， ，求的长（请你直接写出结果）.
【答案】（1）=；（2）=，过程见解析；（3）CD的长是1或3．
【解析】
方法一：如图，等边三角形中，
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是等边三角形，
又
.
方法二：在等边三角形中，
而由是正三角形可得
32．（1）如图（a）所示点D是等边边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明．
（2）如图（b）所示当动点D运动至等边边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）
（3）①如图（c）所示，当动点D在等边边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边和等边，连接AF、，探究AF、与AB有何数量关系？并证明．
②如图（d）所示，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．
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【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF=BD，成立；（3）①，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是，理由见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可证得，然后由全等三角形的对应边相等知 ．
（2）通过证明，即可证明．
（3）① ，利用全等三角形的对应边 ，同理 ，则 ，所以；
②①中的结论不成立，新的结论是 ，通过证明，则（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得 ．
【详解】
（1）
证明如下：是等边三角形，
，．
同理可得：，．
．
即．
．
．
（2）证明过程同（1），证得，则（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，依然成立．
（3）①
证明：由（1）知，．
．
同理．
．
．
②①中的结论不成立新的结论是；
，，，
．
．
又由（2）知，．
．
即．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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