人教A版（2019）必修第二册第六章第二节课时2向量的数乘运算（word含解析）

人教A版（2019） 必修第二册 第六章 第二节 课时2向量的数乘运算
一、单选题
1．已知双曲线：的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，，若且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．设是非零向量，满足，，则与夹角大小为（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
3．下列说法不正确的是（ ）
A．为不共线向量，若，则
B．
C．若，则与不一定共线
D．若为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为
4．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
5．在矩形ABCD中，，设，则=
A． B． C． D．
6．已知,,,则（ ）
A．,,三点共线 B．,,三点共线
C．,,三点共线 D．,,三点共线
7．已知中，，且，点，是边的两个三等分点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若是的负向量，则下列说法中错误的是（ ）
A．与的长度必相等
B．
C．与一定不相等
D．是的负向量
9．已知向量，若，则实数m的值为
A．0 B．2 C． D．2或
二、多选题
10．下列关于平面向量的说法中正确的是 （ ）
A．已知均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B．若且，则
C．若点为的重心，则
D．若与是单位向量，则
三、填空题
11．已知△ABC中，点A、B、C的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则的坐标是：_______．
12．已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______.
13．如图，在平行四边形中，O是和的交点.
（1）____________；
（2）________；
（3）_______；
（4）_________.
14．已知向量，则|（其中的最小值是________．
15．已知，是两个不平行的向量，、，则成立的充要条件是_________.
四、解答题
16．如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
17．已知向量=（，1），=（1，），，．
（1）求；
（2）若，求k的值；
（3）当k=1时，求与夹角的余弦值．
18．已知两个非零向量.
（Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直；
（Ⅱ）若，，，求证：三点共线.
19．（1）化简：；
（2）设两个非零向量与不共线.如果，，，求证：、、三点共线.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由得，是等腰直角三角形，求出到渐近线的距离，可得，由可得，在中应用余弦定理得的等式，可求得离心率．
【详解】
∵，∴，又，∴是等腰直角三角形，
，渐近线方程不妨为，即，
则到该渐近线的距离为，
∴，，
又，∴，，又，
由余弦定理，
得，
整理得，∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找出关于的齐次等式，本题利用是等腰直角三角形，借助顶点到渐近线的距离，余弦定理列出了等式，从而使问题得到解决．
2．D
【解析】
【分析】
令，则，，，，计算即可得出答案.
【详解】
解：令，则，，
则，
.
则.
故选：D．
3．D
【解析】
【分析】
对于A：根据向量加法的平行四边形法则得到及矩形的判定定理的即可判断；
对于B：由向量数乘的运算法则即可判断；
对于C：对向量是否为零向量进行分类讨论；
对于D：利用平面向量的基本定理直接判断.
【详解】
对于A：为不共线向量，则两向量均为非零向量，又由得以向量模长为邻边的平行四边形的两对角线长度相等，因此该平行四边形为矩形，即邻边垂直，故A正确；
对于B：由向量数乘的运算法则知，B正确；
对于C：若均为非零向量，因为，则共线；若为零向量，则不一定共线，故C正确；
对于D：由平面向量的基本定理知，只有当非零且不共线时可以作为一组基底，平面内任意向量都可以表示为故命题才成立.故D不一定成立.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
根据向量共线的条件对①②③逐一分析，由此确定共线的向量.
【详解】
①中，与显然共线；②中，因为，故与共线；
③中，设，得，无解，故与不共线.
故选：A.
5．C
【解析】
【详解】
试题分析：,,故选C.
考点：1.向量的加法；2.向量的模.
6．B
【解析】
【分析】
根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】
∵，又∵和有公共点B，∴A，B，D三点共线.
故选：B．
【点睛】
本题考查了用向量共线定理证明三点共线问题，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
由知，，根据平面向量的线性运算可推出
，，故，展开后代入数据进行运算即可.
【详解】
解：∵，∴，
∵点是边的三等分点，
∴.
同理可得，，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.
8．C
【解析】
【分析】
根据向量的定义判断．
【详解】
是的负向量，即，因此它们的长度相等，方向相反，即共线（平行），也是的负向量，但与一般不相等（只有它们为零向量时相等）．错误的C．
故选：C．
9．C
【解析】
【详解】
∵向量，且
∴，
∴．选C．
10．AC
【解析】
【分析】
由平面向量共线定理、向量数量积的定义和运算律、重心的向量表示可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于A，由平面向量共线定理可知A正确；
对于B，若则，，无法得到，B错误；
对于C，取中点，则，
为的重心，，，C正确；
对于D，，则未必成立，D错误.
故选：AC.
11．(－1,2)
【解析】
【详解】
直线BC为3x-6y+3=0
AD的法向量为，A（2，-1）
直线AD为6x+3y-9=0
12．
【解析】
根据垂心得到，得到，即，，计算得到答案.
【详解】
因为是的垂心，所以，
因为，且，所以，
所以，同理，即，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角形的垂心，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
13．
【解析】
【分析】
根据向量加法法则计算．
【详解】
（1）由平行四边形法则，；
（2）由向量加法的三角形法则，；
（3）由向量加法法则得，；
（4）由向量加法法则得，．
故答案为：；；；．
14．
【解析】
【分析】
首先由已知条件，由构造，，，由向量的加法和减法构造的几何意义，转化为求的最小值，作点关于线段对称的点，连接，
，即即为所求的最小值，再根据余弦定理求边长.
【详解】
如图，令，，由得的夹角为60°，又因为，，，所以为直角三角形，．则，，问题转化为当点在线段上运动时，求的最小值．作点关于线段对称的点，连接，
，
则即为所求的最小值．在中，，则，，在中，，，由余弦定理得．
故答案为：
【点睛】
本题考查向量的几何意义解决长度的最小值，重点考查构造几何关系，数形结合分析问题，转化与化归的思想，属于中档题型，本题的关键是由条件构造几何图形.
15．
【解析】
【分析】
根据平面向量的基本定理可得出结论.
【详解】
由于，是两个不平行的向量，所以，是非零的向量，
若，则；
反之，根据平面向量基本定理得，存在唯一一组实数对，使成立，
所以成立的充要条件是.
故填：.
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理，属于基础题.
16．；；
【解析】
利用向量的线性运算，结合图形，即可得到结论．
【详解】
解：，，，
．
．
，，
．
．
【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
17．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积的坐标表示方法即可计算得解；
（2）根据向量平行关系即可得出参数取值；
（3）根据向量夹角公式求解.
【详解】
（1）；
（2）由题因为=（，1），=（1，）不平行；
，，，，
所以；
（3）当k=1时，，
，
所以与夹角的余弦值为.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）令，展开再利用向量数量积定义，即可确定实数.
（Ⅱ）由条件推得，再根据向量共线的条件得证结论．
【详解】
（Ⅰ）∵和垂直
∴
∴
∴
∴
（Ⅱ）∵，
∴
∵有公共点
∴三点共线
【点睛】
向量共线：
（1），
（2）
（3）若，则三点共线
（4）三点共线
19．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）进行向量的数乘运算即可；
（2）根据，进行向量的数乘运算即可得出，从而得出共线，进而得出、、三点共线.
【详解】
（1）原式；
（2），，
又、有公共点，、、三点共线.
【点睛】
本题考查了向量的数乘运算，向量加法的几何意义，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页