人教A版（2019）必修第二册第六章第四节课时2余弦定理（word含解析）

人教A版（2019） 必修第二册 第六章 第四节 课时2余弦定理
一、单选题
1．在中，若，则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．在中，角的分别为，且，则等于
A．1 B． C．2 D．3
3．在中，若，则的形状为（ ）.
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，与交于E点.若，则的长为
A． B． C． D．
5．在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．在中，如果，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A．1 B． C．4 D．13
8．在不等边三角形中，为最大边，想要得到为钝角的结论，三边应满足的条件是
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，，则________，________．
10．若，则=________.
11．已知为锐角内角的对边,且满足,则的取值范围是______.
12．在中，角所对的边分别是若，，则的面积为__________
13．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的面积为_______.
14．在中，已知角是锐角，且，则实数的取值范围是______.
三、解答题
15．不用计算器，求值：．
16．在中，角、、所对的边分别是、、，．
（1）求角：
（2）若的周长为10，求面积的最大值．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为.
（1）求，，的值；
（2）求的值.
18．已知函数，．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在△中，若，且，，求△外接圆半径的长．
19．在中，角，，对应的三边分别为，，，，，，为的外心，连接，，．
（1）求的面积；
（2）过作边的垂线交于点，连接，试求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
先利用正弦定理化角为边可得,再利用余弦定理求解即可
【详解】
因为,
由正弦定理可得,
即,
所以,
所以是钝角,
故该三角形是钝角三角形,
故选:C
【点睛】
本题考查判断三角形的形状,考查利用正弦定理化角为边,考查余弦定理的应用
2．A
【解析】
【详解】
由题意,则,故选A.
3．D
【解析】
【分析】
利用正弦定理和余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状.
【详解】
由正弦定理和余弦定理可得：
即为
，
化简可得：，
故或即，故为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
4．A
【解析】
由条件求得∠BCD＝150°，∠CBE＝15°，故∠ABE＝30°，可得∠AEB＝105°．计算sin105°，代入正弦定理，化简求得AE．
【详解】
由题意可得，AC＝BC＝CD＝DA，∠BAC＝45°，∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+60°＝150°．又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE＝15°，故∠ABE＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC＝75°，∠AEB＝105°．
再由 sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°，
△ABE中，由正弦定理可得，
∴，∴AE），
故选．
【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．
5．A
【解析】
【分析】
通过两个等式推出，然后求出 的大小，即可判断三角形的形状．
【详解】
因为在中的内角所对的边分别为，若 则 ，所以，，所以 所以三角形是正三角形．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形的形状的判断，三角函数值的求法，考查计算能力．
6．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理即可求解.
【详解】
由余弦定理可得，
.
所以.
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
由正弦定理化边为角后求得角，再由余弦定理求得．
【详解】
因为，由正弦定理得，
又是三角形内角，，
所以，
，，又，所以，．
所以．
故选：A．
8．C
【解析】
由为钝角，结合余弦定理可得，化简即可.
【详解】
由，知，
所以，故本题答案为C.
【点睛】
本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
9．
【解析】
【分析】
确定角的终边所在的象限，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用二倍角公式及差角的正弦公式可求得的值.
【详解】
因为，，所以为第三象限角，
所以，所以，，
故．
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，考查化归与转化思想，属于基础题.
10．
【解析】
【详解】
试题分析：令,因,故,所以,故应填.
考点：函数的概念和二倍角公式.
11．
【解析】
和余弦定理相似,从而先用余弦定理得出条件,再用正弦定理和条件是锐角得出角之间的关系,求得范围,,由利用余弦函数的性质可得,即可求解答案.
【详解】
由余弦定理得,
,①
由正弦定理得,
,
,
又为锐角三角形,
,可得:,
,
,
,
,即
故
由①可得.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了余弦定理、正弦定理的应用,三角恒等变换,以及三角形的性质,考查了转化思想和函数思想,属于中档题.
12．
【解析】
【分析】
由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求，由于，可求，可得，由已知利用余弦定理可求，根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
解：，
由正弦定理可得：，
可得：，
，
可得：，可得：，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
13．4
【解析】
由已知利用余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：∵，
∴由余弦定理，
可得：，即，
∴解得，（负值舍去），
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
根据正弦定理得，角是锐角，由余弦定理：，化简得，即可得解.
【详解】
由题：，根据正弦定理可得：
，所以
角是锐角，由余弦定理：，
即，，
，
所以，即，
即
故答案为：
【点睛】
此题考查利用正余弦定理求解与三角形有关的参数取值范围，利用正弦定理进行边角互化，利用等价转化的思想求解范围.
15．
【解析】
【分析】
利用和差公式化简得到原式为，再利用和差公式得到答案.
【详解】
【点睛】
本题考查了和差公式，意在考查学生的计算能力.
16．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由，利用三角函数的基本关系和两角和的正弦公式，结合正弦定理求解；
（2）由，结合余弦定理，再利用基本不等式求得的范围，再代入三角形面积公式求解．
【详解】
（1）由，
又，
所以，
因为,
故．
（2）由已知可得，
消去，可得，
得（当且仅当时,取等号）
解得（舍）或，
故，，则面积的最大值为．
【点睛】
方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．
17．（1），，；（2）.
【解析】
（1）根据三角函数的基本关系式，求得的值，结合面积公式求得，再根据和余弦定埋，即可求得的值；
（2）由（1）及正弦定理求得，进而求得，结合三角恒等变换的公式，即可求得的值
【详解】
（1）由，因为，可得，
又由，解得，
又因为，解得，，
根据余弦定埋得，即，
所以，，.
（2）由（1）及正弦定理，可得，解得，
因为，所以，
所以，，
所以.
【点睛】方法规律总结：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
18．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式降幂，再化为，
由复合函数的单调性求函数y＝f（x）的单调递减区间；
（2）由f（A）＝f（B），且A≠B，求得A+B，得C，结合c＝AB，再由正弦定理求得△ABC外接圆半径的长．
【详解】
(1) 函数．
由，得．
由正弦函数的单调性可知，当，
即时，函数递减．
所以，函数，的单调递减区间是．
(2)函数．
在△中，因为，，所以，．
由，及，得，
解得，于是．
设三角形的外接圆半径长为，因为，所以．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换应用及单调性，考查了考查三角形的解法，是中档题．
19．（1）2；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由可得到，并得，结合正弦定理进一步得到，，最后利用面积公式可得结果.
（2）依据题意可得，然后使用两角和的余弦公式可得结果.
【详解】
（1）
在中，，则，
，
(是到的距离）
（2）
又
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