湖南省邵阳市2021-2022学年高二下学期入学考试数学试题（Word版含答案）

邵阳市2021-2022学年高二下学期入学考试
数学试卷
时量：120分钟 总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知为虚数单位,复数,则的实部与虚部之差为(　　)
A．1 B．0 C． －1 D.
2.设a、b均为单位向量，则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知直线y = 2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A,B的坐标分别是（－4，2），（3，1），则点C的坐标为（ ）
A.(－2，4) B.（－2，－4） C.（2，4） D.（2，－4）
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）
A．人 B．人
C．人 D．人
5.若函数f (x)=在区间（2，3）内有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.()
C.(－∞，)∪(，+∞) D. (－∞，∪，+∞)
6.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
7.设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.对于函数f (x)＝ ,下列说法正确的有（ ）
A．f (x)在x=1处取得极大值 B.f (x)有两个不同的零点
C．f (4)＜f ()＜f (3) D.＞2
10.已知圆M：＋＝1,直线l:y=kx,下列四个命题为真命题的是( )
A．对任意实数k和，直线和圆相切
B．对任意实数k和，直线和圆有公共点
C．对任意实数，必存在实数k使得直线与圆相切
D. 对任意实数k，必存在实数使得直线与圆相切
11.已知函数使得≤成立，且在区间上的值域为则实数的取值可能是（ ）
A. B. C. 1 D.
12．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，，，分别为BC，CD，BE的中点,沿 及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体(如图2).下列结论正确的是（ ）
A．四面体的外接球体积为
B．顶点在面上的射影为的重心
C．与面所成角的正切值为
D．过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若函数在区间[2,+∞）上是增函数，则实数的取值范围是________.
14.若,且,则
15.已知函数，则关于x的不等式的解集为______________．
16.设抛物线＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF|=，则直线l的方程为_____________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）已知外接圆半径，且，求的周长．
18．（满分12分）
已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）记，若数列的前项和为，证明：．
19．（满分12分）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人．
（1）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（2）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；
（3）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
20. (满分12分)已知椭圆C：(a＞b＞0)，点P（1，）在椭圆上，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的右焦点为F，过B（4，0）的直线l与椭圆C交于D,E两点，求证：直线FD与直线FE斜率之和为定值.
21．(满分12分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2,平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点.
(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点,延长AH交BC于D,求证：AD∥平面B1PQ;
(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为,求点P到平面BQB1的距离.
22. (满分12分)已知函数f (x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数y＝f (x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知为虚数单位,复数,则的实部与虚部之差为(　　)
A． 1 B．0
C． D．
【答案】D
【解析】：
复数，∴
2.设a、b均为单位向量，则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的（ C ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知直线y = 2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A,B的坐标分别是（－4，2），（3，1），则点C的坐标为（ C ）
A.(－2，4) B.（－2，－4） C.（2，4） D.（2，－4）
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）
A．人 B．人
C．人 D．人
【答案】D
【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：
，故选D．
5.5.若函数f (x)=在区间（2，3）内有极值点，则实数a的取值范围是（ B ）
A. B.()
C.(－∞，)∪(，+∞) D. (－∞，∪，+∞)
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，有，又由在上单调递增，则有，故选C．
7．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，
不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，
所以，，，
，，为最小边，
的最小内角，根据余弦定理，
，
即，
，，所以，故选C．
8. 已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】：据题意有，而故选A.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.对于函数f (x)＝ ,下列说法正确的有（ AC ）
A．f (x)在x=1处取得极大值 B.f (x)有两个不同的零点
C．f (4)＜f ()＜f (3) D.＞2
10.已知圆M：＋＝1,直线l:y=kx,下列四个命题为真命题的是( BD )
A．对任意实数k和，直线和圆相切
B．对任意实数k和，直线和圆有公共点
C．对任意实数，必存在实数k使得直线与圆相切
D. 对任意实数k，必存在实数使得直线与圆相切
11.已知函数使得≤成立，且在区间上的值域为则实数的取值可能是（ CD ）
A. B. C. 1 D.
12．如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿 及把这个正方形折成一个四面体，使得 三点重合于，得到四面体(如图2).下列结论正确的是（ ）
A．四面体的外接球体积为
B．顶点在面上的射影为的重心
C．与面所成角的正切值为
D．过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是
【答案】ACD
【详解】
对于A项，易知 两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长，
外接球半径，故外接球体积为，
故A项正确；
对于B项，由于 两两垂直，故在面上的射影为的垂心，
理由如下:如图，过点作平面，交平面于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，，，都在平面内，且相交于点，
所以平面，又平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
同理可证，，所以在面上的射影为的垂心.
故B项错误；
对于C项，设为中点，则，，，
故平面，故平面平面，所以在平面上的射影为，
与平面所成角为，，，，，
故C项正确；
对于D项，设为四面体的外接球球心，平面，连接，，
当过点的截面经过球心时截面圆面积最大，面积为；
当垂直截面圆时，截面圆面积最小，
此时，，，
，截面圆面积为，
得截面圆面积取值范围是.
故D项正确.
故选：ACD.
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分)
若函数在区间[2,+∞）上是增函数，则实数的取值范围是 （-4，4] .
14.若,且,则
15. 已知函数，则关于的不等式的解集为______________．
【答案】
【解析】令则为上的单增奇函数，
16.设抛物线＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF|=，则直线l的方程为_____________.
17．（本小题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）已知外接圆半径，且，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
即，，
又，．……………………………………………………………………………………….5分
（2），，，∴由余弦定理可得，，
∴，∵，所以得，∴周长．…………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）记，若数列的前项和为，证明：．
【答案】见解析
【解析】（1）由已知得，解得，所以…………………………2分
当时，， （1）…………………………………………3分
，当时， （2）………………………5分
由（1），（2）得…………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以………………………………………………8分
………………………………………………………10分
…………………………………………………………………………………………11分
…………………………………………………………………………………12分
19．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人．
（1）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（2）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；
（3）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
19．【答案】（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人............2分
（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，
,
，因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差. ..............7分
（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分
设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是,只有语文一科为一等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为 ,共有个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率. .................12分
20. (满分12分)已知椭圆C：(a＞b＞0)，点P（1，）在椭圆上，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的右焦点为F，过B（4，0）的直线l与椭圆C交于D,E两点，求证：直线FD与直线FE斜率之和为定值.
(1)由题意知，所以a=2c,-=
故椭圆的方程为，
又点P（1，）在椭圆上，代入解得
所以=4,
故椭圆C的方程为.
(2)证明：设直线l的方程为y=k(x-4),D(x1,y1),E(x2,y2),
联立方程组，可得
（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0,
则,解得<
∴x1+ x2=，x1 x2=,
所以直线FD与直线FE斜率之和为0.
21.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1C1CA为菱形,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AC=4,AB=2,平面ACC1A1⊥平面ABB1A1,Q在线段AC上移动,P为棱AA1的中点.
(1)若Q为线段AC的中点,H为BQ中点,延长AH交BC于D,求证:AD∥平面B1PQ;
(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为,求点P到平面BQB1的距离.
(1)证明 如图,取BB1中点E,连接AE,EH.
∵H为BQ中点,∴EH∥B1Q.
在平行四边形AA1B1B中,P,E分别为AA1,BB1的中点,∴AE∥PB1.
又EH∩AE=E,PB1∩B1Q=B1,
∴平面EHA∥平面B1QP.
∵AD 平面EHA,∴AD∥平面B1PQ............................5分
(2)解 连接PC1,AC1,
∵四边形A1C1CA为菱形,
∴AA1=AC=A1C1=4.
又∠C1A1A=60°,
∴△AC1A1为正三角形.
∵P为AA1的中点,∴PC1⊥AA1.
∵平面ACC1A1⊥平面ABB1A1,平面ACC1A1∩平面ABB1A1=AA1,PC1 平面ACC1A1,∴PC1⊥平面ABB1A1,在平面ABB1A1内过点P作PR⊥AA1交BB1于点R.建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A1(0,2,0),A(0,-2,0),C1(0,0,2),C(0,-4,2),............................7分
设=λ=λ(0,-2,2),λ∈[0,1],
∴Q(0,-2(λ+1),2λ),
∴=(0,-2(λ+1),2λ).
∵A1B1=AB=2,∠B1A1A=60°,
∴B1(,1,0),∴=(,1,0).
设平面PQB1的法向量为m=(x,y,z),
则
得
令x=1,则y=-,z=-,
∴平面PQB1的一个法向量为m=1,-,-,
设平面AA1C1C的法向量为n=(1,0,0),二面角B1-PQ-C1的平面角为θ,则cos θ===.∴λ=或λ=-(舍),......................10分
∴=,∴Q(0,-3,).
又B(,-3,0),∴=(,0,-),∴||==.
连接BP,设点P到平面BQB1的距离为h,则××4××=××4××h,
∴h=,即点P到平面BQB1的距离为....................12分
22.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
当a＞0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．................................5分
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，
∴
当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立，由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；
由g′(3)＞0，即m＞－.
所以－＜m＜－9.
即实数m的取值范围是...................12分