人教A版（2019）必修第二册第六章第三节课时3平面向量数量积的坐标表示（word含解析）

人教A版（2019） 必修第二册 第六章 第三节课时3平面向量数量积的坐标表示
一、单选题
1．在正方形中，为的中点，若，则的值为
A． B． C． D．1
2．若向量，，则在方向上的投影为
A．-2 B．2 C． D．
3．在1，2，3，4，5中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为M．对M中的每一个向量，作与其大小相等且数量积为零的向量，构成向量集合V．分别在向量集合M、V中各任取一个向量与向量，其满足的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．若向量与向量的长度分别为4和3，其夹角60°，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．1
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．5
6．已知向量，则与的夹角为钝角时，的取值范围为
A． B． C．且 D．且
7．已知平面向量，，且，则（ ）
A．4 B． C． D．5
二、填空题
8．已知向量=(2，3)，，那么在上的投影为___________.
9．在中， ，，，是的内心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖的面积为_______．
10．直角中，点为斜边中点，，，，则________.
11．向量，，若，则实数______.
12．若向量，，且，则___________.
13．已知，则与的夹角为________．
三、解答题
14．已知向量，．
（1）求；
（2）若向量与垂直，求的值．
15．在平面直角坐标系中，向量，，其中.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
16．已知向量，，，
（1）若，求的值；
（2）若，求的值
17．已知两向量，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且，，三点共线，求的值.
18．已知在△ABC中BC， CA， AB的长分别为a， b， c，试用向量方法证明：
(1)c＝bcosA＋acosB；
(2)c2＝a2＋b2－2abcosC.
19．已知平面向量，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先求出,再求即得解.
【详解】
由题得,
.
故选B
【点睛】
本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．A
【解析】
【详解】
向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为 =-2
故选A
3．A
【解析】
【分析】
先计算出M中的元素个数，以及V中的元素个数，分别从两个集合中各取一个向量的取法是两个集合的元素个数的乘积，再研究得出使得其内积小0的取法种数，由公式计算出概率即可
【详解】
解：在1，2，3，4，5中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为M．故M中元素的个数是A52＝20
对M中的每一个向量，作与其大小相等且数量积为零的向量，构成向量集合V．故V中也有40个元素，
分别在向量集合M、V中各任取一个向量与向量，所有的取法为20×40＝800个
由于V中向量都是成对的相反向量，故所取的两个向量内积为正与内积为负的数目是相等的，由此只需要求出内积为0的数目，从总数中减去内积为0的数目后再除以2，即可得到内积小于0的种数下研究内积为0的数目
由集合V中元素的属性知，M中的每个元素在V中都对应着两个元素与它垂直，故有20×2＝40个内积为0
观察M集合，其中向量坐标为（1，2）的向量还与（4，﹣2）（﹣4，2）垂直，同理（2，1），（2，4）（4，2）都还分别与V中两向量垂直，由此知，内积为0的向量被少计了8组，故分别在向量集合M、V中各任取一个向量与向量，其满中内积为0的数目是48个
由此，内积不为0的数目共有752组
所以分别在向量集合M、V中各任取一个向量与向量，其满足的数目有382个，其概率为
故选A．
【点睛】
本题考查等可能事件的概率，解答本题关键是正确求出总的基本事件数与满足内积为负的事件所包含的基本事件数，尤其是在求内积为负的事件所包含的基本事件数时，考查所有事件的类型是正确求出数目的关键，其中注意到M中元素有互相垂直的情况，对正确做题非常关键．分析问题时一定要把问题的类型分析清楚．本题考查分析转化的能力，易因为分析不清事件的类型而导致错误，本题比较抽象，题后应好好总结其中的关系．
4．B
【解析】
【分析】
利用数量积运算性质即可得出．
【详解】
向量与向量的长度分别为4和3，其夹角60°，，，
，则
故选：B
【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
根据，求得的坐标，然后利用数量积运算求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
由与的夹角为钝角，可得且不共线，列不等式即可求得。
【详解】
，
与的夹角为钝角时，，解得，
又与不共线，即，
的取值范围是，且.故选C.
【点睛】
本题通过向量夹角的范围求参数的范围，特别注意向量不共线，是一道基础题。
7．D
【解析】
【分析】
先将化简，进而求出m，得到的坐标，最后求出答案.
【详解】
由，得，所以，则，，所以.
故选：D.
8．
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算与数量积定义，计算投影即可．
【详解】
向量=(2，3)，，
则在上的投影为
故答案为
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算与投影的计算问题，是基础题．
9．
【解析】
【详解】
试题分析：由，.可得点P的轨迹如图的阴影部分的面积，
在三角形ABC中由余弦定理可得解得AB=5.
所以三角形ABC的面积为.
又由.
所以阴影部分面积.故填.
考点：1.向量知识.2.向量的坐标表示形式.
10．14
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，写出点的坐标；由向量的坐标运算即可求解。
【详解】
解：以为坐标原点，，分别为，轴的正半轴，建立直角坐标系
∵，∴，
∵为中点∴
令，则∴
∵
∴
∴
∴，
∴.
【点睛】
本题考查求向量数量积，把平面几何问题转化代数运算，体现了数学中“数”与“形”结合的解题技巧。
11．0或
【解析】
根据向量垂直的坐标表示求解．
【详解】
由已知，，
∵，∴，解得或．
故答案为：0或．
12．##-0.5
【解析】
【分析】
根据两个向量平行时的坐标关系即可求解.
【详解】
∵
∴
.
故答案为：.
13．
【解析】
【分析】
直接由夹角公式计算即可.
【详解】
设与的夹角为θ，则cos θ，所以.
故答案为：
14．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量的模长公式可求得的值；
（2）求出向量与的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，由此可求得实数的值.
【详解】
（1）由已知可得，因此，；
（2）由已知可得，
因为向量与垂直，
则，解得.
15．（1）；（2）.
【解析】
（1）应用向量数量积的坐标表示即可求的值；
（2）由向量平行的坐标表示可得，应用辅助角公式及已知条件即可求得的值.
【详解】
（1）
（2），又，
，整理得，
，即，，
∴，有.
16．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据平面向量共线定理的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）根据向量的数量积的坐标表示求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角和的正弦公式计算可得.
【详解】
解：（1），，且
所以
所以
（2），，且
【点睛】
本题考查平面向量的数量积、同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先计算和的坐标，再利用向量共线的坐标表示列方程即可求解；
（2）分别计算和的坐标，根据题意可知：和共线，再利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.
【详解】
（1），.
当与共线时，，
解得.
（2）由已知可得，.
因为，，三点共线，所以，
所以.解得.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
根据线段的几何关系有＝＋，
（1）将上式两边点乘，结合平面向量数量积的运算律及其定义，即可证结论.
（2）将上式两边平方，应用平面向量数量积的运算律及定义，可证结论.
(1)
∵＝＋，
∴·＝(＋)·， 即||2＝||·||cosA＋||||cosB，
∴c2＝bccosA＋accosB，则c＝bcosA＋acosB；
(2)
∵＝＋，
∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即c2＝b2＋a2＋2b·acos(180°－C)，
∴c2＝a2＋b2－2abcosC.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由可得，即可求解.
（Ⅱ）由可得
【详解】
（Ⅰ），，即，
；
（Ⅱ），，则，
，.
【点睛】
本题考查向量平行和垂直的坐标表示，考查二倍角公式，属于基础题.
答案第1页，共2页
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