第一章第四讲 角平分线(基础讲解)（含解析）

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第四讲 角平分线
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【知识总结】
一、角的平分线的性质
(1)内容
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
(2)书写格式
如图所示，
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∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
谈重点 角平分线的性质的理解和应用
(1)使用角的平分线的性质有两个条件：① ( http: / / www.21cnjy.com )点在角的平分线上；②过这一点作角的两边的垂线段．结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相等．www.21-cn-jy.com
(2)角的平分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个三角形全等．
(3)如果已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等．
二、角的平分线的判定
(1)内容 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
(2)书写格式 如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴点P在∠AOB的角平分线上．
(3)作用运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线．
警误区 角的平分线的性质和判定适用的条件　 ( http: / / www.21cnjy.com )在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离”，主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件．【来源：21·世纪·教育·网】
三、运用角的平分线的性质解决实际问题
运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．
在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．21世纪教育网版权所有
运用角平分线的性质解决实际问题时，一定 ( http: / / www.21cnjy.com )要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．21·世纪*教育网
在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．www-2-1-cnjy-com
解技巧 巧用角的平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质和判定解决问题　能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．2-1-c-n-j-y
【典型例题】
【类型】一、角的平分线的性质
例1． 如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．21*cnjy*com
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【思路点拨】根据角平分线的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【答案与解析】
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【总结升华】本题考查了角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．2·1·c·n·j·y
例2、 如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．
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【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．
【答案与解析】
解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB，
∴CD=DE，
∴△CAD≌△EAD(HL)
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴BE=DE，
∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．21教育网
【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.
【训练】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（　 ）
A．3：2 B． C．2：3 D.
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【答案】B；
提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为．【来源：21cnj*y.co*m】
例3、如图，OC是∠AOB的角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
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【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ( http: / / www.21cnjy.com )＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.【出处：21教育名师】
【答案与解析】
解：DF＝EF．
理由如下：
∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，
∴PD＝PE，
由HL定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF与△EPF中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.21·cn·jy·com
【类型】二、角的平分线的判定
例4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.
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【答案与解析】
证明： ∵CE⊥AB,BD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC（已知）
　　　 ∴∠CDF＝∠BEF＝90°
　　　 ∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)
　　　 ∵ BF＝CF(已知)
　　　 ∴△DFC≌△EFB(AAS)
　　　 ∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)
　　　 ∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）
　　　 ∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
　　　　即AF为∠BAC的平分线21教育名师原创作品
【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.21*cnjy*com
【训练】 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．21cnjy.com
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【答案】
证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，
，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD=PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
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