人教A版（2019）必修第二册6.2.3向量的数乘运算同步练习 (word含解析）

人教A版（2019） 必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算 同步练习
一、单选题
1．已知向量，，若向量与向量平行，则实数
A． B． C． D．
2．已知向量，，则
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则实数
A． B． C． D．
4．已知平面向量满足：，，，若，则的值为
A． B． C．1 D．-1
5．已知，且，则=
A．3 B．5 C． D．
6．在△ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，=(1，-2)，则向量=　(　　)
A．(0，0) B．(2，2)
C．(-1，-1) D．(-3，-3)
7．在平行四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）
A． B． C． D．
9．中,在上, ,是上的点, ,则m的值
A． B． C． D．
10．在直角梯形中，，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，点D是边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，、为互相垂直的两个单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知和点满足，若存在实数使得成立，则（ ）
A． B． C． D．
14．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则 的形状是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
二、双空题
15．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是___________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是___________.
16．已知向量，则
（1）与同向的单位向量的坐标表示为____________；
（2）向量与向量夹角的余弦值为____________．
三、填空题
17．在平行四边形中，，且，则________.
18．下列四个结论：①“”是“”的充分不必要条件；②在△中，“”是“△为直角三角形”的充要条件；③若，，则“”是“，全不为0”的充要条件；④若，，“”是“，不全为0”的充要条件．其中正确命题的序号是________．
19．已知向量，且，，，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是______．
20．已知平面向量，满足，且.若存在实数和单位向量，使不等式成立，则实数t的最大值为__________.
21．在中，，，，点是内（包含边界）的一个动点，且，则的最大值为__________.
四、解答题
22．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，用，表示.
23．设，是两个不共线的向量，已知，，.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若，且B，D，F三点共线，求k的值.
24．已知向量满足，夹角为．
（1）求；
（2）若，求k的值．
25．设为内任一点，且满足，若分别是的中点.
（1）求证：共线；
（2）求与的面积之比.
26．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．
（1）试以，为基底表示，；
（2）求证：A，G，C三点共线．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【详解】
由，，可得，，因为向量与向量平行，所以，解得．故选D．
2．C
【解析】
【分析】
由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．
【详解】
∵向量（-2，﹣1），（3，2），
∴.
故选C.
【点睛】
本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.
3．D
【解析】
根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．
【详解】
向量（2，﹣1），（1，λ），
则（4，﹣1+2λ），
（3，﹣2﹣λ），
又（）∥（），
所以4（﹣2﹣λ）﹣3（﹣1+2λ）＝0，
解得λ．
故选D．
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．
4．C
【解析】
【分析】
将代入，化简得到答案.
【详解】
故答案选C
【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
5．D
【解析】
【详解】
∵，且，
∴，即
∴=
故选D
6．C
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性表示与坐标运算，计算即可．
【详解】
因为A(2，1)，B(0，2)，
所以=(-2，1).
又因为=(1，-2)，
所以=+=(-2，1)+(1，-2)=(-1，-1).
故选C.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，是基础题．
7．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的平行四边形法则求解即可.
【详解】
因为为平行四边形,故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的平行四边形法则.属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
根据题意，可得出，由于，，三点共线，根据向量共线定理，即可求出.
【详解】
解：由题知：，，
所以，
由于，，三点共线，
所以，
∴．
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.
9．A
【解析】
【详解】
由题意得：
则
故选
10．C
【解析】
【分析】
先根据题意得，，进而得，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案.
【详解】
由题意可求得，，
所以，
又，
则
.
故选：C.
【点睛】
本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.
11．D
【解析】
【分析】
利用向量的加法和数乘运算可得正确的选项.
【详解】
,
故选：D.
12．A
【解析】
【分析】
利用图形得出向量、关于、的表达式，并计算出，然后利用平面向量数量积来计算的值.
【详解】
由图形可得，，，
，且，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量模的计算，解题的关键就是将向量利用基底进行表示，考查运算求解能力，属于中等题.
13．C
【解析】
【分析】
由得出，再利用、、表示向量、，利用已知条件可求得实数的值.
【详解】
，，
，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理求参数，考查向量的减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
14．B
【解析】
【详解】
试题分析：：∵，
∴，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形
考点：向量运算
15． 一条直线 两个点
【解析】
【分析】
利用共线向量定义判断.
【详解】
因为平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，
所以向量的终点都在一条直线上，
所以终点构成的图形是一条直线；
若这些向量是单位向量，则终点只有两个，
所以终点构构成的图形是两个点，
故答案为：一条直线，两个点.
16．
【解析】
【分析】
（1）先求出，进而可得其单位向量；
（2）先求出向量，再根据夹角公式计算即可.
【详解】
解：（1）由题知，所以，
所以与同向的单位向量的坐标表示为；
（2）由题知，
所以向量与向量夹角的余弦值为.
故答案为：；
17．
【解析】
【分析】
根据题意可得，利用向量加法运算的三角形法则以及数乘运算即可求解.
【详解】
因为，所以，
则，
所以.
故答案为：
18．①④
【解析】
【分析】
根据向量的运算知①正确，举反例得到②错误，取得到③错误，考虑充分性和必要性得到④正确，得到答案.
【详解】
当时，，当时，或，①正确；
当△中，则，故②错误；
取得到，故③错误；
若，则，不全为0，若，不全为0，则，故④正确；
故答案为：①④.
19．
【解析】
【分析】
根据，得出方程求得，若向量与反向共线时，则存在实数使得成立，得到方程组无解，即可得到答案.
【详解】
由向量，且，，，可得，
因为向量与的夹角为钝角，
可得且，
由，即，
所以，解得，
若向量与反向共线时，存在实数，使得成立，
可得，此时方程组无解，所以不存在实数使得向量与反向共线，
所以实数的取值范围是.
20．
【解析】
【分析】
原题等价于，由可得为上一点，设为单位圆上的，根据题意设，，，,由向量运算可得，转化为利用对称性求距离之和的最值.可得答案.
【详解】
原题等价于
由，，设
设，，,为单位圆上的点
设，即
则,所以,则为上一点，设为中点.
所以
圆心到直线的距离为，故圆与直线相离.
作关于对称点，则
又,所以
由对称性有，即轴,所以
所以，则
所以实数t的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查向量不等式能成立问题，构造不等式解不等式是关键，考查对称问题，两点之间线段最短，“将军饮马”模型的使用,属于难题.
21．
【解析】
根据，，，利用正弦定理求得角C，易得为直角三角形，再根据，取，令，转化为，利用平行四变形法则，找到点P在图中位置即可.
【详解】
，，，
由正弦定理得，
解得，
则为直角三角形，如图所示，
取，
，
令，
则，
点在图中位置时，最大，
易知，
由勾股定理求得，
故的最大值为.
故答案为：.
22．.
【解析】
【分析】
直接根据向量的线性运算计算即可.
【详解】
根据题意得，.
又，，
所以.
23．（1）证明见解析；（2）12.
【解析】
【分析】
（1）通过证明可得结果；
（2）由共线定理得，列出关于的方程解出即可.
【详解】
（1）证明：由已知得，
∵，∴.
又与有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）由（1）可知，
∵，且B，D，F三点共线，
∴，
即，∴，
解得.
24．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)结合向量的数量积求模即可；(2)由得，计算即可.
【详解】
解：由题意可得．
（1）因为，
所以．
（2）由题意可得，即，
则，解得．
25．（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据题意推出，即可得到结论成立；
（2）先由（1）得到，根据题意，即可得出三角形面积之间的关系，从而可得出结果.
【详解】
（1）如图，，
∵，
即，∴与共线，
即三点共线.
（2）由（1）知，
∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查三点共线的证明，以及平面向量的应用，熟记向量的共线定理即可，属于常考题型.
26．（1），；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据向量的加法，减法以及数乘运算，即可求出；
（2）以，为基底，利用向量共线定理，两种方式表示出向量，由平面向量基本定理，解方程可求出，而，根据共线定理即可证出．
【详解】
（1），．
（2）因为D，G，F三点共线，则，，
即．
因为B，G，E三点共线，则，
即，
由平面向量基本定理知，解得，
所以，
所以A，G，C三点共线．
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理和向量共线定理的应用，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页