冀教版九年级数学下册第三十章二次函数 单元定向攻克试题(word解析版)

九年级数学下册第三十章二次函数定向攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
3、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．米 B．10米 C．米 D．12米
4、已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6、对于抛物线下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点
7、二次函数的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）
A．或6 B．或6 C．或6 D．或
9、二次函数的图像如图所示，那么点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）
A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、定义：在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整点”，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点，若该抛物线在P，Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点，则a的取值范围是_____．
2、已知抛物线，点在抛物线上，则的最小值是______．
3、二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为______．
4、已知二次函数，当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
5、如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P(0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知二次函数的图像经过点（1，4）和点（2，3）．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求该二次函数图像的顶点坐标．
(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
2、如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过P点作轴，交BC于点D，点E在直线BC上，且四边形PEDF为矩形，求矩形PEDF周长的最大值以及此时点P的坐标；
(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为平面内一点，将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．
4、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．
(1)求c的值，并用含a的代数式表示b；
(2)当a＝时．
①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
5、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．
(1)求的值；
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？
（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．
【详解】
解：，
其中：，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．
2、B
【解析】
【分析】
首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．
【详解】
解：，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
4、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，
得到：，，，，
A、，，，得，故选项错误，不符合题意；
B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意；
C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意；
D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
5、D
【解析】
【分析】
分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∴BD=2AD=8，
当点P在AD上时，PE⊥BQ
S△PBQ =·BQ·PE
= （8-2t） （4-t） sin60°
=（4-t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，QE’⊥BP
S△PBQ=·BP·QE’
=[12-2(t-4)] （t-）sin60°
=-t2+t-16（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
6、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，
∴A选项不正确；
由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；
由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；
在抛物线中，△=b -4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．
7、D
【解析】
【分析】
由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．
【详解】
解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值
∴将代入中得
∴最大值为2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．
8、C
【解析】
【分析】
表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵y=-x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，
①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，
∴-(-2)2-2m=5，
解得：m=-；
②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，
∴-12+m=5，
解得：m=6．
③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，
∴-()2+m =5
解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），
综上所述，m=-或6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
9、C
【解析】
【分析】
根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出的符号．
【详解】
由函数图像可得：
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b<0，
又∵图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴
∴在第三象限
故选：C
【点睛】
考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．
10、A
【解析】
【分析】
根据顶点式的顶点坐标为求解即可
【详解】
解：抛物线的顶点坐标是
故选A
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
将函数解析式化为顶点式，确定图象的对称轴及顶点坐标，得到3个整点的位置，由此得到不等式组，求解即可．
【详解】
解：∵y＝ax2﹣2ax+a+2=，
∴函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），
∴P，Q两点关于直线x=1对称，
根据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点（不包括边界）恰有3个整点，这些整点是（0，1），（1，1），（2，1），
∵当x=0时，y=a+2，
∴，
当x=-1时，y=4a+2，
∴,
∴，解得，
故答案为：．
．
【点睛】
此题考查了将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据二次函数的对称轴及顶点确定3个点的位置，由此顶点不等式组是解题的关键．
2、1
【解析】
【分析】
把点代入得，再代入进行配方求解即可．
【详解】
解：∵点在抛物线上，
∴
∴
∵
∴的最小值是1，
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，能用含a的代数式表示出2a+b是解答本题的关键．
3、x=-5或x=0##或
【解析】
【分析】
根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可．
【详解】
解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0），
∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1，
则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中，
x+1=-4或x+1=1，
解得：x=-5或x=0，
即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0，
故答案为：x=-5或x=0．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．
4、
【解析】
【分析】
函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进而可得自变量x的取值范围．
【详解】
解：由知函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴自变量x的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练把握二次函数的图象与性质．
5、
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
解：作QM⊥y轴于点M，Q′N⊥y轴于N，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM＋∠NPQ′＝∠PQ′N＋∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设Q（m，m＋3），
∴PM＝|m＋2|，QM＝|m|，
∴ON＝|1-m|，
∴Q′（m＋2，1 m），
∴OQ′2＝（m＋2）2＋（1 m）2＝m2＋5，
当m＝0时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换 旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)
(3)当时，y随x的增大而减小
【解析】
【分析】
（1）将点（1，4）和（2，3）代入中，得，进行计算即可得；
（2）将配方得，即可得；
（3）根据二次函数的性质得即可得．
(1)
解：将点（1，4）和（2，3）代入中，得
解得
则该二次函数表达式为．
(2)
解：
配方得：，
则顶点坐标为（1，4）．
(3)
解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】
本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的性质．
2、 (1)y＝﹣2x2＋18x
(2)m2
【解析】
【分析】
（1）设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，根据矩形的面积公式求解即可；
（2）根据顶点坐标公式计算即可求解
(1)
设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，
根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x；
(2)
二次函数y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），
∵a＝﹣2＜0，
∴二次函数图象开口向下，
且当x＝﹣＝时，y取得最大值，
最大值为y＝×（18﹣2×）＝（m2）；
【点睛】
本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出是解题的关键．
3、 (1)
(2)矩形PEDF周长的最大值为，此时点
(3)或
【解析】
【分析】
（1）将点，点，代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意转化为求最长时点的坐标，进而求得周长即可；
（3）将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，进而得到平行后的新的抛物线的解析式，根据题意分情况讨论，根据的两个顶点恰好落在新抛物线上时，根据旋转可得若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，进而分类讨论，根据直线与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系求解即可．
(1)
解：将点，点，代入解析式，得
解得
抛物线的解析式为：
(2)
四边形是矩形
即
设，则
则矩形PEDF周长为，
当取得最大值时，矩形PEDF周长的最大
设直线的解析式为，将点代入得，
则
解得
直线的解析式为
设，则
即
当时，取得最大值，最大值为
此时矩形PEDF周长为
当时，
即
(3)
由（2）可知，则，
过点作，则，
将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，
则新抛物线解析式为：
即
将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，
轴，
旋转90°后，则轴
则轴，
若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，
轴
设直线为
①当在抛物线上时，如图，
设点，的横坐标分别为，
则
则为的两根
即方程
，
则
即
解得
则
解得
②当在抛物线上时，如图，
设点，的横坐标分别为，
，
则
，
中，
直线的解析式为
设直线的解析式为
则为的两根
即
，
则
即
解得
直线的解析式为
则
解得
当时，
综上所述或
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的平移问题，二次函数的平移问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数求函数值的问题，熟练掌握以上知识并正确的计算是解题的关键．
4、 (1)c=6；b=2a+4
(2)①最小值为 ，最大值为20；②D( 3， )．
【解析】
【分析】
（1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值．
（2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．
(1)
把（0，6）代入y=ax2+bx+c，
得c=6．
把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6，
得4a-2b+6=-2，
∴b=2a+4．
(2)
①当a＝时，
∴，且c=6
∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上．
∴顶点坐标为，
∵-4≤x≤2，
∴当x＝ 时，y的最小值为 ．
观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值，
把x=2代入y＝x2+x+6，
y的最大值为20．
②∵y＝x2+x+6，
令y=0，则x=-6或x＝ ，
∵点C在左侧，
∴C（-6，0）
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得
解得k=1，m=6，
∴y=x+6
设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6）
∴FD＝x+6 (x2+x+6)＝ x2 x，
∵OA=OC=6，∠AOC=90°，
∴∠COA=90°，
∵DF∥AO，
∴∠DFM=∠CAO=45°，
DM＝FM＝FD，
设△FDM的周长为l，
则l＝DF+DM+MF＝
当FD最大时，周长最大，
又∵，
又∵ ＜0且-6＜x＜0，
∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．
把x=-3代入y＝x2+x+6，
得y＝ ，
∴D( 3， )．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键．
5、 (1)的值是500；
(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元
【解析】
【分析】
（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；
（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
(1)
解：由题意可得，，
解得：，
答：的值是500；
(2)
解：设利润为w元，
由题意：，
，
∵-10<0，
∴时，取得最大值，此时，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．