浙江省桐乡市2021-2022学年高二下学期返校考数学试题（Word版含答案）

桐乡市2021-2022学年高二下学期返校考
数学试题卷
一、选择题：请将唯一正确答案填入答卷中，本题共8题，每题5分，共40分。
1. 直线在轴上的截距是（ ）
A. 　　 　 B. 　　 　　　 C. D. 　　　
2. 直线的方向向量分别是，则直线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知抛物线上的一点到焦点的距离是到轴距离的2倍，则该点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．2
5. 若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．，是的极大值点 B．，是的极小值点
C．，不是的极值点 D．，是是的极值点
7. 已知数列的前n项和为，且，，若，则k的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8. 如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、多项选择题：本题共4题，每题5分，共20分。每题全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分。
9. 已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直；
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
10. 设一组圆 ，下列说法正确的是（ ）
A. 这组圆的半径均为1 B. 直线平分所有的圆
C. 直线被圆截得的弦长为相等 D. 不存在一个圆与轴和轴均相切
11.函数（）的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
12. 设等差数列的前n项和为，公差为d，已知，，，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C．d可以取负整数 D．对任意，有
三、填空题（每小题5分，共20分)
13. 下列一组数据的第25百分位数是___________ ．
14.写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式__________．
①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列．
15. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_________.
16. 如图，已知点是抛物线的焦点，点，是抛物线上不同的两点，满足，且，则直线的斜率为___________．
四、解答题（共70分）
17. （本题满分10分）为了了解高二段1000名学生的一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8．
（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；
（2）求这组数据的平均数．
18. （本题满分12分）已知点，动点到点的距离是它到点距离的倍。
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知过点的直线截（1）中的轨迹的弦长为，求直线的方程。
19. （本题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，是边长为的等边三角形，分别为的中点.
（1）证明：平面
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
20. （本题满分12分）已知数列为等差数列，前项和为，
（1）求数列的通项公式
（2）已知，求数列的前项和
21. （本题满分12分）椭圆：（）的左焦点，椭圆的两顶点分别为，，M为椭圆上除A，B之外的任意一点，直线MA，BM的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若P为椭圆短轴的上顶点，斜率为的直线不经过P点且与椭圆交于E，F两点，设直线PE，PF的斜率分别为，且，试问直线是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.
22. （本题满分12分）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D C D B B C
二、 多项选择题
9 10 11 12
ABD AC BCD BD
三、填空题
13. 26 14. （答案不唯一）
15. 16.
四、解答题
17. (1)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x．
依题意，得
所以．所以第一组数据的频率为，
设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则，得，
所以调查中随机抽取了50名学生的课外活动时间．
(2)由题意，这组数据的平均数(分钟)．
18. （1）； （2）
19. 证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，∵E为BC中点，∴， 又∵D为AA1的中点，，，∴， ∴四边形ADFE为平行四边形，∴DF，∵AE平面BDC1，DF平面BDC1，∴平面BDC1.
（2）由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，
EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，则，
所以，
设平面的法向量为
由，得，令，则，
又，
所以，
设DE与平面所成角为，则，
∴DE与平面所成角的正弦值为.
20. （1） 设公差为d，则，，.
（2） ，
21. （1）由题意知，设点，则①，
又点M在椭圆上，所以②，
①②联立可得，即，
又及，解得：
所以椭圆方程为：.
（2）直线过定点（2，-1），证明如下：
设直线：，，
联立方程，整理得：，
，，
所以=，
代入得：，
化简得，此时，所以存在k使得成立，
所以直线l的方程为：，即，
所以直线l恒过定点（2，-1）
22. （1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.