人教A版（2019）必修第二册第6章第4节平面向量的应用同步练习（word含答案解析）

人教A版（2019） 必修第二册 第6章 第4节平面向量的应用 同步练习
一、单选题
1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝
A． B． C． D．
2．在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为
A．5 B．5 C．2 D．3
3．在△ABC中，B＝45°，C＝30°，c＝1，则b＝
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
5．抛物线的准线l与双曲线C：（，）交于A、B两点，，为曲线C的左右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于E点，，则的面积为
A． B． C． D．
6．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于 (　　)
A．1 B．2 C．4 D．1或4
7．在中，若，，，则的面积= （ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
8．为了测量灯塔的高度，第一次在点测得，然后向前走了20米到达点处测得，点 在同一直线上，则灯塔高度为___________.
9．若且，则____________
三、解答题
10．根据下列算法语句，将输出的A值依次记为
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知函数的最小正周期是，且函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域．
11．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．
12．已知向量满足，.
(1)若的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角.
13．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
14．已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
Ⅰ求角A的大小；
Ⅱ已知函数，且方程有解，求实数t的取值范围．
15．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）点D在的延长线上，且A为的中点，线段长度为2，求的最大值.
16．一幢高楼上安放了一块高约10 米的 LED 广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的 C 处测得广告屏顶端A 处的仰角为 31.80°，再向大楼前进 20 米到 D 处，测得广告屏顶端 A 处的仰角为 37.38°（人的高度忽略不计）．
（1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到 1 米）；
（2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长 椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部 E 处多远？已知视角 ∠AMB（ M 为观测者的位置， B 为广告屏 底部）越大，观看得越清晰．
17．已知锐角的角所对边分别是，且．
（1）求角；
（2）若角的平分线交于点，且，求．
18．在中，已知，求证：.
19．一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？
20．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
(1)求的值；
(2)求b的值．
21．一辆汽车在平直的公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风往南偏东60°方向吹，风速为4m/s，这时气象台报告实际风速为2m/s，试求风的实际方向和汽车的速度大小.
22．据气象台预报，在岛正东方向的处有一台风中心形成，并以的速度向北偏西的方向移动，在台风中心以内的地区都将受到台风的影响.若台风中心的这种移动趋势不变，岛所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到参考数据
23．在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在，其内角，，的对边分别为，，，且，，______？若三角形存在，求的周长；若三角形不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
24．向量是代数的研究对象，数的运算、代数式的运算和向量的运算是学习代数运算的三个重要阶段；向量也是沟通代数与几何的一座天然桥梁，把运算关系与图形关系联系起来，在数学和物理学中有着广泛的应用.
（1）请结合你学习的感悟说明“数的运算、代数式的运算和向量的运算”这三种运算的联系与区别；
（2）请结合你学习数学和物理的体会，说明向量是如何成为沟通代数与几何的一座天然桥梁的，在物理学中有哪些应用
25．某市为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在为圆心．设，健身广场的面积为．
（1）求出关于的函数解析式；
（2）当角取何值时，健身广场的面积最大？
26．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若对任意，都有，求的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，将条件转化为边的关系，结合余弦定理，即可得结果.
【详解】
∵ ，
∴ 由正弦定理得，即，
所以，
又，所以，
故选：B
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查分析求解的能力，属基础题.
2．A
【解析】
【分析】
由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，得，再结合三角形的性质及正弦定理可得三角形的最大边长，得解.
【详解】
解：由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，则，因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大，由正弦定理可得，，
故选:A.
【点睛】
本题考查了三角形的性质及三角形基本量的运算，重点考查了正弦定理，属基础题.
3．A
【解析】
【详解】
由正弦定理可知，，解得：，故选A．
4．B
【解析】
【分析】
根据两角差的余弦公式可得，从而得到，即可得到答案；
【详解】
,,
△ABC的形状为钝角三角形.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断、三角恒等变换，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
5．D
【解析】
根据点是中点，结合是等边三角形，以及余弦定理，求得，利用三角形面积公式即可求得结果.
【详解】
根据题意，作图如下：
由，可得E为的中点，又O为的中点，
∴，
∵为等边三角形，∴，，
∴，.
抛物线的准线l：，
∴的边长为，，
在中，由余弦定理可得：.
即，
解得：，，.
.
则的面积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，由抛物线方程求准线方程，涉及余弦定理，属综合困难题.
6．C
【解析】
【详解】
中，，，
由余弦定理得：即
解得或（舍去）
故选
7．A
【解析】
【分析】
首先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求得三角形的面积.
【详解】
依题意，，所以，
即，
即，所以，解得.
所以三角形的面积.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
8．米
【解析】
【分析】
结合等腰三角形的性质求得正确答案.
【详解】
，
所以，
在中，米.
故答案为：米
9．
【解析】
【分析】
由化为后,再整理可得.
【详解】
因为,所以,
所以,即,
所以.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了向量的线性运算,属于基础题.
10．（Ⅰ）且；（Ⅱ）
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）由已知，当时，；而也符合，
即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以函数的最小正周期为，所以，则 又函数的图象关于直线对称，可得所以，则 ，根据三角函数的性质，即可求出结果．
试题解析：解：（Ⅰ）由已知，当时，；而也符合，
所以数列的通项公式为且
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以函数的最小正周期为，所以，
则
又函数的图象关于直线对称
所以
因为 ，所以，则
因为，所以
所以
故函数在区间上的值域是
考点：1．程序框图；2．三角函数的性质．
11．（1）A（2）．
【解析】
【分析】
（1）化边为角，利用两角和正弦公式，即可求解；
（2）由正弦定理求出，和角应用余弦定理建立关系，再由基本不等式求出最大值，即可求出结论.
【详解】
（1）∵（2b﹣c）cosA＝acosC，
∴由正弦定理可得：（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，
可得：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A，
（2）∵△ABC的外接圆面积为π，
∴△ABC的外接圆半径为1，∵，∴a，
∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
∴bc≤3，当且仅当b＝c等号成立，
∴S△ABCbcsinA，当且仅当b＝c等号成立，
∴S△ABC的最大值为．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、两角和公式解三角形，注意应用基本不等式求最值，属于中档题.
12．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用公式即可求得;
（2）利用向量垂直的等价条件以及夹角公式即可求解.
【详解】
解：（1）由已知，得，
所以
，
所以.
（2）因为，所以.
所以，
即，
所以.
又，
所以，即与的夹角为.
【点睛】
主要考查向量模、夹角的求解，数量积的计算以及向量垂直的等价条件的运用.属于基础题.
13．证明见解析
【解析】
【分析】
设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果.
【详解】
证明：设， ．
因为四边形为菱形，所以，
又
则，故．
所以.
14．（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理将边化为角，化简可得，结合的范围即可得结果；（Ⅱ）易得函数关于点对称，故原题等价于，结合的范围求出的范围即可.
【详解】
（Ⅰ）在中，由正弦定理得．
即，又角为三角形内角，，
所以，
又因为为三角形内角，所以．
（Ⅱ）的图像关于对称，由，
可得，，
又为锐角三角形，所以，
，，所以．
【点睛】
本题主要考查了通过正弦定理实现边角互化，三角函数的值域问题，解决问题的关键是通过函数的对称性转化为求三角函数的值域问题.
15．（1）；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理边角互化可得，即，由余弦定理可得即可求出；
（2）在中，根据余弦定理可得，再利用基本不等式放缩，可得，即可求出的最大值．
【详解】
（1）∵，由正弦定理得，
∴，即∴，
∵，∴.
（2）在中，由余弦定理知：，
∴，∵，
∴，即，当且仅当，
即，时取等号，此时的最大值为4.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，以及利用基本不等式求解三角形中和边长有关的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
16．（1）大约62m （2）约57m
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得，即可求大楼的高度；
（2）设，，，，用的式子表示，在利用基本不等式求最值，即可得出结论．
【详解】
解：（1）由题意，，，
，，
由正弦定理可得，
；
（2）设，，，，
，，
当且仅当时，取得最大值，此时也最大．
【点睛】
本题考查正弦定理的运用，考查差角的正切公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．
17．（1）；（2）
【解析】
（1）根据两角和的正弦公式，结合辅助角公式、特殊角的正弦值和正弦函数的图象进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合等腰三角形的性质、锐角的三角函数定义进行求解即可.
【详解】
（1）因为
，
所以，又，得．
（2），由正弦定理得，
所以，
所以，
所以．
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力.
18．证明见解析；
【解析】
【分析】
利用降幂公式将已知等式化为，要证，只需证明，利用正弦定理边角互化，即可证明结论.
【详解】
设的外接圆半径为，
，
，.
【点睛】
本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形，合理分析找到解题突破口，考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
19．（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米.
【解析】
【分析】
（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式；
（2）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解.
【详解】
（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示：
设，由，，可得，所以.
，，，
由题意可知，函数的最小正周期为，，
所以点距离水面的高度关于时间的函数为；
（2）由，得，
令，则，
由，解得，又，
所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米.
【点睛】
本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
20．(1)
(2)5
【解析】
【分析】
（1）先由，求得，再结合，利用正弦定理求解；
（2）根据，利用余弦定理求解.
(1)
解：在中，因为，
所以，
又，
由正弦定理得：；
(2)
在中，因为，
所以由余弦定理得：，
即，
解得 .
21．由正北向正南方向，汽车速度的大小为
【解析】
【分析】
先根据条件，画出力的图示，然后计算汽车速度大小以及风向.
【详解】
依据物理知识知，有三对相对速度.设汽车对地的速度为，风对汽车的速度为，
风对地的速度为。风对地的速度可以看作汽车对地与风对汽车的速度的合速度，即，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量的
有向线段是平行四边形的对角线.因为，
所以，在中，，
所以风的实际方向是由正北向正南方向，汽车速度的大小为.
【点睛】
本题考查向量中的速度分解以及夹角问题，难度一般.处理这类问题，关键是作出合适的示意图，利用图形的特点去计算求解结果.
22．岛会受到影响，大约153分钟后岛所在地开始受到台风影响，持续时间为294分钟.
【解析】
【分析】
过点作于点，计算得可知会受台风影响，进而利用余弦定理计算可得解.
【详解】
如图台风中心为，则为台风经过的路径所在的直线，
过点作于点，在中，，
岛所在地会受到台风的影响
设以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点，
即从点F开始受影响，到点E结束影响，设台风中心经过小时到达点
在中，
由余弦定理得：
若岛受到台风影响，则应满足条件，
化简整理得，，解得
所以从现在起，经过岛开始受到影响
B岛所在地受影响的时间为
综上：岛会受到影响，大约153分钟后岛所在地开始受到台风影响，持续时间为294分钟.
23．答案见解析
【解析】
选①：，利用正弦定理得，结合
可得，利用，即可求得，由正弦定理即可求出边和，从而求得周长；选②：，利用余弦定理可得，即可求得，后同①中的过程；选③，利用正弦定理得，即可求得，由可求，，所以三角形不存在.
【详解】
选①：因为，所以由正弦定理得，
即，
即，整理得.
因为，所以.又，所以.
又因为，所以，即.
由得:，所以.
由正弦定理，得，解得，，所以的周长为.
选②：因为，
所以由余弦定理得，即，
所以，因为，所以，下同选①.
选③：因为，所以由正弦定理得，即，
又因为，所以，因为，所以问题中的三角形不存在.
【点睛】
关键点点睛：选②：三角形面积公式与已知条件结合可得，再利用余弦定理即可求出，即可求出，选③求出，注意判断，问题中的三角形不存在.
24．(1)见解析;(2) 见解析
【解析】
【分析】
（1）由向量的加减法运算、数乘运算、数量积运算的定义与数的运算、代数式的运算法则进行比较即可；
（2）从物理学中的矢量，力的分解与合成，动量，功等几方面分析.
【详解】
（1）数的运算、代数式的运算和向量的运算都满足加法与减法交换律、结合律；
数的运算与代数式的运算满足乘法的交换律与结合律，满足单项式乘以单项式的运算法则，
满足多项式乘以多项式的运算法则 ；
向量的数量积运算满足交换律 , 但不满足结合律，向量的数量积运算满足单项式乘多项式法则与多项式乘多项式法则；
数与代数式的加减法运算是简单的数与式子的计算，而向量的加减法运算涉及向量的起点与
终点的变化；
数的乘法运算的结果是数，代数式的乘法运算结果依然为代数式，而向量的数量积运算结果
为数，向量可以进行数乘运算，一个实数乘以一个向量结果为向量.
（2）向量是既有大小又有方向的量,物理中有许多量：力、速度、加速度等都是向量；
力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法、运动的叠加亦用到向量的合成 ; 动量 m 是数乘向量；功定义即力与产生位移的内积，就是向量的数量积.
25．（1）（）；（2）时，健康广场的面积最大，最大值为．
【解析】
【分析】
（1）由已知，，，，从而可表示出关于的函数解析式.
（2）设,利用导数求出其最大值，即可得到健身广场的面积最大，得到答案.
【详解】
（1）由已知得，，
等腰底边上的高为，
所以
所以（）．
（2）设，
则，
由得，得，
由在上单调递增，在上单调递减，
所以时，，
所以，
即时，健康广场的面积最大，最大值为．
【点睛】
关键点睛：本题考查函数模型的选及其应用，利用导数求最值，解答本题的关键是设，求导数得出单调区间，得出最值，属于中档题.
26．（1）；（2）.
【解析】
（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再求最小正周期；（2）由题意可知当时，函数取得最小值，首先求的范围，再根据根据函数的取值范围确定右端点的范围，求的最大值.
【详解】
（1）因为
所以的最小正周期为．
（2）由（1）知
令
当时，.
若对任意，都有，
即对任意，都有
所以.
即，
所以的最大值为.
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入求解函数性质，根据的范围，求的范围，再代入的性质，求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页