第三讲 线段的垂直平分线(基础讲解)（含解析）

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第三讲 线段的垂直平分线
【学习目标】
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.
3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
【知识总结】
一、线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
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作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：
(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了．
(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.
二、线段的垂直平分线的性质定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
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1、符号语言
∵ P在线段AB的垂直平分线CD上
∴ PA = PB
2、 定理解释：
P为CD上的任意一点，只要P在CD上，总有PA = PB。21世纪教育网
此定理应用于证明两条线段相等
三、线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．21世纪教育网版权所有
四、三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
要点诠释:
1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.
2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 21教育网
3.外心到三顶点的距离相等.
五、尺规作图
作图题是初中数学中不可缺少的一类试题 ( http: / / www.21cnjy.com )，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.2·1·c·n·j·y
【典型例题】
【类型】一、线段的垂直平分线定理
例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．9 B．8 C．7 D．6
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【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．21·世纪*教育网
【答案】A；
【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.
【总结升华】此题正是应用了线 ( http: / / www.21cnjy.com )段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．
【训练】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（　　）2-1-c-n-j-y
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
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【答案】D；
提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．21·cn·jy·com
【训练】如图，△ABC中，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．www-2-1-cnjy-com
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【答案】
解：∵DE为AB的中垂线，
∴AE=BE，
∵FG是AC的中垂线，
∴AG=GC，
△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，【来源：21cnj*y.co*m】
所以△AEG的周长为BC的长度即7．
【类型】二、线段的垂直平分线的逆定理
例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．
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【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)
又∵∠ABD=∠ACD (已知)
∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)
即 ∠DBC=∠DCB
∴DB=DC （等角对等边）
∵AB=AC（已知）
DB=DC（已证）
∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）【出处：21教育名师】
∴AD是线段BC的垂直平分线。
【总结升华】本题需要注意 ( http: / / www.21cnjy.com )的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了“两点确定一条直线”，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线．【版权所有：21教育】
【训练】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．21教育名师原创作品
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【答案】证明：∵OP是角平分线，
∴∠AOP=∠BOP
∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠OAP=∠OBP=90°
∴在△AOP 和△BOP中
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∴△AOP≌△BOP（AAS）
∴OA=OB
∴PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
【类型】三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用
例3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
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【答案与解析】证明：连结BC
∵AB＝AC，DB＝DC．
∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．
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【总结升华】本题综合运用了线段垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线．21cnjy.com
例4、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．21*cnjy*com
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【思路点拨】先根据ASA判定△ACD≌△C ( http: / / www.21cnjy.com )BF得到BF=CD，然后又因为D为BC中点，根据中点定义得到CD=BD，等量代换得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．
【答案与解析】
证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．
∵CD=BD=BC，∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
【总结升华】主要考查了三角形全等的判定和角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【训练】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.
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【答案】
如图所示，连接AM，
∵∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠MAC=90°，
∴CM=2AM，
∴CM=2BM．21*cnjy*com
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【类型】四、尺规作图
例5、某旅游景区内有一块三角形绿地ABC， ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
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【答案与解析】
解：作AC的垂直平分线交AB于M点，
则点M为所求．
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【总结升华】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．www.21-cn-jy.com
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