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第四讲 角平分线
一、单选题
1．如图，OP是∠AOB的 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（ ） www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3
【答案】C
【分析】
作PM⊥OB于M，根据角平分线的性质得到PM=PE，得到答案．
【详解】
解：作PM⊥OB于M，
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，
∴PM=PE=3，
∴PN≥3，
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了角平分线的性质,属于简单题,熟悉角平分线的性质是解题关键.
2．如图，的三边的长分别为20，30，40，点O是三条角平分线的交点，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【答案】C
【分析】
作OF⊥AB于F，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
作OF⊥AB于F，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵三条角平分线交于点O，OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=20：30：40＝2：3：4，
故选C．21·世纪*教育网
【点睛】
考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．如图，已知点到、、的距离相等，则下列说法：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③点在的平分线上；④点是、、的平分线的交点；其中正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．④
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质定理进行判断即可．
【详解】
解：∵点P到AE，AD的距离相等 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE，BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD，BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，
故选：B．21教育名师原创作品
【点睛】
本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平分线上相等是解题的关键是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解析】
解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知，AP平分∠CAB．∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30．故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
5．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）21cnjy.com
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A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处
B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处
D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】
根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【详解】
解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
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A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
过点P作PE⊥BC于E，
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∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可证明△ACD≌△AED，从而得到AE=AC，继而求出AE
【详解】
∵AD平分∠CAB交BC于点D
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠AED=∠C=90°
∵AD=AD
∴△ACD≌△AED．（AAS）
∴AE=AC=BC=7
故本题答案应为：D
【点睛】
角平分线的性质和三角形全等的判定是本题的考点，证明△ACD≌△AED是解题的关键.
8．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
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A．0．4 cm2 B．0．5 cm2 C．0．6 cm2 D．0．7 cm2
【答案】B
【详解】
延长AP交BC于E，∵AP ( http: / / www.21cnjy.com )垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，∴△ABP≌△BEP，∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=0.5，故选B．
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考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.三角形的面积．
9．如图，已知OQ平分∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com )，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO＋∠PMO＝180°，则PM和PN的大小关系是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．PM>PN B．PM
【答案】C
【解析】
试题解析：作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OQ平分∠AOB，
∴PE=PF，
∵∠PNO+∠PNA=180°，∠PNO+∠PMO=180°，
∴∠PNA=∠PMO，
在△PFN和△PEM中，
∴△PFN≌△PEM，
∴PM=PN．
故选C．
10．如图，△ABC的两条外 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60 ，则下列结论：①∠ABP=30 ；②∠APC=60 ；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
作PM⊥BC于M，PN⊥BA ( http: / / www.21cnjy.com )于N．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM，再根据角平分线的判定定理可得PB平分∠ABC，即可判定①；证明△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由此即可判定②；在Rt△PBN中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.21*cnjy*com
【详解】
如图，作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠PAH=∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，
∴PN=PH，同理PM=PH，
∴PN=PM，
∴PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠ABC=30°，故①正确，
∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，
，
∴△PAN≌△PAH，同理可证，△PCM≌△PCH，
∴∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，
∴∠APC=∠MPN=60°，故②正确，
在Rt△PBN中，∵∠PBN=30°，
∴PB=2PN=2PH，故③正确，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正确．
综上，正确的结论为①②③④.
故选D.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
11．如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为_____．
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【答案】65°
【解析】
由题意可知，所作的射线AG是∠BAC的角平分线.
∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，
∴∠BAC=180°-90°-40°=50°，
∴∠CAD=∠BAC=25°，
∴∠ADC=180°-90°-25°=65°.
12．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30，AB=18，BC=12，则DE= ________．
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【答案】2
【分析】
过点D，作DF⊥BC，垂足为点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，根据S△ABC= DE AB+ DF BC，代入数据即可求得DE的长．www-2-1-cnjy-com
【详解】
如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∵△ABC的面积是30，AB=18，BC=12，
∴S△ABC= DE AB+ DF BC，即×18×DE+×12×DE=30，
∴DE=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等证得DE=DF是解决问题的关键.【版权所有：21教育】
13．如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON ( http: / / www.21cnjy.com )于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为_____，理论根据为_____．21*cnjy*com
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【答案】2 角平分线上的点到角两边的距离相等
【解析】
如图，当PQ⊥ON时，PQ最短，
由OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，可知：此时PQ=PA=2，根据是:“角平分线上的点到角两边的距离相等”.
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14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，则△BDE的周长等于_.
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【答案】10
【分析】
由题中条件可得Rt△ACD≌Rt△AED，进而得出AC=AE，然后把△BDE的边长通过等量转化即可得出结论．
【详解】
解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，
∴CD=DE．
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE．
又∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DBE的周长为：DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10．
故答案为10.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．
15．如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，则AB的长是__．
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【答案】10cm
【分析】
根据角平分线性质求出DE=DF=2cm，根据三角形面积公式列出方程求解即可．
【详解】
已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
根据角平分线的性质可得DE=DF=2cm，
又因△ABC面积是18cm2，DE=2㎝，AC=8cm，
所以S△ABC=AB DE+AC DF=18，
即×AB×2+×8×2=18，
解得AB=10cm．
考点：角平分线的性质；三角形的面积．
16．通过学习我们已经知道 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为______．
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【答案】5
【解析】
∵P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，
∴点P到AC、BC的距离也为1.
∴S△ABC= S△ABP + S△ACP + S△BCP
=AB+AC+BC
=(AB+AC+BC)
=
=.
17．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、 ( http: / / www.21cnjy.com )AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②③④
【分析】
根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可 ( http: / / www.21cnjy.com )推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP//AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，无法判断△BRP≌△QSP；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，则RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
【详解】
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP//AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D，
在△ARD和△ASD中，
，
∴△ARD≌△ASD，
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，
所以AP垂直平分RS，故④正确，
故答案为①②④．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEO的度数是_____．
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【答案】50°
【解析】
试题分析：连结OB，根据角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )定义得到∠OAB=∠ABO=25°，再根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=65°，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，则∠OBA=∠OAB=25°，所以∠1=65°﹣25°=40°，由于AB=AC，OA平分∠BAC，根据等腰三角形的性质得OA垂直平分BC，则BO=OC，所以∠1=∠2=40°，然后根据折叠的性质得到EO=EC，于是∠2=∠3=40°，再根据三角形内角和定理计算∠OEC．
解：连结OB，
∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=25°，
∴∠1=65°﹣25°=40°，
∵AB=AC，OA平分∠BAC，
∴OA垂直平分BC，
∴BO=OC，
∴∠1=∠2=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠2=∠3=40°，
∴∠OEC=180°﹣40°﹣40°=100°．
故答案为100°．
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三、解答题
19．已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求证：DE=DF．
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【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：连接AD，利用“边边边”证明△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．21世纪教育网版权所有
试题解析：证明：连接AD，
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在△ACD和△ABD中，
AC=AB，CD=BD，AD=AD
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
20．如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，CD与BE相交于点F，求证：AF平分∠BAC．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】见解析
【分析】
通过全等三角形的判定定理AAS证得△ ( http: / / www.21cnjy.com )AEB≌△ADC，则对应边AE=AD；然后由HL推知Rt△ADF≌Rt△AEF，在对应角∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC．【出处：21教育名师】
【详解】
证明：如图，∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴在△AEB与△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（AAS），
∴AE=AD．
∴在Rt△ADF与Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
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【答案】详见解析
【分析】
（1）由角平分线定义可证△ ( http: / / www.21cnjy.com )BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.21·cn·jy·com
【详解】
（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定 ( http: / / www.21cnjy.com )义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
22．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
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【答案】80°，50°.
【解析】
【分析】
根据三角形外角与内角的性质及角平分线的性质求出∠ CAB，再利用直角三角形全等的判定定理，得出∠CAP=∠PAF，继而求出即可
【详解】
解：如图所示：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA,PM⊥AC，
设∠PCD = x°
∵CP平分∠ ACD
∴∠ACP =∠PCD = x°，PM=PN
∵BP平分∠ ABC
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN
∴PM=PF
∵∠BPC=40°
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=（x 40）°
∴∠CAB=∠ACD ∠ABC=2x° 2（x 40）°=80°
∵PM=PF，AP=AP，PF⊥BA,PM⊥AC
∴Rt△PAF ≌ Rt △PAM
∴∠CAP=∠PAF=（180° ∠CAB）= （180° 80°）=50°
故本题答案应为：∠CAB=80°，∠CAP=50°
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【点睛】
三角形内角与外角的性质及角平分线的性质、直角三角形全等的判定都是本题的考点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.21教育网
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第四讲 角平分线
一、单选题
1．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到 ( http: / / www.21cnjy.com )OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（ ） 21cnjy.com
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A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3
2．如图，的三边的长分别为20，30，40，点O是三条角平分线的交点，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
3．如图，已知点到、、的距离相等，则下列说法：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③点在的平分线上；④点是、、的平分线的交点；其中正确的是（ ）21教育网
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A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．④
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．15 B．30 C．45 D．60
5．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）21世纪教育网版权所有
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A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处
B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处
D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
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A．0．4 cm2 B．0．5 cm2 C．0．6 cm2 D．0．7 cm2
9．如图，已知OQ平分∠AOB，点 ( http: / / www.21cnjy.com )P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO＋∠PMO＝180°，则PM和PN的大小关系是( )21·cn·jy·com
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A．PM>PN B．PM10．如图，△ABC的两 ( http: / / www.21cnjy.com )条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60 ，则下列结论：①∠ABP=30 ；②∠APC=60 ；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为_____．
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12．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30，AB=18，BC=12，则DE= ________．
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13．如图，已知OP平分∠M ( http: / / www.21cnjy.com )ON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为_____，理论根据为_____．2·1·c·n·j·y
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14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，则△BDE的周长等于_.【来源：21·世纪·教育·网】
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15．如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，则AB的长是__．21·世纪*教育网
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16．通过学习我们已经知道三角形的三条内 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为______．21*cnjy*com
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17．如图，△ABC中，P、Q分别是B ( http: / / www.21cnjy.com )C、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上）．【来源：21cnj*y.co*m】
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18．如图，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEO的度数是_____．【出处：21教育名师】
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三、解答题
19．已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求证：DE=DF．
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20．如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，CD与BE相交于点F，求证：AF平分∠BAC．【版权所有：21教育】
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21．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
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22．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．21教育名师原创作品
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