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16.2 二次根式乘除
一、单选题
1．当时，多项式的值为( ).
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由原式得，得，原式变形后再将代和可得出答案.
【详解】
∵，
，即，
．
原式．
【点睛】
本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
2．若a＝，b＝2+，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值．
【详解】
a＝ ＝．
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．
3．已知，且a>b>0，则的值为( )
A． B．± C．2 D．±2
【答案】A
【解析】
【分析】已知a2+b2=6ab，变形可得（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，可以得出（a+b）和（a-b）的值，即可得出答案．21·世纪*教育网
【详解】∵a2+b2=6ab，
∴（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，
∵a＞b＞0，
∴a+b=，a-b=，
∴=，
故选A.
【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a、b的大小关系以及本身的正负关系．2-1-c-n-j-y
4．已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
∵，
，
∴.
故选C.
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
根据最简二次根式的意义，可知是最简二次根式，=，，=x，不是最简二次根式.
故选A.
6．将1、、、按图2所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C． D．6
【答案】D
【解析】
（4，2）表示第4排从左向右第2个数是：，
（21，2）表示第21排从左向右第2个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第21排是奇数排，最中间的也就是这排的第1个数是1，那么第2个就是：，
=6,故选D
7．一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长为( )
A． B．
C．或 D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据题意分为两种情况，分别以和为腰长，同时要注意求出三角形的三边能不能满足三角形成立的条件，最后对三边求和即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：已知=，=为一个等腰三角形两边的长，
若为腰长时，三角形的三边长为，，，
则周长为++=；
若为腰长时，三角形的三边长为，，，
=，+=，>，
+<，此三角形不存在，
这个三角形的周长为．
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，涉及化简二次根式，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形成立的条件是解题的关键．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用二次根式的性质化简以及结合合并同类项法则和幂的乘方运算法则化简求出答案；
【详解】
A、 ，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质以及结合合并同类项法则和幂的乘方运算法则，正确化简各式是解题的关键；
9．二次根式，，，，中，是最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据最简二次根式的定义进行求解即可．
【详解】
，，都不是最简二次根式，
，是最简二次根式，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
10．下列二次根式是最简二次根式的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据最简二次根式的定义依次判断即可．
【详解】
解：A、被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式，故A是最简二次根式；
B、被开方数中含有能开方的因数，故B不是最简二次根式；
C、被开方数含有分母，故C不是最简二次根式；
D、被开方数中含有能开方的因式，故D不是最简二次根式；
故选：A．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的概念，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
11．在 中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．
【详解】
解：∵， ，
∴在 中，最简二次根式有，，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．
12．下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
满足下列条件的二次根式，叫 ( http: / / www.21cnjy.com )做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可．21教育网
【详解】
A．是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项错误；
C．是最简二次根式，故本选项错误；
D、，不是最简二次根式.
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式条件，是解题的关键．
二、填空题
13．若，，是实数，且，则________．
【答案】21
【分析】
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．
【详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．21cnjy.com
14．设的整数部分为 a,小数部分为 b.则 = __________________________.
【答案】
【分析】
根据实数的估算求出a,b，再代入即可求解.
【详解】
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.
15．若，把化成最简二次根式为________．
【答案】
【分析】
先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
解：∵
∴
∴
所以答案是：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质.
16．已知，求_____．
【答案】13
【解析】
【分析】
由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵
∴a+b=2ab
∴
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系.
17．能力拓展：
；；；________．
…：________．
请观察，，的规律，按照规律完成填空．
比较大小和
∵________
∴________
∴________
同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________2·1·c·n·j·y
【答案】(1)、；(2);(3)
【解析】
【分析】
（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得，然后利用（1）的结论解答；21*cnjy*com
（3）利用（2）的结论进行填空.
【详解】
解：（1）观察A1，A2，A3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以
，，
（2）∵，
∴，
∴，即
，
∴；
（3）由（1）、（2）知，，，；
故答案为：(1)、；(2);(3)
【点睛】
主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除 ( http: / / www.21cnjy.com )法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.www.21-cn-jy.com
18．计算：(＋)2015·(－)2016＝________．
【答案】
【解析】
原式=.
故答案为.
19．已知是整数，则正整数n的最小值为____．
【答案】2
【解析】
∵ ，要使它是整数，则正整数n的最小值为2．故答案为2．
20．设，，则=______(结果用m，n表示).
【答案】
【解析】分析：本题考察二次根式的化简.
解析：∵
故答案为.
点睛：二次根式的计算公式的应用可以化简， .
三、解答题
21．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知关于x，y的二元一次方程的解满足，求m的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）首先利用平方差公式将进行因式分解，然后通分化简，最后代入求值；
（2）首先通过解二元一次方程组用m表示出x，然后根据求出m的取值范围．
【详解】
（1）原式．
当时，原式．
（2）解二元一次方程组，得，
∵，
∴，
∴，
所以n的取值范围是．
【点睛】
本题考查了因式分解，分式的运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式，关键是熟练掌握各部分的运算法则．
22．计算：
【答案】（1）；（2）12；（3）；（4）0；（5）2
【分析】
（1）将原式展开，然后进行合并即可求解；
（2）将每项化为最简二次根式，然后约分合并即可求解；
（3）将每项化为最简二次根式，分母有理化，然后进行合并即可求解；
（4）将原式化为最简二次根式，然后根号二次根式加减法法则进行计算即可；
（5）首先将原式每一项化为最简二次根式，然后进行合并计算．
【详解】
（1）原式=
=
（2）原式=
=
=12
（3）原式=
=
=
（4）原式=
=
=
=0
（5）原式=
=
=2
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．【来源：21·世纪·教育·网】
23．计算：
（1） （2） ．
【答案】(1) (2)0
【分析】
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）
=
=
（2）
=
=5-4-3+2
=0
24．先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】
首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】
解：原式
当时，
原式
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
25．已知，求的值．
【答案】2019.
【分析】
先由变形可得，再对进行变形为，然后用整体代入的方法即可求出结果.
【详解】
解：∵，∴，
∴，即，
∴原式
【点睛】
本题是代入求值题，考查了二次根式的运算，本题要注意观察式子的特点，对式子进行有目的的变形，然后采用整体代入的方法求值是一种比较简便的方法.www-2-1-cnjy-com
26．已知，，求代数式的值.
【答案】-5
【分析】
根据平方根的定义，以及立方根的定义即可求得，的值，然后代入所求的代数式化简求值即可．
【详解】
解：，
，
则或，
又，即．
则．
，
，
．
则，
，
，
，
【点睛】
本题考查了平方根、立方根的定义，正确对根式化简是关键．
27．学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵，
又∵a＝，
∴，
∴原式＝．
你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正．
【答案】答案见解析.
【分析】
直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【详解】
刘峰的解法错误，
原因是：错误地运用了＝这个公式，
正确解法是：∵a＝＝＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝
＝
＝
＝﹣，
∴原式＝﹣．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
28．已知，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
经观察可得所求的式子满足完全平方公式，利用完全平方式可将所求的式子化为最简，代入a的值后可得结果．
【详解】
.
当时，原式.
【点睛】
本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握化简二次根式是解决本题的关键.
29．已知，求的值．
【答案】7．
【解析】
【分析】
给等式两边同时除以x，可得，然后再用完全平方公式对进行变形即可.
【详解】
解：由得，即，∴==9-2=7．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是对等式和代数式进行变形，寻找联系.
30．若，求的值.
【答案】.
【解析】
【分析】
已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.
【详解】
，
．
．
．
，
．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.
31．已知：a﹣b=2+，b﹣c=2﹣．
求：（1）a﹣c的值（2）的值.
【答案】（1）4；（2）15
【解析】
【分析】
（1）根据题意两式相加即可求出．
（2）化简分子配成完全平方，分母进行因式分解，然后整体代入即可．
【详解】
（1）∵a﹣b=2+，b﹣c=2﹣．
∴a﹣b+ b﹣c=
∴a﹣c=4
（2）原式=
=
=
【点睛】
本题考查了二次根式的应用，主要利用了完全平方公式，因式分解，以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．【出处：21教育名师】
32．已知实数a，b满足：b2=1+﹣，且|b|+b＞0
（1）求a，b的值；
（2）利用公式求++…+
【答案】（1）a的值为2，b的值为1；（2）2018.
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件得到
（2）根据公式 将原式化成多个式子相减，起到互相抵消的效果，做到化繁为简．
【详解】
（1）由题意得：,
∵b2=1+
∴b=±1
∵|b|+b＞0
∴b=1
∴a的值为2，b的值为1．
（2）,
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，学会应用公式推导一般并能实际运用.
33．计算（1）． （2）．
（3）． （4）．
【答案】（1）； （2）； （3） ；（4）．
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的乘除法，先化简二次根式，然后按照乘除法的公式计算即可；
（2）根据二次根式的乘除法，先化简二次根式，然后按照乘除法的公式计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法，先根据a的范围，由二次根式的性质化简二次根式，然后按照乘除法的公式计算即可；21*cnjy*com
（4）根据二次根式的乘除法，先化简二次根式，然后按照乘除法的公式计算即可.
试题解析：（1）原式
．
（2）
．
（3）原式
（4）原式．
34．已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
【答案】2+
【解析】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（2﹣）2=7﹣4，
则原式=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+
=49﹣48+1+
=2+．
35．已知求代数式的值.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】
1-8x≥0，x≤
8x-1≥0，x≥，∴x=，y=，
∴原式= .
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x、y，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．21·cn·jy·com
36．（探究题）观察下列各式，通过分母有理化把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
；
.
同理可得……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
的值．
【答案】2012.
【解析】
试题分析：
当分母中含有两个二次根式时，可以用平方差公式先有理化分母，再化简求值.
试题解析：
=
.
点睛：本题主要考查了二次根式混合运算，对于 ( http: / / www.21cnjy.com )分母中含有两具二次根式，且开方数的差值相等的几个二次根式的和的计算，要先将分母有理化，即用分数的基本性质，把分母配成平方差的形式，运算后即可化去分母中的二次根式，再运用二次根式的加减法法则计算.21世纪教育网版权所有
37．把根号外的因式移到根号内：
(1)
(2)
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：根据二次根式的性质进行化简即可.
试题解析：(1)原式
(2)原式
38．计算
（1） ；
（2）（a＞0，b＞0，c＞0）.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【试题分析】
（1）先进行二次根式的化简，然后求解即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简求解．
【试题解析】
（1）原式=﹣4×=﹣；
（2）原式==．
39．化简：
（1） ；
（2）（x＞0）.
【答案】(1); (2) ;
【解析】
【试题分析】
（1）先进行二次根式的化简，然后求解；
（2）直接进行二次根式的化简即可．
【试题解析】
（1）原式==；
（2）原式=．
40．（1）试比较与的大小；
（2）你能比较与的大小吗？其中k为正整数.
【答案】（1）<；（2）<
【解析】
试题分析：运用分母有理化进行化简后，再进行比较大小即可.
试题解析：（1），
，
故<.
（2），
，
故＜．
41．先将化简，然后选一个你喜欢的x的值，代入后，求式子的值.
【答案】答案见解析.
【解析】
试题分析：
先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x的值需要使原式有意义.
试题解析：
原式
要使原式有意义,则x＞2.
所以本题答案不唯一,如取x＝4.则原式＝2
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16.2 二次根式乘除
一、单选题
1．当时，多项式的值为( ).
A．1 B． C． D．
2．若a＝，b＝2+，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且a>b>0，则的值为( )
A． B．± C．2 D．±2
4．已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
A． B． C． D．
6．将1、按图2所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ）21教育网
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A．1 B．2 C． D．6
7．一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长为( )
A． B．
C．或 D．无法确定
8．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．二次根式，，，，中，是最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列二次根式是最简二次根式的有（ ）
A． B． C． D．
11．在 中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若，，是实数，且，则________．
14．设的整数部分为 a,小数部分为 b.则 = __________________________.
15．若，把化成最简二次根式为________．
16．已知，求_____．
17．能力拓展：
；；；________．
…：________．
请观察，，的规律，按照规律完成填空．
比较大小和
∵________
∴________
∴________
同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________21cnjy.com
18．计算：(＋)2015·(－)2016＝________．
19．已知是整数，则正整数n的最小值为____．
20．设，，则=______(结果用m，n表示).
三、解答题
21．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知关于x，y的二元一次方程的解满足，求m的取值范围．
22．计算：
23．计算：
（1） （2） ．
24．先化简，再求值：，其中.
25．已知，求的值．
26．已知，，求代数式的值.
27．学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：21世纪教育网版权所有
解：∵，
又∵a＝，
∴，
∴原式＝．
你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正．
28．已知，求的值.
29．已知，求的值．
30．若，求的值.
31．已知：a﹣b=2+，b﹣c=2﹣．
求：（1）a﹣c的值（2）的值.
32．已知实数a，b满足：b2=1+﹣，且|b|+b＞0
（1）求a，b的值；
（2）利用公式，求++…+
33．计算（1）． （2）．
（3）． （4）．
34．已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
35．已知求代数式的值.
36．（探究题）观察下列各式，通过分母有理化把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
；
.
同理可得……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
的值．
37．把根号外的因式移到根号内：
(1)
(2)
38．计算
（1） ；
（2）（a＞0，b＞0，c＞0）.
39．化简：
（1） ；
（2）（x＞0）.
40．（1）试比较与的大小；
（2）你能比较与的大小吗？其中k为正整数.
41．先将化简，然后选一个你喜欢的x的值，代入后，求式子的值.
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