2021-2022学年苏科版九年级下册数学第7章 锐角三角函数 单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年苏科新版九年级下册数学《第7章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题
1．在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．2
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为（　　）
A．3sin35° B． C．3cos35° D．3tan35°
4．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（　　）
A． B． C． D．2
5．在△ABC中，A，B为锐角，且有sinA＝cosB，则这个三角形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
6．如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB＝a，∠A1CB1＝a1，…，∠A5CB5＝a5．则tana tana1+tana1 tana2+…+tana4 tana5的值为（　　）
A． B． C．1 D．
7．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的余弦值的关系为（　　）
A．cosA＝cosA′ B．cosA＝3cosA′
C．3cosA＝cosA′ D．不能确定
8．点（﹣sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则等于（　　）
A．tanA B．cotA C．sinA D．cosA
10．已知α为锐角，则m＝sinα+cosα的值（　　）
A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≥1
二．填空题
11．若△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝3：4，那么sinA＝　 　．
12．如图，∠1的正切值等于　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC＝　 　．
14．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，则tanB的值等于　 　．
15．比较下列三角函数值的大小：sin40°　 　cos40°（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．则cosA＝　 　．
17．若tanα＝（α是锐角），则sinα＝　 　．
18．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝　 　．
19．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是　 　（注：把所有正确命题的序号都填上）．
20．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC的形状是　 　．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．
23．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
24．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
25．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
26．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，⊙O经过B，C，D三点，与AB交于另一点E．
（1）请你仔细观察图形，连接图中已表明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段AE相等；
（2）在图中，过点E作⊙O的切线，交AD于点F；
①求证：EF2＝FD FC；
②若AF＝DF，求sinA的值．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AE＝CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：在直角△ABD中，BD＝2，AD＝4，则AB＝＝＝2，
则cosB＝＝＝．
故选：A．
2．解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
∴sinB＝＝，
故选：A．
3．解：∵cos35°＝＝，
∴BC＝3cos35°，
故选：C．
4．解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴sinα＝＝＝．
故选：C．
5．解：∵sinA＝cos（90°﹣A），sinA＝cosB，∴∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，故选：B．
6．解：根据锐角三角函数的定义，得tana＝＝1，tana1＝＝，tana2＝＝…，tana5＝＝，
则tana tana1+tana1 tana2+…+tana4 tana5＝1×+×+×+×+×
＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝1﹣
＝．
故选：A．
7．解：根据锐角三角函数的概念，知
把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍，那么它们的余弦值不变．
故选：A．
8．解：∵sin60°＝，cos60°＝，
∴（﹣sin60°，cos60°）＝（﹣，），
关于y轴对称点的坐标是（，）．
故选：A．
9．解：∵∠B＝90°，
∴＝cotA，
故选：B．
10．解：设在直角三角形ABC中，∠A＝α，∠C＝90°，
故sinα＝，cosα＝；
则m＝sinα+cosα＝＞1．
故选：A．
二．填空题
11．解：设AC＝3x，BC＝4x，根据勾股定理可得AB＝5x，
∴sinA＝BC：AB＝．
12．解：根据圆周角的性质可得：∠1＝∠2．
∵tan∠2＝，
∴∠1的正切值等于．
故答案为：．
13．解：如图，连接DE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，
设DE＝2x，
依题意，得DE为△ABC的中位线，∴BC＝4x，
又∵四边形BCDE为等腰梯形，
∴BF＝（BC﹣DE）＝x，则FC＝3x，
∵BD⊥CE，
∴△BCG为等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF＝CF＝3x，
在Rt△BEF中，EF＝3x，BF＝x，
∴tan∠ABC＝＝＝3．
故本题答案为：3．
14．解：如图所示．
Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，
由勾股定理可得：BC＝＝12，
∴tanB＝＝＝．
15．解：∵cos40°＝sin50°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵40°＜50°，
∴sin40°＜cos40°．
16．解：根据勾股定理可得：AB＝＝5，
∴cosA＝＝．
故答案是：．
17．解：∵tanα＝，
∴cos2α＝＝＝＝，
∴sin2α＝1﹣＝，
则sinα＝，
故答案为：
18．解：如图所示：
∵∠C＝90°，tanA＝，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，
则sinB＝＝＝．
故答案为：．
19．解：①因为sin45°＝cos45°＝，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；
②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；
③根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝．
∴x1+x2+x1x2＝，是正数．
故此选项错误；
④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．
故正确的有①④．
20．解：∵，
∴tanB﹣＝0，2sinA﹣＝0．
∴tanB＝，∠B＝60°；sinA＝，∠A＝60°．
∴∠C＝60°
∴△ABC的形状是等边三角形．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，
∴BC＝＝＝；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝，
∴sinA＝＝．
23．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
24．解：存在的一般关系有：
（1）sin2A+cos2A＝1；
（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，cosA＝，
a2+b2＝c2，
∴sin2A+cos2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝＝，
＝．
25．（1）证明：连接OC． （1分）
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°． （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠OCE＝90°．
∴OC∥AE． （3分）
∴∠OCA＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠BAC． （4分）
∴．
∴DC＝BC． （5分）
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴BC＝＝3． （6分）
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC． （7分）
∴．
∴，． （8分）
∵DC＝BC＝3，
∴．（9分）
∴tan∠DCE＝． （10分）
26．解：（1）连接CE；
证明：连接DE；
∵∠ABC＝90°，
∴CE是⊙O的直径；
∴∠CDE＝90°；
又∵AD＝CD，
∴AE＝CE．
（还可以连接OD，利用中位线定理证AE等于⊙O的直径，或连接BD，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证AD＝BD，∠A＝∠DBA，∠DBA＝∠ACE）
（2）①证明：∵EF是⊙O的切线，
∴EF⊥EC；
∴△CEF∽△EDF；
∴＝，即EF2＝FD FC．
②∵AF＝DF，AD＝CD，
∴FD＝FC，∴EF2＝FC2；
∴＝，
∴sin∠ACE＝；
又∵EA＝EC，
∴∠ACE＝∠A；
∴sin∠A＝．
27．（1）证明：连接DE，
∵∠ABC＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC的中点
∴DE是AC的垂直平分线
∴AE＝CE；
（2）解：在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴
即
∴AE＝2cm；
（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，
∴∠ADE＝∠AEF＝90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴
∵，AD＝CD
∴CF＝nCD
∴DF＝（1+n）CD
∴DE＝CD
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2＝CD2+（CD）2＝（n+2）CD2
∴CE＝CD
∵∠CAB＝∠DEC
∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝＝＝．