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第二讲 直角三角形
一、单选题
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形
B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等
D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等
2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
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A．140° B．160° C．170° D．150°
3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=
A．44° B．34° C．54° D．64°
4．如图所示,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1＋∠2的度数是 ( )
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A．30° B．60° C．90° D．120°
5．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
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A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不对
6．下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等
7．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ）
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A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
8．如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为（ ）
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A．65° B．35° C．55° D．45°
9．在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是
A．15° B．30° C．60° D．90°
10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
11．如图所示，H是△ABC的高AD，B ( http: / / www.21cnjy.com )E的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（ ）21教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
13．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）21cnjy.com
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A．90° B．100° C．110° D．120°
14．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（ ）
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A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
15．下列说法错误的是（ ）
A．直角三角板的两个锐角互余
B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
C．如果两个角互补，那么，这两个角一定都是直角
D．平行于同一条直线的两条直线平行
二、填空题
16．如图：△ABC中，AD⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_____，使△ABD≌△CEB．www.21-cn-jy.com
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17．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是__________．2·1·c·n·j·y
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18．如图，在Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有 （填写所有正确的序号）．
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19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为______度．
20．在△ABC中，高AD和BE所在直线交于点H，且BH=AC，则∠ABC=____．
三、解答题
21．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．21·cn·jy·com
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22．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．
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23．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC．
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24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
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25．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE=OF．
（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB=AC；
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（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB=OC，试说明AB与AC的关系；
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（3）当点O在△ABC外部时，且OB=OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）21世纪教育网版权所有
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第二讲 直角三角形
一、单选题
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形
B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等
D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等
【答案】C
【解析】
解：A．平行四边形是中心对称图形，说法正确；
B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等，说法正确；
C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等，说法错误；
D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等，说法正确．
故选C．
2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
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A．140° B．160° C．170° D．150°
【答案】B
【解析】
试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.
考点：角度的计算
3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=
A．44° B．34° C．54° D．64°
【答案】A
【解析】
解：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故选A．
4．如图所示,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1＋∠2的度数是 ( )
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A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，∠1+∠2=90°．
故选C．
考点：直角三角形的性质
5．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
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A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不对
【答案】B
【分析】
根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
【详解】
解：从图中可知AB为Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，21·世纪*教育网
故选B．
【点睛】
此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
6．下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等
【答案】B
【解析】
解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；www-2-1-cnjy-com
而D构成了AAA，不能判定全等；
B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．
故选B．
7．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ）
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A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】A
【解析】
试题分析：利用点O到AB，AC的距离OE ( http: / / www.21cnjy.com )=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．21世纪教育网版权所有
解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，
又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．
故选A．
点评：此题考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用题目中给出的已知条件判定△AEO和△AFO是直角三角形．2-1-c-n-j-y
8．如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为（ ）
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A．65° B．35° C．55° D．45°
【答案】B
【解析】
【分析】
先由AB⊥BD，AC⊥CD可得∠B= ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，由对顶角相等有∠AEB=∠CED，然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°．21*cnjy*com
【详解】
解：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°．
又∵∠AEB=∠CED，
∴∠A=∠D=35°．
故选B．
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等的性质，等角的余角相等的性质，还考查了垂直的定义．
9．在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是
A．15° B．30° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】
解：设较小的锐角是x°，则另一个锐角是2x°．
由题意得：x+2x=90，解得x=30．
即此三角形中最小的角是30°．
故选B．
10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
【答案】C
【解析】
解：如图，∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°．
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA=×90°=45°，
∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．故选C．
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点睛：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，整体思想的利用是解答本题的关键，作出图形更形象直观．21·cn·jy·com
11．如图所示，H是△ABC的高AD，BE ( http: / / www.21cnjy.com )的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（ ）【版权所有：21教育】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH=∠ADB=90°．
∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE，∴∠HBD=∠EAH．21教育名师原创作品
∵DH=DC，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD=AD，BH=AC；
②∵BC=AC，∴∠BAC=∠ABC．
由①知，在Rt△ABD中，∵BD=AD，∴∠ABC=45°，∴∠BAC=45°，∴∠ACB=90°．21*cnjy*com
∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，∴结论②为错误结论．
③由①证明知，△BDH≌△ADC，∴BH=AC；
④∵CE=CD，∠ACB=∠ACB；∠A ( http: / / www.21cnjy.com )DC=∠BEC=90°，∴△BEC≌△ADC，由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，∴结论④为错误结论．
综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．
故选B．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定 ( http: / / www.21cnjy.com )两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
【答案】C
【解析】解：两边及夹角对应相等的两个三角形全等，这为“边角边”定理，简写成“SAS”．故选C．
13．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）
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A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【解析】
解：在△ABC中，∵∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选C．
点睛：本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°．
14．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（ ）
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A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】C
【解析】
解：相等的锐角有：∠B=∠CAD，∠C=∠BAD共2对．故选C．
15．下列说法错误的是（ ）
A．直角三角板的两个锐角互余
B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
C．如果两个角互补，那么，这两个角一定都是直角
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【解析】解：A．直角三角形中的两个锐角互余，所以直角三角板的两个锐角互余，故本选项说法正确；
B．根据平行公理可知：过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条，故本选项说法正确；
C．如果两个角互补，那么，这两个角和一定是180°，但是它们不一定都是直角，故本选项说法错误；
D．根据平行线的传递性知平行于同一条直线的两条直线平行．故本选项说法正确．
故选C．
二、填空题
16．如图：△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_____，使△ABD≌△CEB．2·1·c·n·j·y
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【答案】BD=BE或AD=CE或BA=BC
【解析】
∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．
【点睛】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【来源：21·世纪·教育·网】
17．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是__________．
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【答案】AC=DE
【解析】
用“HL”判定△ABC≌△DBE，已知BC=BE，再添加斜边DE=AC即可.
18．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有 （填写所有正确的序号）．
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【答案】(1)、(2)、(3)
【解析】
试题分析：根据∠1=∠2，即内错角相等 ( http: / / www.21cnjy.com )，两直线平行可得AC∥DE，则①正确；根据∠1+∠3=∠1+∠A=90°可得∠3=∠A，则②正确；根据∠1+∠3=∠3+∠B=90°可得∠B=∠1，则③正确；根据平行可得DE⊥BC，则∠3+∠2=∠B+∠3=90°，则∠2=∠B，则④错误；根据∠1=∠2，∠1≠∠A可得∠2≠∠A，则⑤错误.
考点：(1)、平行线的判定；(2)、角互余的性质
19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为______度．
【答案】60
【解析】
解：∵三角形是直角三角形，一个锐角等于30°，∴另一个锐角为90°﹣30°=60°．
故答案为60．
20．在△ABC中，高AD和BE所在直线交于点H，且BH=AC，则∠ABC=____．
【答案】45°或135°
【分析】
根据题意画出三个图形，证，推出，推出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．
【详解】
解：分为三种情况：
①如图1，
、是的高，
，，
，，
，
在和中
，
，
，
，
，
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②如图2，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
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③高和所在的直线交于点，
，
，，
，
在和中
，
，
，
，
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故答案：45°或135°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．21教育网
三、解答题
21．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．21cnjy.com
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【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
【详解】
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BF=CE，AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
22．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．
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【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定定理AAS进行证明．
试题解析：解：△ABC≌△ADC．理由如下：
∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°．
在△ABC与△ADC中，∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )，∴△ABC≌△ADC（AAS）．
点睛：本题考查了全等三角形的判定．注意挖掘出隐含在题中的已知条件：AC是公共边．
23．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC．
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【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：由∠1=∠2，可得DE=CD，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可.
试题解析：∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC.
又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．www.21-cn-jy.com
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
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【答案】证明过程见解析
【解析】
试题分析：由可得， 由，根据等量代换可得，从而，接下来，依据垂线的定义可得到AB和CD的位置关系.
证明：在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
点睛：本题主要就是依据三角形的内角和 ( http: / / www.21cnjy.com )定理和垂线的定义求解的. 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.【来源：21cnj*y.co*m】
25．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE=OF．
（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB=AC；
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（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB=OC，试说明AB与AC的关系；
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（3）当点O在△ABC外部时，且OB=OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）
【答案】见解析
【解析】
试题分析：（1）证△BOE≌△COF，可得∠B=∠C，通过等角对等边，得出AB=AC；
（2）与（1）类似，在证得△ ( http: / / www.21cnjy.com )BOE≌△COF后，得∠OBE=∠OCF，OB=OC；则∠OBC=∠OCB，可证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出AB=AC；
（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB=AC的结论才成立（等腰三角形三线合一）．
试题解析：（1）证明：∵OE=OF，OB=OC，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC．
（2）AB=AC．证明如下：
同（1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF，∴∠OBE=∠OCF．
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
解：当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB=AC成立，如图①；
当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立，如图②．（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）．【出处：21教育名师】
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点睛：此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定．
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