6.3.1平面向量基本定理同步练习 (word含解析）

6.3.1 平面向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点G为的重心，若，，则=（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知过点的直线与两坐标轴的正半轴交于、两点，为坐标原点，若，则四边形周长的最小值等于
A． B． C． D．
6．在中斜边，以为中点的线段，则的最大值为
A． B． C． D．
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，M为△ABC内部的一点，且，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
8．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，梯形中，，且，对角线相交于点O，若，则
A． B．
C． D．
10．已知中，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中 ，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
二、双空题
12．在中，，，，，则______；设，且，则的值为______.
三、填空题
13．已知向量满足，，且，则实数__________．
14．在中，，为上一点， 且，则___.
15．在中，、、分别是角、、的对边，若，为的中点，且，则的最大值是______
16．设，是不共线的两个平面向量，已知，．若，，三点共线，则实数的值为______．
17．已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为_____
18．平面上不共线的四点、、、满足，则______.
19．若等边的边长为2，平面内一点满足，则______．
20．在锐角中，，，则___________.
21．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则________.
22．已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
四、解答题
23．如图，O为内一点，，，.求作：
(1)+-；
(2)--.
24．如图，在中， ， ， 与交于点，设， ．
（1）试用向量和表示；
（2）在线段上取一点，线段上取一点，使过点， ， ，求证： 为定值．
25．如图，在平行四边形中，设对角线，，试以为基底表示，．
26．已知,且,求.
27．已知两个非零向量和不共线，如果＝2 ＋3 ，＝6 ＋23 ，＝4 －8 ，求证：A、B、D三点共线．
28．若向量=（1，1），=（2，5）， =（3，x）.
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．
【详解】
解：为三角形内一点，且满足，
，
．
，
故选：D．
2．B
【解析】
根据平面向量基本定理和向量加法、减法的平行四边法则即可表示出向量.
【详解】
设是中点，则，又为的重心，∴.
故选:B.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量加法、减法的平行四边形法则，属于简单题,解题时三角形法则的应用需要注意首尾相接,由起点指向终点.
3．D
【解析】
【分析】
已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底，再根据平面向量共线的坐标表示即可求出答案．
【详解】
解：已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底，
选项A中，，则，故A错；
选项B中，由于，则，故B错；
选项C中，由于，则，故C错；
选项D中，，则不共线，可作为基底，故D对；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理，考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．
4．B
【解析】
【分析】
两个不共线的非零向量可以作为基底，对四个选项一一判断.
【详解】
A选项中为零向量，不能作为基底；C选项，故与平行，所以不能作为基底；D选项，故与平行，所以不能作为基底；B选项中与不平行，且都不是零向量，所以可以作为基底
故选：B
5．C
【解析】
【分析】
由题意首先确定四边形OACB形状，然后结合截距式直线方程和均值不等式即可求得周长的最小值.
【详解】
由题意设A(a,0)、B(0,b)，其中a，b均为正数，
易知四边形OACB为矩形，其周长为2a+2b，
由直线的截距式方程可得：
过点M(1,4)的直线方程为，
代入点M(1,4)可得，
故2a+2b=2(a+b)，
当且仅当，即a=3，b=6时等号成立.
故选C
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
6．B
【解析】
【分析】
用向量加法对、进行分解，然后计算数量积
【详解】
在中斜边，
为线段中点，且
原式
当时，有最大值，
故选
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，在解题过程中运用向量的加法法则将其转化，然后再求解，较为基础
7．A
【解析】
【分析】
把已知等式中的用向量表示后可求得，由余弦定理得a，b，c的关系，求出的最值，再由基本不等式可求得结果.
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
由余弦定理得，，
由（当且仅当时取等号），可知，
所以，所以，
所以，
所以的最小值为，
故选：A
【点睛】
此题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值，解题的关键是由平面向量基本定理把用a，b，c表示出来，属于中档题.
8．C
【解析】
【分析】
根据向量的加减运算法则可得，进而可得结果.
【详解】
依题意，即，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的加减运算，属于基础题.
9．B
【解析】
【分析】
根据图形以及相似关系将未知向量用已知向量表示，注意比例运用.
【详解】
由题意得，，：，，，，.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量线性运算，难度一般.关键是能通过图形将未知的向量用已知的向量表示出来，这里比例关系的运用很重要.
10．A
【解析】
【分析】
，即可得出答案.
【详解】
因为
所以
故选：A
【点睛】
本题考查的是平面向量的加法法则，较简单.
11．B
【解析】
【分析】
建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.
【详解】
解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设，
可得，，，
由，，得，
，，，
，
，，
当时，的最大值为2，此时为弧的中点.
所以的最大值是2.
故选：B.
12． 3
【解析】
【分析】
由可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；
把和代入，化简整理后，代入已知数据，解关于的方程即可得解．
【详解】
解：，、、三点共线，
，
两边平方得：，
，
解得：（舍去）．
，
，
化简整理，得，
，解得．
故答案为：3，．
【点睛】
本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力．
13．
【解析】
【详解】
很明显，则：，
据此有：，解得：.
14．
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算，利用基底表示，根据数量积运算即可.
【详解】
,
，
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
先化简得到A=，因为M是BC中点，所以，平方化简得，结合基本不等式得到所求．
【详解】
由题意，将边化角，得到sinC,
∴,又在中，，∴，得到A=，
∵M是BC中点，
∴，
平方得，4，
即，所以=，
∴,, 则的最大值是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了正弦定理以及三角形中线的向量表示，考查了基本不等式的应用，属于中档题.
16．
【解析】
【分析】
由平面向量共线定理可得，进而可得结果.
【详解】
\三点共线，则
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
17．
【解析】
【分析】
设AB的中点为C,由题得圆心到直线的距离为，所以解方程即得m的值.
【详解】
设AB的中点为C,由题得
圆心到直线的距离为，
所以.
故答案为
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．4
【解析】
【分析】
先由题中条件，得到，推出，从而可得出结果.
【详解】
因为，所以，
即，
因此
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算，熟记向量线性运算法则即可，属于基础题型.
19．
【解析】
【详解】
试题分析：由可得，在中，，，=，又等边三角形中，=2，则.
考点：向量的数量积运算，平面向量的基本定理.
20．
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算可用表示出，得到的值，从而得到结果.
【详解】
，
又，，，.
故答案为：.
21．
【解析】
【分析】
利用平面向量的几何意义以及平面向量加法运算法则求解
【详解】
因为D是边BC的中点，
所以
所以
故答案为：
22．1
【解析】
【分析】
设，将用和表示，根据数量积的定义即可得结果.
【详解】
设，
所以，
所以，
所以的最大值为1.
故答案为：1.
23．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象.
（2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象.
(1)
设是的中点，连接并延长，使.
+-.
(2)
--=-（+）.
24．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由， ， 三点共线可得存在实数使得，同理由， ， 三点共线可得存在实数使得 ，根据向量的基本定理可建立关于的方程，求解即可；
（2）设 ，由（1）可得从而可求证.
试题解析：
（1）∵， ，
由， ， 三点共线可得存在实数使得，
同理由， ， 三点共线可得存在实数使得 ，
∴∴， ，
∴．
（2）设 ，
∴即即．
25．，
【解析】
设，交于点O，则有，，利用向量的三角形法则即可。
【详解】
解：设，交于点O，
则有，．
所以，．
【点睛】
本题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题。
26．
【解析】
先根据向量加法与减法平行四边形法则构建图形，由矩形性质得垂直，再根据勾股定理得结果.
【详解】
设,,以,为邻边作平行四边形,如图所示,
则,因为,所以.
又因为四边形为平行四边形,所以四边形为矩形,故.
在中,,,由勾股定理,得,所以.
【点睛】
本题考查向量加法与减法平行四边形法则，考查基本分析判断能力，属基础题.
27．证明见解析
【解析】
【分析】
根据共线向量即可证明三点共线.
【详解】
证明：∵＝6 ＋23 ，＝4 －8 ，
∴＝＋＝(6 ＋23 )＋(4 －8 )＝10 ＋15
又∵＝2 ＋3 ，
∴＝5 ，
∴、共线，且有公共点B.
∴A、B、D三点共线．
28．（1）.
（2）4.
【解析】
【分析】
（1）利用向量平行的代数形式得到x的值；（2）由数量积的坐标形式得到x的方程，解之即可.
【详解】
（1）∵∥，∴2x﹣15=0，解得x=．
（2）8﹣=（6，3），∵（8﹣） =30，∴18+3x=30，解得x=4．
【点睛】
平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
答案第1页，共2页
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