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第四讲 角平分线
一、单选题
1．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）21cnjy.com
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A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
2．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
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A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OP
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定
5．如图,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是
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A．TQ=PQ B．∠MQT=∠MQP C．∠QTN=90° D．∠NQT=∠MQT
6．如图,在△ABC中∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于（ ）
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A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
A．mn B．mn C．2mn D．mn
8．如图,AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于点O,则下列结论正确的是( )
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A．OA=OC
B．点O到AB,CD的距离相等
C．∠BDA=∠BDC
9．已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．135°
10．三角形中∠B的平分线和外角的平分线的夹角是（ ）．
A．60° B．90° C．45° D．135°
二、填空题
11．角平分线上的点到_________________距离相等
12．到一个角的两边距离相等的点都在_________。
13．∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________。
14．如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则∠1=________21教育网
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15．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等
16．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=___．
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17．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若DC=7，则点D到AB的距离DE=________．
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18．到三角形三边距离相等的点叫做三角形的_________
19．如图，在△ABC中．B ( http: / / www.21cnjy.com )C＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是______cm2·1·c·n·j·y
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三、解答题
20．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD：CD＝9：7，则D到AB的距离为_____．21·cn·jy·com
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21．已知：AC=AD，AB是∠CAD的角平分线，求证：BC=BD．
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22．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC，求∠EDB的度数．
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23．如图，AB⊥AC，BF是∠ABC的平分线，若∠BFC=110°，求∠C的度数.
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24．在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=BC，求∠A的度数．
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25．已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线.求证：AD=AE．
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第四讲 角平分线
一、单选题
1．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）21世纪教育网版权所有
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A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】D
【分析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等作图即可得到结果．
【详解】
解：如图所示，可供选择的地址有4个，
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故选：D
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
2．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【分析】
根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出即可．
【详解】
解：∵OA=OB，
∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴O在线段AC的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴O在线段BC的垂直平分线上，
即O是△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了对线段垂直平分线性质的理解和运用，注意：线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．21教育网
3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
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A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OP
【答案】D
【详解】
∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵OP=OP，
∴Rt△POE≌Rt△POD（HL），
∴OD=OE，∠DPO=∠EPO.
∴A、B、C正确，D错误，
故选D
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）21·cn·jy·com
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A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定
【答案】B
【解析】
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
,
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∴DE=BE，
设DE=BE=x，则DC=x，AE=AC=6－x，
∴BD=x，
∵AC=BC，
∴6－x=x+x，解得x=6－3，
∴BD=6－6，
∴C△DEB=（6－3）×2+6－6=6.
故选B.
点睛：本题关键在于通过角平分线的性质设出未知数，表示出各边长度，再根据勾股定理列方程求解.
5．如图,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是
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A．TQ=PQ B．∠MQT=∠MQP C．∠QTN=90° D．∠NQT=∠MQT
【答案】D
【分析】
由SAS易证△MPQ≌△MTQ，则两三角形的对应边、对应角相等，据此作答．
【详解】
∵MQ为∠PMN的平分线，
∴∠PMQ＝∠TMQ，
又∵MT＝MP，MQ＝MQ，
∴△MPQ≌△MTQ（SAS），
∴TQ＝PQ，∠MQT＝∠MQP，∠QTN＝∠P＝90°，
故ABC选项正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质，属于基础题目．
6．如图,在△ABC中∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于（ ）
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A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【分析】
关键角平分线的性质定理，得到EC=ED，即可推出AE+ED=AE+EC=AC，由此即可解决问题．
【详解】
∵∠ACB=90°，
∴EC⊥CB，
又BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE=DE，
∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm
故选A.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握其性质.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）21cnjy.com
A．mn B．mn C．2mn D．mn
【答案】B
【解析】
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作DE⊥AB交AB于点E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴CD=DE=n，
∴S△ABD=AB·DE=mn.
故选B.
8．如图,AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于点O,则下列结论正确的是( )
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A．OA=OC
B．点O到AB,CD的距离相等
C．∠BDA=∠BDC
D．点O到CB,CD的距离相等
【答案】D
【解析】
∵在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC，
∴∠DCA=∠BCA，
∴点O到CB、CD的距离相等.
故选D.
点睛：本题关键在于由全等证明出AC是∠DCB的角平分线，再利用角平分线的性质进行判断.
9．已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．135°
【答案】D
【解析】
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∵∠B=90°，
∴∠BCA+∠BAC=90°，
∵CD平分∠ACB，AE平分∠CAB，
∴∠OCA=∠BCA，∠OAC=∠BAC，
∴∠OCA+∠OAC=∠BCA+∠BAC=（∠BCA+∠BAC）=45°，
∴∠AOC=135°.
故选D.
点睛：本题关键在于利用角平分线的性质以及角的和差关系解题.
10．三角形中∠B的平分线和外角的平分线的夹角是（ ）．
A．60° B．90° C．45° D．135°
【答案】B
【解析】
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如图，BD平分∠ABF，BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABF，∠ABE=∠ABC，
∴∠DBE=∠DBA+∠ABE=∠ABF+∠ABC=（∠ABF+∠ABC）=90°.
故选B.
二、填空题
11．角平分线上的点到_________________距离相等
【答案】角两边的
【解析】
角平分线上的点到角两边的距离相等.
故答案为角两边的.
12．到一个角的两边距离相等的点都在_________。
【答案】这个角的平分线上
【解析】根据定义可知：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。www.21-cn-jy.com
13．∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________。
【答案】1.5cm
【解析】∵M是∠AOB的平分线上一点，
∴点M到OB的距离等于M到OA的距离，
∴M到OB的距离为1.5cm.
故答案为：1.5cm.
14．如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则∠1=________2·1·c·n·j·y
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【答案】30°
【解析】
∵OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，
∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠EOC，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOB=30°.
故答案为30°．
15．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等
【答案】三边的距离
【解析】三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离相等.
故答案为三边的距离.
16．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=___．
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【答案】120°
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边 ( http: / / www.21cnjy.com )距离相等判断出点O是三个角的平分线的交点，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是三个角的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=（180°-60°）=60°，
在△BCO中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°．
故答案为120°．【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两 ( http: / / www.21cnjy.com )边距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并判断出点O是三个角的平分线的交点是解题的关键．21·世纪*教育网
17．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若DC=7，则点D到AB的距离DE=________．
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【答案】7
【解析】
试题分析： ∵∠C=90°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE，∴DE=DC=7．故填7．
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考点：角平分线的性质．
18．到三角形三边距离相等的点叫做三角形的_________
【答案】内心
【解析】
到三角形三边距离相等的点为三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
故答案为内心.
19．如图，在△ABC中．B ( http: / / www.21cnjy.com )C＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是______cm2-1-c-n-j-y
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【答案】5
【分析】
分别利用角平分线的性质和 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC的长，即5cm．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC＝5cm．
故答案为5．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是将△PDE的周长转化为BC边的长．【版权所有：21教育】
三、解答题
20．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD：CD＝9：7，则D到AB的距离为_____．21教育名师原创作品
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【答案】14
【分析】
过点D作DE⊥AB，由BC=32，BD∶CD=9∶7，即可求得CD的长，再根据角平分线的性质即可求得结果.
【详解】
解：过点D作DE⊥AB，
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∵BD∶CD=9∶7，
∴CD=BC·=14
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°
∴DE=CD=14
考点：角平分线的性质
点评：利用角平分线的性质进行计算 ( http: / / www.21cnjy.com )是初中数学平面图形中极为重要的基础知识，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.21*cnjy*com
21．已知：AC=AD，AB是∠CAD的角平分线，求证：BC=BD．
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【答案】证明见解析．
【详解】
解：∵AB是∠CAD的角平分线
∴∠BAC=∠BAD
在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD
∴BC=BD
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC，求∠EDB的度数．
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【答案】∠EDB=42°.
【解析】
试题分析：因为BD是∠ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线，所以∠ABD=∠CBD，所以∠DBC=84°÷2=42°，因为DE∥BC，所以∠EDB=∠DBC=42°.www-2-1-cnjy-com
试题解析：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠DBC=84°÷2=42°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC=42°.
点睛：掌握角平分线的性质以及平行线的性质.
23．如图，AB⊥AC，BF是∠ABC的平分线，若∠BFC=110°，求∠C的度数.
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【答案】∠C=50°
【解析】
试题分析：因为∠BFC=110 ( http: / / www.21cnjy.com )°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可以得到∠ABF+∠A=110° ，所以∠ABF=110°－90°=20°，因为BF是∠ABC的角平分线，所以可以得到∠ABC=2∠ABF=40°，即在△ABC中∠C=180°－90°－40°=50°.
试题解析：
∵∠BFC=110°，
∴∠ABF=110°－90°=20°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABF=40°，
∴∠C=180°－90°－40°=50°.
点睛：掌握角平分线的性质以及三角形外角的性质.
24．在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=BC，求∠A的度数．
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【答案】∠A=36°
【解析】
试题分析：设∠A的度数为x°，由等腰三角形的性质分别表示出∠ABC和∠C的度数，再根据三角形内角和列方程求解即可.【来源：21cnj*y.co*m】
试题解析：
设∠A=x°，
∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x°，
在△ABC中x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠A=36°.
点睛：本题关键在于设出未知数，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和列方程求解.
25．已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线.求证：AD=AE．
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【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：先根据CD、BE是△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的角平分线和等腰三角形的性质得到，∠1=∠2，∠A=∠A，结合AB=AC，可证△ADC≌△AEB，所以AD=AE．21*cnjy*com
试题解析：∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠ACB．
∵CD、BE是△ABC的角平分线（已知），
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1=∠2．
又∵∠A=∠A（已知），
∴△ADC≌△AEB．
∴AD=AE．
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考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．
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