人教A版（2019）必修第二册第七章第二节课时2复数的乘、除运算同步练习（word含解析）

人教A版（2019） 必修第二册 第七章 第二节 课时2 复数的乘、除运算 同步练习
一、单选题
1．下列叙述中正确的个数是（ ）
①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②命题，，命题，，则为真命题；
③“”是“的必要而不充分条件；
④将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．A．1 B．2 C．3 D．4
2．记复数的虚部为，已知满足，则为（　　）
A． B． C．2 D．
3．若复数z满足则复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，：，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
6．若复数，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若复数满足，为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
8．复数满足(其中为虚数单位，)，则复数在复平面内对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．下面是关于复数的三个命题为：、：、：的虚部为，其中的真命题为（ ）
A．、、 B．、 C．、 D．、
10．已知复数z满足：，则（ ）
A． B． C． D．
11．设复数（其中为虚数单位），则
A． B． C． D．
12．已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．已知，且，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
14．已知：，，且，则________，________.
三、填空题
15．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为___________.
16．已知，是虚数单位，若复数，则______.
17．若复数（为虚数单位）为实数，则实数_______________．
18．若复数在复平面上所对应的点在直线上，则实数_________．
19．已知集合，若，则集合A的子集有______个.
20．复数（是虚数单位）的实部为____．
21．下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为_____．
22．复数（i为虚数单位）的虚部为_____________.
四、解答题
23．已知.
(1)若,求的值；
(2)若,求x的值.
24．已知i是虚数单位，a，b∈R，z1＝a﹣1+（3﹣a）i，z2＝b+（2b﹣1）i，z1＝z2.
（1）求a，b的值；
（2）若z＝m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，求证：|z+a+bi|≥.
25．(1)设集合，，且，求实数m的值.
(2)设，是两个复数，已知，，且·是实数，求.
26．复数满足，且．求．
27．已知复数＋x＋(－3x＋2)i（x∈R）是复数6－20i的共轭复数，求实数x的值．
28．已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，z满足如下条件？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)零.
29．在①，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数．
（1）若_______，求实数m的值；
（2）若m为整数，且，求z在复平面内对应点的坐标．
30．设复数．
（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；
（2）求复数的模，并比较它们的模的大小．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
分析：①利用一组数据的方程的定义和公式可以判断得出结果；
②结合函数的性质以及复合命题的真值表可知结果；
③利用余弦函数的性质，结合条件的充分性和必要性得到结论；
④利用图像的平移变换规律以及诱导公式得到结果.
详解：对于①，因为有结论将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，所以①正确；
对于②，结合指数函数的性质，可知p是真命题，根据二次函数的性质，可知很成立，所以q是假命题，所以是假命题，所以②错误；
对于③，因为当时，一定有，但是当，时，有，所以不一定成立，所以应该是充分不必要条件，所以③错误；
对于④，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为，故④正确，
所以正确命题的个数为2，故选B.
点睛：该题考查的是有关真命题的个数问题，在解题的过程中，需要对命题逐一分析，得到结果，在判断的过程中，用到方差的性质、复合命题真值表、余弦函数的性质、图像的平移变换以及诱导公式，需要认真审题.
2．A
【解析】
【分析】
根据复数除法运算求得，从而可得虚部.
【详解】
由得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到的形式.
3．D
【解析】
【详解】
分析：由条件求出复数z，进而得到共轭复数，结合复数的几何意义得到结果.
详解：由，得z=2i（1-i）=2+2i，
∴=2-2i
对应的点的坐标为（2，-2），
∴复数z对应的点位于第四象限．
故选D．
点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
4．B
【解析】
【分析】
由已知等式得到复数，由复数模长运算可求得结果.
【详解】
，，.
故选：B.
5．C
【解析】
【分析】
利用复数的乘法运算将复数化为，再利用复数的概念即可求解.
【详解】
，所以，
故选：C．
【点睛】
本题考查了复数的四则运算以及复数的概念，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，运用复数的乘法运算法则及复数的三角形式，即可求解．
【详解】
解：，
，
．
故选：C．
7．C
【解析】
求出，根据即可得解.
【详解】
由题
，
.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的运算，关键在于熟练掌握复数的乘法和乘方运算法则.
8．B
【解析】
【分析】
首先利用复数的除法运算化简复数，再根据实部和虚部的几何意义判断选项.
【详解】
，
实部是，虚部是，，
根据复数的几何意义可知，不可能时第二象限的点.
故选：B
9．D
【解析】
【分析】
本题可通过求出、、的虚部得出结果.
【详解】
，是假命题，
，是真命题，
的虚部为，是真命题，
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
设复数，则，由复数相等可得的值，再由模长公式即可得模长.
【详解】
设复数，则，
由可得，
整理可得：，所以，，
所以，所以，
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则得到z，再由模长公式得到结果.
【详解】
复数,
故答案为C.
【点睛】
考查了复数的四则运算，以及复数的模的计算，是简单题.
12．C
【解析】
【详解】
，，对应的点的坐标是，对应的点在第三象限，故选C.
13．C
【解析】
【分析】
由复数相等可求出的值.
【详解】
解：由题意知，，解得，
故选: C.
【点睛】
本题考查了由复数相等求参数的值，属于基础题.
14． 2
【解析】
直接将代入方程可得关于的方程，解方程可得的值.
【详解】
由，把代入得
，
∴，
∴，
∴，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义，可直接得出结果.
【详解】
复数在复平面内对应的点的坐标为.
故答案为：.
16．4
【解析】
【分析】
化简原等式为，利用复数相等的性质求出的值，从而可得结果.
【详解】
,
,
,
,故答案为4.
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题. 若，则.
17．1．
【解析】
【分析】
先根据复数的运算法则化简，若复数为实数，则虚部为零．
【详解】
若复数为实数，则，即．
【点睛】
本题考查复数的运算及定义，属于基础题．
18．3
【解析】
【分析】
用复数乘法的运算法则化简，写出复数在复平面上所对应的点标，然后把点的坐标代入到直线方程中，可以求出的值.
【详解】
，因为复数在复平面上所对应的点在直线上，所以有.
故答案为：3
【点睛】
本题考查复数乘法的运算法则，考查了复数在复平面的坐标表示，属于基础题.
19．4
【解析】
由，解得或，检验元素的互异性得，，从而可得子集的个数.
【详解】
由，可得或，
解得或.
当时，，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，，此时集合A的子集有个.
故答案为：4.
【点睛】
本题主要考查了元素和集合的关系及集合元素的互异性，考查了集合的子集个数，属于基础题.
20．2
【解析】
【详解】
复数,所以实部为2.
点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为.
21．p2，p4
【解析】
【详解】
试题分析：根据复数的除法运算法则先化简复数为a+bi，a、b∈R形式，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解．
解：解：∵复数z====﹣1﹣i．
|z|=，∴p1：不正确；
∵z2=（﹣1）2+i2+2i=2i，∴p2：z2=2i，正确；
∵=﹣1+i，∴p3：z的共轭复数为1+i，不正确；
∵z=﹣1﹣i，∴虚部为﹣1．∴p4：z的虚部为﹣1正确．
故答案为p2，p4
考点：复数代数形式的乘除运算；命题的真假判断与应用．
22．
【解析】
【详解】
试题分析：
考点：复数的运算
23．（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）时，由方程得，根据实部、虚部为零列方程组求解即可；（2）时，，代入方程整理得，根据实部、虚部为零列方程组求解即可.
【详解】
（1）时，由方程得，
则，得；
（2）时，，
代入方程整理得，
则，得或，
故或.
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
24．（1）a＝2，b＝1；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据复数相等的公式即可求解；
（2）根据复数模公式结合不等式即可求解．
【详解】
（1）由z1＝a﹣1+（3﹣a）i，z2＝b+（2b﹣1）i，由z1＝z2，
得，解得，
∴a＝2，b＝1；
（2）证明：∵z＝m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，
∴|z+a+bi|＝|m﹣2+（1﹣m）i+2+i|＝
＝＝．
当且仅当m＝1时上式取等号，
∴|z+a+bi|．
25．(1) 或或 (2) 或
【解析】
【分析】
（1）解方程得到集合，再分别讨论和两种情况，即可得出结果；
（2）先设，根据题中条件，得到，，即可求出结果.
【详解】
解：(1)由
解得：或∴，
又∵
∴当时，此时符合题意.
当时，则.由得，
所以或
解得：或
综上所述：或或
(2)设，∵
∴，
即 ①
又，且，是实数，
∴ ②
由①②得，，或，
∴或
【点睛】
本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，以及复数的运算，熟记子集的概念，以及复数的运算法则即可，属于常考题型.
26．或
【解析】
由题意可知设复数,计算出,,,代入中可得可求得复数.
【详解】
由题意可知：,则,,,
∴,
∴,即，
若，则，由得，所以，
若，则，得，
∴或.
【点睛】
本题考查复数的计算，关键在于设出复数的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.
27．
【解析】
【分析】
由共轭复数的定义可得可得，解之可得答案．
【详解】
因为复数6－20i的共轭复数为6＋20i，
由题意得：＋x＋(－3x＋2)i＝6＋20i，
根据复数相等的充要条件，得：
方程①的解为：x＝－3或x＝2．
方程②的解为：x＝－3或x＝6．
所以实数x的值为－3．
【点睛】
本题考查共轭复数的概念，属基础题．明确相关概念是解题关键．
28．（1）m＝－1或m＝4；（2）m≠－1且m≠4；（3）m＝－2；（4）m＝4.
【解析】
【分析】
（1）由虚部等于0求得的值；
（2）由虚部不为0求得值；
（3）由实部为0且虚部不为0求得值；
（4）由实部为0且虚部为0求得值．
【详解】
z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)化为
（1）由，得，或，
当，或时，是实数；
（2）由，得且，
当且时，为虚数；
（3）由，且，解得，
当时，为纯虚数；
（4）由，解得，
当时，为零．
29．（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若选择①，由，可知是一个大于零的实数，从而得进而可求出实数m的值；若选择②，由题意可得，解方程可得实数m的值；若选择③，由题意可得从而可求出实数m的值；
（2）由可得，再由m为整数，可得为平方数，为奇数，从而可求得实数m的值，进而可得答案
【详解】
解：（1）若选择① 因为，所以
解得．
若选择② 因为z的实部与虚部互为相反数，所以，
解得或．
若选择③ 因为z为纯虚数，所以
解得．
（2）因为，所以，
所以．
因为m为整数，所以为平方数，为奇数．
因为或，
所以验证可得，即．
因为，所以，其在复平面内对应点的坐标为．
30．（1）图见解析，对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．．
【解析】
（1）根据复数几何意义确定点坐标，再在复平面内作点和向量；
（2）根据复数模的定义求模，再比较大小.
【详解】
解：（1）如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为，．
（2），．
所以．
【点睛】
本题考查复数几何意义以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页