人教A版（2019）必修第二册第7章单元检测（Word含解析）

人教A版（2019） 必修第二册 第7章 单元检测
一、单选题
1．复数的虚部是
A．2i B． C．i D．
2．在复平面内，复数的对应点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．已知复数（，为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，是复数的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部是 B． C． D．
8．设复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．设为虚数单位，，若是纯虚数，则
A．2 B． C．1 D．
10．【湖南省益阳市2018年5月联考】已知复数满足，则
A． B．5 C． D．10
11．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）
A．2i B．-2i C．i D．-i
12．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
13．2020年，一场新冠疫情阻断了我们上学之路，但挡不住我们的学习热情．举国上下，万众一心，团结奋战．5月11日，我们高二年级终于迎来了复学之日，让我们就从这个复学之数来开启今天的答题：现给出复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．13 B． C． D．
14．复数（是虚数单位），则
A． B． C．-1 D．
15．设，则
A． B． C． D．
16．已知为锐角，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
17．是成立的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
18．设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为
A． B． C． D．
19．若复数，，则下列结论错误的是
A．是实数 B．是纯虚数
C．是实数 D．是纯虚数
20．是虚数单位，，，则是为纯虚数的（ ）条件．A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
21．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为i B．
C．的共轭复数 D．为纯虚数
22．已知复数的实部不为0，且，设，则在复平面上对应的点在（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第三象限 D．第四象限
23．已知为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+(1-a) 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且，则＝(　　)
A．2-i B．-1+2i C．-1-2i D．-2+3i
24．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．设复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、双空题
26．已知复数满足，其中为虚数单位，则_______，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第_______象限．
三、填空题
27．已知、为复数，为纯虚数，，且，则______.
28．已知复数z＝2＋6i，若复数mz＋m2(1＋i)为非零实数，求实数m的值为_____．
29．，，，则集合中元素的模的取值范围是__________．
30．已知是虚数单位，若，则b=_______
31．已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是________.
32．已知，则复数__________．
33．复数的虚部是______.
34．在复平面内，复数与所对应的点分别为，若向量所对应的复数为，则________.
四、解答题
35．设复数，求满足下列条件的实数的值：
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）在复平面内对应的点位于第二象限．
36．已知复数，问为何值时，是实数？虚数？纯虚数？
37．计算下列各式：
（1）；
（2）；
38．已知复数.
（1）设，求的值；
（2）求满足不等式的实数的取值范围.
39．若复数，求实数使成立.（其中为的共轭复数）
40．若复数，当实数为何值时
（1）是实数；
（2）是纯虚数；
（3）对应的点在第二象限.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
因为复数，因此虚部为，选B
2．D
【解析】
【分析】
复数的对应点为，可得．再利用复数的运算法则即可得出．
【详解】
因为复数的对应点为，所以，
则，
故选：D．
3．C
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算化简复数，再利用共轭复数概念得到，即可得到答案；
【详解】
，
，
在复平面上对应的点所在的象限为第三象限，
故选：C.
4．D
【解析】
【详解】
由题知为纯虚数，实部为.故 .故本题选.
5．D
【解析】
【分析】
由得出，利用复数的除法运算可求得复数.
【详解】
由得出.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的计算，考查复数除法运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
运用复数乘法化简复数得解
【详解】
，因此复数z对应点的坐标为，在第三象限.
故应选C.
【点睛】
本题考查复数乘法运算及复数几何意义，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义可知复数在复平面内对应的点为，然后结合题中条件可求出复数z，最后根据复数的概念和运算确定正确的选项.
【详解】
复数在复平面内对应的点为，所以有，所以，
所以的虚部是2，，，.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查复数的概念和运算，考查共轭复数，复数的几何意义，解题关键是熟知复数的相关概念和运算法则，属于常考题.
8．C
【解析】
【分析】
根据复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1+i，得到z2＝﹣1+i，再利用复数的乘法求解.
【详解】
∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1+i，
∴z2＝﹣1+i，
∴（1+i） （﹣1﹣i）＝﹣1﹣i﹣i﹣i2＝﹣2i．
故选：C．
9．C
【解析】
【详解】
∵是纯虚数
∴是纯虚数
∴，即
故选C
10．C
【解析】
【详解】
分析：将化为，然后进行化简即可得到z=a+bi的形式，再有模长公式计算即可．
详解：， ， ， ， 故选C
点睛：本题主要考查复数的运算和复数的模长.
11．D
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求得，进而可求得其共轭复数.
【详解】
，其共轭复数为.
故选：D.
12．C
【解析】
【分析】
先将复数化简，再套用模长公式即可
【详解】
因为，所以，
所以
故选：C
13．A
【解析】
【分析】
根据，化简复数，得，再根据复数的模长公式可得解.
【详解】
因为，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的乘方运算，考查了复数的模长公式，属于基础题.
14．D
【解析】
【详解】
因为复数，所以，故选D.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．
15．C
【解析】
根据复数运算法则求得，根据模长的定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题.
16．D
【解析】
【分析】
方法一：根据为锐角，可知，再对化简，可得，再利用基本不等式即可求出结果；
方法二：根据为锐角，可知，，再利用同角基本关系和二倍角关系对化简，可得 ，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】
方法一：∵为锐角，∴，
∴，
当且仅当，即，时等号成立．
方法二：∵为锐角，∴，，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立．
【点睛】
本题主要考查了三角函数同角的基本关系和二倍角公式应用，以及基本不等式在求最值中的应用.
17．A
【解析】
解方程求得的的充分必要条件，然后进行判定即可.
【详解】
即即或,
∴是成立的充分不必要条件，
故选：.
【点睛】
本题考查充分、必要条件的判定，解方程求得的的充分必要条件，然后进行判定.
18．C
【解析】
【详解】
试题分析：,因为的实部为2，所以，所以的虚部为,故选C.
考点：1.复数数的概念；2.复数的运算.
19．B
【解析】
【分析】
分别计算出，，，的值，由此判断出结论错误的选项.
【详解】
是实数；不是纯虚数；是实数；是纯虚数，故选B.
【点睛】
本小题主要考查复数的运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.
20．B
【解析】
【分析】
复数是纯虚数，则，利用直接法进行判断即可得解.
【详解】
复数是纯虚数，则，
“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B.
21．D
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则，结合复数模的定义、共轭复数的定义，结合复数虚部的定义、纯虚数的定义逐一判断即可.
【详解】
解：∵，∴z的虚部为1，为纯虚数，，∴正确的结论是D．
故选：D．
22．A
【解析】
设，由，得，然后化简，得到对应的点坐标，再判断.
【详解】
设，
因为，
所以，
所以，
所以在复平面上对应的点坐标为，
又因为复数的实部不为0，
所以在复平面上对应的点在实轴上
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
23．A
【解析】
【分析】
通过复数的运算得到方程，根据其在复平面的位置得到结果.
【详解】
由可得，解得或，
∴或，
∵在复平面内对应的点位于第一象限，
∴，故选A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题.
24．C
【解析】
【详解】
复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于第三象限
故选
25．A
【解析】
先利用复数的除法化简复数z，进而求得其共轭复数，然后利用几何意义求解.
【详解】
因为，
所以，
∴，
∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，
故选：A.
26． 一
【解析】
【分析】
（1）首先设复数，利用等式两边相等，计算复数，再求模；（2）根据复数的几何意义直接求解.
【详解】
设，则，
因此，解得，
所以，故，，其在复数平面内对应点位于第一象限．
故答案为：；一
【点睛】
本题考查复数相等，模，共轭复数，以及复数的几何意义，属于基础题型.
27．
【解析】
设，由为纯虚数，求得，再由求得，求解出和，再代入即可求得答案.
【详解】
设，
则，
由题意，得，
，
由，得，
解得，.
将代入，解得或.
代入可得.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的运算，复数模的计算和复数的基本概念，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.
28．-6
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0且实部不为0列式求解．
【详解】
由题意，，解得．
故答案为-6.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
29．
【解析】
【详解】
如图所示，由题意可知：，表示以 为圆心， 为半径的圆及其内部，，表示的是以点 为端点的线段的垂直平分线，则集合M的轨迹为线段AB，据此可得：集合中元素的模的取值范围是.
点睛：复数中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用复数的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用复数的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．本题采用了“形化”与“数化”的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决．
30．
【解析】
【分析】
分子分母同时乘以i再根据复数相等的充要条件即可得解.
【详解】
，且，
.
故答案为：3
【点睛】
本题考查复数的除法运算、复数相等的充要条件，属于基础题.
31．
【解析】
根据，利用模的计算公式列不等式求解实数a的取值范围.
【详解】
，，
又因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查复数模的运算，是基础题.
32．
【解析】
【详解】
分析：设，由复数相等即可解出复数.
详解：设，由题知，
所以，
∴
故答案为
点睛：本题考查了复数相等及模运算，属于基础题.
33．-1
【解析】
【分析】
利用虚数单位的整数次幂求出复数即可得解.
【详解】
因，则，
所以复数的虚部是-1.
故答案为：-1
34．
【解析】
【详解】
试题分析：由复数的代数形式分别得,,,故.
考点：1.复数的代数形式；2.复数模的计算.
35．(1) 或 (2) (3)
【解析】
【分析】
（1）若z为实数，虚部为0，可得m；（2）若z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可得m；（3）复平面第二象限内的复数满足实部小于0，虚部大于0，可得．
【详解】
解：（1）由题得，解得或．
（2）由题得，解得．
（3）由，得
【点睛】
本题考查复数的基本性质，是基础题．
36．当时，为实数；当且时，为虚数；当或时，为纯虚数
【解析】
【分析】
根据复数分类的定义求解即可.
【详解】
因为复数
则，.易知.
当，即且，为实数，此时解方程，得；
当，即且时，为虚数，此时且；
当且，即且时，为纯虚数.
解方程，得或.
综上所述，当时，为实数；当且时，为虚数；当或时，为纯虚数.
【点睛】
此题考查了实数、虚数和纯虚数的基本概念，回答的取值条件时，要注意用词，是“或”还是“且”.
37．（1）0；（2）
【解析】
利用复数的乘除运算法则求解.
【详解】
计算下列各式：
（1）；
（2）.
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
38．（1）；（2）.
【解析】
（1）将复数代入，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误；
（2）将复数代入，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.
【详解】
（1）.
；
（2）不等式为
即，
即，
整理得且，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.
39．得或
【解析】
【分析】
求得，代入化简，根据复数相等的概念列方程组，解方程组求得的值.
【详解】
依题意，代入得，即，根据复数相等的概念，有，解得或.
【点睛】
本小题主要考查复数相等的概念，考查共轭复数的概念，考查复数乘法运算，考查方程的思想，属于基础题.
40．(1)m=2或m=-1 (2)m=-3 (3)m范围
【解析】
【分析】
（1）根据复数的分类条件可求出的值;
（2）根据纯虚数的条件可得出结果;
（3）利用复数的几何意义,转化为的不等式,即可求的取值范围.
【详解】
（1）当是实数时,,解得或,
所求的值为或;
（2）当是纯虚数时,,解得,
所求的值为;
（3）当对应的点在第二象限时,
,解得,
实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查复数的分类,以及复数的几何意义,考查等价转化,数形结合思想,属于基本题.
答案第1页，共2页
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