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16.3 二次根式加减
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3=a6 B．（a+b）2=a2+b2 C．﹣= D．5﹣=4
2．下列根式中，不能与合并的是( )
A． B． C． D．
3．下列二次根式的运算:①；②；③；④ ；其中运算正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
5．化简的结果是( )
A． B． C． D．
6．化简后，与的被开方数相同的二次根式是( )
A． B． C． D．
7．在根式，，，，， 中，与 是同类二次根式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．﹣与﹣的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．乘积是有理式
10．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
二、填空题
11．计算：____．
12．计算：_____________．
13．在，，中与是同类二次根式是________.
14．已知最简二次根式与可以合并，则的值为_________.
15．三角形三边分别为cm，cm，cm，则这个三角形周长是______.
16．若x2-x-2=0，则的值等于_________.
三、解答题
17．计算：
18．计算：.
19．计算：
20．计算：.
21．已知a＝－1，b＝＋1，分别求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2).
22．已知求代数式的值.
23．已知a、b、c满足
（1）求a、b、c的值．
（2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．21世纪教育网版权所有
24．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； .
以上这种化简过程叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：.
（1）请用其中一种方法化简；
（2）化简：.
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16.3 二次根式加减
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3=a6 B．（a+b）2=a2+b2 C．﹣= D．5﹣=4
【答案】C
【解析】
A. ∵（﹣a2）3=-a6 , 故不正确；
B. ∵（a+b）2=a2++2ab+b2 , 故不正确；
C. ∵ ﹣= ﹣ , 故正确；
D. ∵5﹣=4, 故不正确；
故选C.
2．下列根式中，不能与合并的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先把各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义分别进行判断即可得答案.
【详解】
A. =，能与合并，故不符合题意；
B. =，能与合并，故不符合题意；
C. =，不能与合并，故符合题意；
D. =3，能与合并，故不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题考查了同类二次根式，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并.21教育网
3．下列二次根式的运算:①；②；③；④ ；其中运算正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由二次根式的性质与化简、运算得出①②③正确，④不正确，即可得出结论．
【详解】
解：①×=2，正确，
②-=，正确，
③=，正确，
④=2 ④不正确；
故选C．21cnjy.com
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键．
4．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的加减法、二次根式的混合运算法则分别进行计算即可得.
【详解】
A. 与 不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B. 与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
C. ，正确；
D. =，故D选项错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
5．化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据二次根式的运算法则进行计算即可.
【详解】
，
故选A.
6．化简后，与的被开方数相同的二次根式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解： 是最简二次根式，，，．故选C．
点睛：本题考查了同类二次根式，先化简，再比较被开方数．
7．在根式，，，，， 中，与 是同类二次根式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
先将各根式化为最简二次根式，然后再根据同类二次根式的概念进行判断即可.
【详解】
∵=2，=2，=3， =4，
∴在根式，，，，， 中，与 是同类二次根式的有，， 共3个，
故选C.
【点睛】
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键.
8．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据同类二次根式的定义化简判断即可，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵ ， ， ， ，
∴ 与 是同类二次根式，
故本题答案为：A.
【点睛】
同类二次根式的定义是本题的考点，熟练掌握其定义并正确化简根式是解题的关键.
9．﹣与﹣的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．乘积是有理式
【答案】A
【分析】
根据﹣+﹣＝0可得答案．
【详解】
解：∵﹣+﹣＝0，
∴﹣与﹣互为相反数，
故选A．
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则．
10．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
【答案】C
【解析】
试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
二、填空题
11．计算：____．
【答案】
【解析】
12．计算：_____________．
【答案】0
【分析】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
【详解】
解：原式=3=0．
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
13．在，，中与是同类二次根式是________.
【答案】.
【解析】
【分析】
将所给的二次根式化简，然后根据同类二次根式的概念进行判断即可.
【详解】
∵=2，=2，=3，
∴与是同类二次根式是，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了同类二次根式，正确地化简二次根式并掌握同类二次根式的概念是解题的关键.
14．已知最简二次根式与可以合并，则的值为_________.
【答案】2
【分析】
两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根指数相同，依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可www.21-cn-jy.com
【详解】
由题意得：，；解得，；所以
所以答案为2
【点睛】
本题考查了同类二次根式的性质，熟练掌握其概念是解题关键
15．三角形三边分别为cm，cm，cm，则这个三角形周长是______.
【答案】cm
【解析】
【分析】
三角形的周长等于三边之和，即++，化简再合并同类二次根式即可得答案.
【详解】
由题意，三角形的周长为
++=3+2+5=（cm），
故答案为cm.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【来源：21·世纪·教育·网】
16．若x2-x-2=0，则的值等于_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
先求出x2-x的值，然后再代入所求的式子进行计算即可得.
【详解】
∵x2-x-2=0，
∴x2-x=2，
∴===，
故答案为.
【点睛】
本题考查了代数式求值，涉及了二次根式的混合运算、分母有理化等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.21·世纪*教育网
三、解答题
17．计算：
【答案】
【分析】
按顺序先进行二次根式的化简，二次根式的除法，利用平方差公式进行展开，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
原式=
=
=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是注意二次根式的运算顺序．
18．计算：.
【答案】.
【解析】
【分析】
先化简各二次根式，然后再进行合并即可.
【详解】
原式=6-
=6-
=.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减运算，正确进行化简，进行合并同类二次根式是解题的关键.
19．计算：
【答案】原式=
【解析】
分析：先化简各二次根式，然后利用二次根式的加减运算法则求解即可.
详解：原式=3--+1=
点睛：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确利用化简二次根式再计算是解题关键．
20．计算：.
【答案】.
【解析】
【分析】
按顺序先分别进行二次根式的乘法，利用完全平方公式展开，进行分母有理化，然后再合并同类二次根式即可.
【详解】
原式=2-（3+2+2）+
=2-（3+2+2）-（+2）
=2-3-2-2--2
=.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的乘法、完全平方公式的应用、分母有理化等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.21·cn·jy·com
21．已知a＝－1，b＝＋1，分别求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2).
【答案】(1) 8；(2) 4.
【解析】
【分析】
（1）直接代入求得数值即可；（2）先通分，相加后，再进一步代入求得数值即可．
【详解】
∵a＝－1，b＝＋1，
∴a＋b＝2，ab＝()2－1＝3－1＝2.
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(2)2－2×2＝12－4＝8.
(2).
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，注意掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
22．已知求代数式的值.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入化简后的式子计算即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
1-8x≥0，x≤
8x-1≥0，x≥，∴x=，y=，
∴原式= .
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x、y，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．www-2-1-cnjy-com
23．已知a、b、c满足
（1）求a、b、c的值．
（2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．2-1-c-n-j-y
【答案】（1）a＝2，b＝5，c＝3；（2）能；5+5．
【分析】
（1）根据非负数的性质来求a、b、c的值即可；
（2）根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】
解：（1）∵|a﹣2|++（c﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，＝0，c﹣3＝0，
解得 a＝2，b＝5，c＝3；
（2）以a、b、c为三边长能构成三角形，理由如下：
由（1）知，a＝2，b＝5，c＝3．
∵2+3＝5＞5，即a+c＞b，
∴以a、b、c为三边长能构成三角形，则周长＝5+5．
【点睛】
本题是对非负性的三角形三边关系得考查，熟练掌握绝对值，算术平方根及平方得非负性是解决本题的关键.
24．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； .
以上这种化简过程叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：.
（1）请用其中一种方法化简；
（2）化简：.
【答案】(1) ＋；(2) 3－1.
【分析】
(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.21*cnjy*com
【详解】
（1）原式==；
（2）原式=+++…
=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1
=3﹣1
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
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