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16.3 二次根式加减
一、单选题
1．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【详解】
A. ，能与合并；
B. 不能与合并；
C. ，不能与合并；
D. 不能与合并．
故选A．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．在下列二次根式中，与可以合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据二次根式的性质把各个二次根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式的概念判段即可
【详解】
A选项，与被开方数不一定相同，不可以合并；
B选项，与被开方数不一定相同，不可以合并；
C选项，与被开方数相同，可以合并；
D选项，与被开方数不一定相同，不可以合并．故选C．
【点睛】
本题考查的是同类二次根式、二次根式的化简，掌握同类二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键．
3．在下列各组根式中，可以合并的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】
先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【详解】
A选项,,与不可以合并；
B选项，,与可以合并；
C选项，与的被开方数不同，不可以合并；
D选项，与的被开方数不同，不可以合并．
故选B．
【点睛】
本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
4．计算（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的加减法法则进行运算即可
【详解】
2－＝
故选A
【点睛】
此题考查二次根式加减法的运算，掌握运算法则是解题关键
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接化简二次根式进而合并得出答案
【详解】
原式．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的计算法则判断即可．
【详解】
A． 不是同类项不可合并,该选项错误;
B． ,该选项错误;
C． ,该选项错误;
D． ,该选项正确;
故选D．
【点睛】
本题考查二次根式的计算,关键在于熟练掌握基础运算方法．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．2·1·c·n·j·y
【详解】
A、原式＝，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、原式＝，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com )：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21*cnjy*com
8．化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据二次根式的运算法则进行计算即可.
【详解】
，
故选A.
9．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算即可
【详解】
原，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先 ( http: / / www.21cnjy.com )把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【来源：21cnj*y.co*m】
10．＝（ ）
A．2 B． C．2 D．﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平方差公式解题即可
【详解】
解：原式＝5﹣7
＝﹣2．
故选D．
【点睛】
灵活运用平方差公式是解题关键
11．按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B．11﹣6 C．1 D．11﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用运算程序计算即可．
【详解】
9÷3-=3-＞1，
（3-）（3+）=9-2=7．
故选A．
【点睛】
考查了二次根式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com )：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
12．若,，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出x+y和xy的值，再利用完全平方公式变形得出，然后代入即可
【详解】
解：∵，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的加法和乘法、完全平方公式，熟练掌握相关的知识是解题的关键
13．计算的结果为（ ）
A．–7 B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用完全平方公式和平方差公式、二次根式的性质进行化简，再合并即可得出答案
【详解】
解：原式．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
14．规定则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据规定得出，再进行分母有理化即可
【详解】
解：
，
故选A．
【点睛】
本题考查了分母有理化，熟练掌握相关的知识是解题的关键
15．已知，则代数式的值是( )
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据x的值和完全平方公式可以解答本题．
【详解】
∵x＝ 1，
∴x2＋2x＋1＝（x＋1）2＝（ 1＋1）2＝（）2＝2，
故选D．
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法．
16．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+ 的值是（ ）
A．0 B． C．2+ D．2﹣
【答案】C
【解析】
【分析】
把x的值代入代数式，运用完全平方公式和平方差公式计算即可
【详解】
解：当x=2﹣时，
（7+4）x2+（2+）x+
＝（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）+
＝（7+4）（7-4）+1+
＝49-48+1+
＝2+
故选：C.
【点睛】
此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用完全平方公式和平方差公式进行计算．
17．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是( )
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【答案】D
【解析】
a=－=（-1），b=-1；c===×（-1），
∵＞1＞，
∴a＞b＞c．
故选：D．
二、填空题
18．若最简二次根式与是同类二次根式，则a=_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【详解】
∵二次根式与是同类二次根式，
∴3a-5=a+3，解得a=4．
故答案是：4.
【点睛】
考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
19．若二次根式与能合并，则x可取的最小正整数是_________．
【答案】11
【分析】
根据题意，它们化简后的被开方数相同，列出方程求解即可
【详解】
∵二次根式与能合并，
∴，解得 （舍去），
，解得 （舍去），
，解得．
即当取最小正整数11时，二次根式与能合并．
【点睛】
本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．21教育网
20．的结果是_________．
【答案】
【分析】
直接化简二次根式进而合并得出答案
【详解】
原式.
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
21．计算结果是_________．
【答案】
【分析】
先根据二次根式的乘法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二 ( http: / / www.21cnjy.com )次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21世纪教育网版权所有
22．计算(－)×＋2的结果是_____．
【答案】
【分析】
先拆括号，再按照从左到右的顺序进行计算
【详解】
(－)×＋2=＋2=
【点睛】
本题考查有理数的混合运用，熟练掌握计算法则是解题关键.
23．计算的结果等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用完全平方公式根据二次根式的运算法则计算即可.
【详解】
=
=12+12+6
=18+12.
故答案为：18+12
【点睛】
本题考查完全平方公式及二次根式的计算，熟练掌握运算法则并灵活运用完全平方公式是解题关键.
24．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是______．
【答案】x≤10
【解析】
分析：由最简二次根式与可以合并，则3a-8=17-2a；求解所列方程得到a的值，再根据二次根式有意义得到不等式20-2x≥0，解此不等式即可得到x的取值范围.【来源：21·世纪·教育·网】
详解：∵最简二次根式与可以合并，
∴3a-8=17-2a，
解得a=5，
＝，
∵有意义，
∴20-2x≥0，
解得x≤10.
故答案为x≤10.
点睛：本题考查了同类二次根式的定义和二次根式有意义的条件.由题中条件：最简二次根式与可以合并，判断出它们是同类二次根式，列出方程3a-8=17-2a是解题的关键.
25．计算：的结果是_____.
【答案】
【分析】
逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.
【详解】
=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为+2.
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
三、解答题
26．如果最简二次根式与是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．
【答案】（1）a=3；(2)4
【详解】
(1)利用同类二次根式定义，列式.
(1)4a-5=13-2a,
解得a=3.
(2)≤x≤
===
【点睛】
根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简.21·世纪*教育网
27．计算:
（1）；
（2）
（3）
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可
（2）根据绝对值的定义、有理数的乘方、二次根式的性质进行计算即可
（3）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（4）先化简二次根式再合并同类二次根式得出答案；
【详解】
（1）原式
.
（2）原式
．
（3）原式
（4）原式．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
28．若a,b为有理数，且=，求的值.
【答案】1.
【解析】
试题分析：首先化简各式，进而得出的值，即可得出答案．
试题解析：
因为都为有理数，所以
所以
29．已知一个三角形的三边长分别为，，．
(1)求它的周长（要求结果化简）；
(2)请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.
【答案】(1);（2）答案不唯一
【解析】
【分析】
（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．21cnjy.com
（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
【详解】
解：（1）周长=++．
＝
＝ ．
（2）当x=4时，周长===14．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了二次根式的应用，对于第（2）问答案不唯一，但x必须要注意必须符合题意．即是不为0的完全平方数.21·cn·jy·com
30．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先进行二次根式的除法和乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
（2）先进行二次根式的除法和乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】
（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．www.21-cn-jy.com
31．计算：
（1）
（2）
（3）．
【答案】（1）7；（2）；（3）
【分析】
（1）先利用完全平方公式和二次根式的性质进行化简，再合并即可得出答案
（2）先利用平方差公式、绝对值和二次根式的性质进行化简，再合并即可得出答案
（3）先利用完全平方公式和平方差公式、二次根式的性质进行化简，再合并即可得出答案
【详解】
解：（1）原式
．
（2）原式．
（3）原式
．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
32．计算与化简：
（1）;
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先进行二次根式的除法和乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
（2）先进行二次根式的除法、乘法和零指数幂的运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
（3）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的除法运算，利用然后合并即可；
【详解】
解：（1）原式
．
（2）
（3）原式
.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二 ( http: / / www.21cnjy.com )次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．www-2-1-cnjy-com
33．已知 ，，求下列代数式的值:
(1)x2+y2;
(2).
【答案】(1) 8；(2) 4.
【解析】
【分析】
将 x2+y2变形为(x+y)2-2xy，再将x+y与xy的值代入即可；
将整理为，再将x2+y2与xy的值代入即可.
【详解】
(1)∵x=+1,y=-1,
∴x+y=2,xy=2,
∴x2+y2
=(x+y)2-2xy
=(2)2-2×2
=12-4
=8.
(2)∵x=+1,y=-1,
∴x2+y2=8,xy=2,
∴+
=
=
=4.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.
34．拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是m，下底是m，高是m.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求横断面的面积；
(2)若用300 m3的土，可修多长的拦河坝？
【答案】(1) 横断面的面积为3m2;(2) 可修m长的拦河坝．
【分析】
（1）横断面是一个梯形，用梯形的面积公式即可求解；
（2）用300除以横断面的面积即可得到拦河坝的长.
【详解】
(1)S＝ (＋)×＝ (2＋4)×＝×6×＝3 (m2)．
答：横断面的面积为3 m2.
(2)＝＝＝＝ (m)．
答：可修m长的拦河坝．
【点睛】
首先要能识别图形的形状， ( http: / / www.21cnjy.com )根据梯形的面积公式，结合二次根式的加减混合运算法则计算横断面的面积，横断面为梯形的坝的体积等于横断面的面积乘以坝的长度，运算的实质是二次根式的除法，用二次根式的除法法则计算.2-1-c-n-j-y
35．观察探索：
＝＝＝2，即＝2；
＝＝＝3，即＝3；
(1)大胆猜想：等于多少？
(2)灵活运用：再举一个例子并通过计算验证，猜想并写出用n(n为正整数)表示的等式．
【答案】(1) ；（2）见解析，猜想：(n为正整数)．
【解析】
分析：（1）根据已知等式猜想即可；
（2）观察已知等式，做出探索，举一个例子，验证，归纳总结得到一般性规律，写出即可．
详解：（1）根据题意猜想得：=5；
（2）===6，得到一般性规律为=n（n为正整数）．
点睛：本题考查了算术平方根，弄清题中的规律是解答本题的关键．
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16.3 二次根式加减
一、单选题
1．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列二次根式中，与可以合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列各组根式中，可以合并的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
4．计算（ ）
A． B． C．3 D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．化简的结果是( )
A． B． C． D．
9．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．＝（ ）
A．2 B． C．2 D．﹣2
11．按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B．11﹣6 C．1 D．11﹣3
12．若,，则的值是（ ）
A． B． C． D．
13．计算的结果为（ ）
A．–7 B． C． D．
14．规定则的值是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，则代数式的值是( )
A． B． C．1 D．2
16．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+ 的值是（ ）
A．0 B． C．2+ D．2﹣
17．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是( )
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
二、填空题
18．若最简二次根式与是同类二次根式，则a=_____．
19．若二次根式与能合并，则x可取的最小正整数是_________．
20．的结果是_________．
21．计算结果是_________．
22．计算(－)×＋2的结果是_____．
23．计算的结果等于_____.
24．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是______．
25．计算：的结果是_____.
三、解答题
26．如果最简二次根式与是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．
27．计算:
（1）；
（2）
（3）
（4）．
28．若a,b为有理数，且=，求的值.
29．已知一个三角形的三边长分别为，，．
(1)求它的周长（要求结果化简）；
(2)请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.
30．计算：
（1）；
（2）．
31．计算：
（1）
（2）
（3）．
32．计算与化简：
（1）;
（2）；
（3）．
33．已知 ，，求下列代数式的值:
(1)x2+y2;
(2).
34．拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是m，下底是m，高是m.
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(1)求横断面的面积；
(2)若用300 m3的土，可修多长的拦河坝？
35．观察探索：
＝＝＝2，即＝2；
＝＝＝3，即＝3；
(1)大胆猜想：等于多少？
(2)灵活运用：再举一个例子并通过计算验证，猜想并写出用n(n为正整数)表示的等式．
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