第六章第二节课时1向量的加法运算、减法运算 (word含解析）

第六章 第二节 课时1向量的加法运算、减法运算
一、单选题
1．中，，，的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．不是定值
2．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A． B． C．1 D．
3．在中，，，设，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面四边形满足，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知为等边三角形，，设，满足，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列命题错误的有（ ）
A．若、都是单位向量，则
B．若，且，则
C．若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线
D．向量的模与向量的模相等
10．在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（ ）
A． B．
C． D．
11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．向量在向量上的投影向量为
三、填空题
12．设P是所在平面内的一点，若，且.则点P是的________.（填“中心”、“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”）
13．如图，已知点M是长方形ABCD内部（包括边界）一动点，，，则的取值范围是_______________．
14．在平面四边形中，，，，分别为，的中点，，，则________．
四、解答题
15．如图，在 ABCD中，若，
(1)当满足什么条件时，
(2)当满足什么条件时，
16．如图，已知平行四边形，点为任一点，设，，，试用，，表示．
17．如图，已知向量，，求作向量．
18．我们知道在△ABC中,=0,反过来,三个不共线的非零向量a,b,c满足什么条件时,顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
O为外接圆圆心，可取边中点D，边中点E，连接，，，从而有，，而，从而进行数量积的计算，便可得出该数量积的值.
【详解】
如图，
取中点D，中点E，连接，，则：
，；
∴
.
故选:A
【点睛】
此题考查三角形外接圆及外接圆圆心的概念，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式，直角三角形边角的关系.
2．A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求的值.
【详解】
由平面向量基本定理，
化简
，
所以，即，
故选：A．
3．C
【解析】
【分析】
根据题意，利用平面向量的线性运算法则，化简得到,结合题设条件，得到，即可求解.
【详解】
在三角形中，，，
可得,
因为，所以，所以.
故选：C.
4．B
【解析】
【分析】
先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解.
【详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则,
设，由，
则，所以，
又，所以，
，
即，
故选：B.
【点睛】
本题考查了两点的距离公式，重点考查了向量的数量积运算及模的运算，属中档题.
5．C
【解析】
【分析】
作出图形，进而根据平面向量的概念及加减法法则即可得到答案.
【详解】
如图，
易知A正确；根据平行四边形法则，B正确；，C错误；，D正确.
故选：C.
6．A
【解析】
运用向量的加法和减法运算表示向量，，再根据向量的数量积运算，建立关于的方程，可得选项.
【详解】
∵，，
∴
，∴.
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可.
【详解】
，
故选：C
8．BCD
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.
【详解】
根据复数的线性运算，
对A，化简为，错误；
对B，即，即，正确；
对C，对移项可得，正确；
对D，由，移项即，正确；
故选：BCD
9．ABC
【解析】
【分析】
直接利用单位向量，向量的相等，向量的共线，向量的模的相关的定义的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】
解：对于A：若，都是单位向量，则，因为，的方向不一定相同，故，不一定相等，故A错误；
对于B：因为，且，当时，与任何向量都平行，故不能得到，故B错误；
对于C：非零向量与而是共线向量，即，不能得到、、、四点共线，故C错误；
对于D：向量与向量互为相反向量，故向量与向量的模相等，故D正确：
故选：ABC．
10．AC
【解析】
【分析】
对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.
【详解】
解：如图所示：
对A，，
又，
即，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，设为与的交点，
由题意可得：是的重心，
故，
，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：AC.
11．ABD
【解析】
【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】
解：图2中的正八边形，其中，
对于A，故A正确；
对于B，故B正确；
对于C：因为，，，，则，
，所以，故C错误；
对于D：因为，所以向量在向量上的投影向量即为在向量上的投影向量，故D正确．
故选：ABD．
12．外心
【解析】
【分析】
首先取中点，连接，根据向量的运算得到线段的中垂线上，根据，得到线段的中垂线上，从而得到答案.
【详解】
取中点，连接，如图所示：
所以
，即点在线段的中垂线上，
又因为，所以点在线段的中垂线上，
所以为的外心.
故答案为：外心
13．
【解析】
【分析】
设AB的中点为E，连接ME，根据向量的加法运算和向量的数量积运算求得，由此可求得范围.
【详解】
设AB的中点为E，连接ME，则．
因为点M为正方形ABCD内部（包括边界）一动点，所以，
当点M与D点或C点重合时，取得最大值2，当点M与点E重合时，取得最小值-1．
故答案为：．
14．
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算用，表示出，即可求得答案.
【详解】
①
②
①②得，
即.
，，
.
，分别为，的中点，
，
，
平方得，
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算与数量积，考查考生的化归能力与转化能力和运算求解能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.
15．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，得到 ABCD为菱形求解；
（2）由，得到 ABCD为矩形求解.
(1)
解：如图：，
当时， ABCD为菱形，对角线相互垂直，
所以，即；
(2)
当时， ABCD为矩形，对角线长度相等，
所以，即.
16．
【解析】
【分析】
利用向量的加法运算即可求解.
【详解】
解：
17．作图见解析
【解析】
【分析】
根据，的位置关系，通过平移，使其起点或终点与的起点重合，再由平行四边形法则、向量共线的性质，即可画出.
【详解】
（1）平移，使其起点与起点重合，再应用平行四边形法则，作出，如下图示：
（2）平移，使其终点与起点重合，再以的起点为起点，的终点为终点作，如下图示：
18．见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：
由题意可得当时，顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形．然后根据向量加法的有关知识进行证明即可．
试题解析：
当时，顺次将它们的终点与始点相连可组成一个三角形．
作,=，
则，
于是即与方向相反、大小相同，
也即=．
故可构成一个三角形．
答案第1页，共2页
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