第二讲 直角三角形(基础讲解)（含解析）

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第二讲 直角三角形
【学习目标】
1.理角并掌握直角三角形的性质与判定；
2．灵活运用直角三角形的性质与判定进行证明与计算。
【知识总结】
一、直角三角形的定义
三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
如果直角三角形中，有一个锐角是45°这样的三角形是等腰直角三角形等，且两锐角都等于45°
二、直角三角形全等的“HL”的判定定理
在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. 21世纪教育网版权所有
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有 ( http: / / www.21cnjy.com )5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.21cnjy.com
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.21·cn·jy·com
三、直角三角形的性质
（1）直角三角形中两锐角互余.
（2）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
（3）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
（4）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（5）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
（6）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
四、直角三角形的判定
(1) 有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2) 一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.　　
(3) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.
【典型例题】
例1．在ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【思路点拨】由CD⊥AB与∠B＝60°， ( http: / / www.21cnjy.com )根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．www-2-1-cnjy-com
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BCD＝30°，∠ECD＝20°．
【总结升华】本题考查了三角形的外角性质，角平分线，直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用外角定理是快速解题的关键．2-1-c-n-j-y
【训练】如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AD是△AEC的角平分线．
（1）求∠ADC 的度数；
（2）E是边AC上一点，DE∥AB，作AC边上的高BF，根据题意补全图形 判断∠CBF和∠ADE的数量关系，并说明理由．21*cnjy*com
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解（1）AD是△AEC的角平分线，，
与中，
，
；
（2）如图，作的延长线于，
在中，，
，
，即，
又在中，,
，
（同角的余角相等）
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【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，及余角的性质，熟练掌握基本图形的性质是解决问题的关键．www.21-cn-jy.com
例2．如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证MN⊥DE．
（2）若∠A=70°，求∠DME的度数．
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【思路点拨】
（1）连接DM，ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到DM=ME，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．
（1）如图，连接DM，ME，
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∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=BC，ME= BC，
∴DM=ME
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°，
由（1）中可知DM=ME=BM=MC，【出处：21教育名师】
∴∠BMD=∠MDC+∠MCD=180°-2∠ABC，
∠CME=∠MBE+∠MEB=18 ( http: / / www.21cnjy.com )0°-2∠ACB，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），
=360°-2（∠ABC+∠ACB），
=360°-2（180°-∠A），
=2∠A【版权所有：21教育】
=140°，
∴∠DME=180°-140°=40°
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角和与内角和，掌握基本性质是解题的关键．21教育名师原创作品
例3．如图，在中，，，是高．求证：．
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【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余和30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解，∵∠ACB=90，∠A=30，
∴∠B=90°﹣30°=60°，AB=2BC，
∵CD丄AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠B=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=2BC=4BD．
【总结升华】本题考查含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余和30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，，，，，．求AC长和四边形ABCD的面积．21·世纪*教育网
过点D作，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
例4.是经过顶点的一条直线，．、分别是直线上两点，点在点的左侧，且．
（1）直线经过的内部，、两点在射线上．
①如图1，若，，则______（填“”、“”或“”）；、、三条线段之间的数量关系是：______．21*cnjy*com
②如图2，若，，①中的两个结论是否仍然成立，请说明理由．
（2）如图3，若直线经过的外部，，请直接写出、、三条线段之间的数量关系．
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【思路点拨】（1）①根据题意易证△BEC≌△CFA，进而问题可得解；
②由题意易得，进而可证，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由题意易证△BEC≌△CFA，然后根据全等三角形的性质可求解．
解：（1）①∵，，
∴，
∴∠BCE+∠FCA=90°，∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠FCA=∠EBC，
∵，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，AF=CE，
∵CF=CE+EF，
∴；
故答案为，；
②当时，①中的两个结论仍然成立．
，即，
又，
，
，，
，
，，
，
．
（2），理由如下：
∵，
∴∠ACF=180°-∠ACB-∠BCE，∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC，
∴∠ACF=∠CBE，
∵CB=CA，
，
∴EC=AF，CF=BE，
∵EF=EC+CF，
∴．
【总结升华】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．2·1·c·n·j·y
【训练】如图1，于．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）猜想：线段之间有怎样的数量关系，并证明；
（3）当绕点到图2位置时，猜想：线段之间的数量关系 ；（不需证明）．
【思路点拨】
（1）由题意易得∠BEC=∠CDA=90°，∠BCE=∠CAD，进而问题可得证；
（2）由（1）得BE=CD，AD=CE，然后由线段的数量关系可求解；
（3）根据题意易得△BEC≌△CDA，然后根据三角形全等的性质及线段的数量关系可求解．
（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠DCA=90°，∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=BC，
∴（AAS）；
（2）解：AD=DE+BE，理由如下：
由（1）得，
∴BE=CD，AD=CE，
∵CE=CD+DE，
∴AD=BE+DE；
（3）BE=AD+DE，理由如下：
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠DCA=90°，∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=BC，
∴，
∴BE=CD，CE=AD，
∵CD=CE+DE，
∴BE=AD+DE；
故答案为BE=AD+DE．
【总结升华】本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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