(共13张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
二元一次方程(组)的六种常见应用
阶段核心应用
B
1
2
3
4
5
6
7
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
C
B
1
A．1 B．2 C．－1 D．0
已知 是关于x，y的二元一次方程2ax－by＝2的两个解，求a，b的值．
2
把②代入①，得2(y－1)＋y＝7，解得y＝3，
将y＝3代入②，得x＝2，
【2021·扬州】已知方程组 的解也是关于x，y的方程ax＋y＝4的一个解，求a的值．
3
关于x，y的二元一次方程组 中，m与方程组的解中的x或y的值相等，则m的值为________．
4
关于x，y的方程组 有相同的解，求a，b的值．
5
(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？
6
(2)求出原方程组的解．
解：根据(1)得正确的a＝4，b＝3，
7
C(共10张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
用二元一次方程组解行程问题
10.5.4
6
1
2
3
4
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟迎面驶来一辆103路公交车，假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的________倍．
6
1
一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶，载客火车长150 m，运货火车长250 m．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需10 s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车共需100 s．试求两车的速度．
2
解：设载客火车的速度为x m/s，运货火车的速度为 y m/s.
答：载客火车的速度是22 m/s，运货火车的速度是18 m/s.
一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；
3
解：设该轮船在静水中的速度是x千米/时，水流速度是y千米/时，
答：该轮船在静水中的速度是12千米/时，水流速度是3千米/时．
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙码头和从乙地到丙码头所用的航行时间相同．问甲地与丙码头相距多少千米？
甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4 min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300 m才跑完第一圈．求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
4
解：设乙的速度为x m/min，环形场地的周长为y m，则甲的速度为2.5x m/min.
则2.5x＝2.5×150＝375.
答：甲的速度为375 m/min，乙的速度为150 m/min，环形场地的周长为900 m.(共12张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
用二元一次方程组解图表、几何问题
10.5.3
D
1
2
3
4
5
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
1.5 m，5.5 m
B
利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．则桌子的高度是( )
A．64 cm B．65 cm C．66 cm D．67 cm
D
1
【点拨】
设梅花鹿现在的高度为x m，长颈鹿现在的高度为y m.
故梅花鹿和长颈鹿现在的高度分别为1.5 m，5.5 m.
根据图中的信息，得梅花鹿和长颈鹿现在的高度分别是____________．
2
1.5 m，5.5 m
【中考·徐州】本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
3
收费标准
目的地 起步价/元 超过1千克的部分/(元/千克)
上海 a b
北京 a＋3 b＋4
实际收费
目的地 质量/千克 费用/元
上海 2 9
北京 3 22
求a，b的值．
如图，四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为280厘米，那么每个小长方形的面积是( )
A．900平方厘米 B．1 200平方厘米
C．1 600平方厘米 D．1 800平方厘米
4
B
【点拨】
设每个小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
则每个小长方形的面积是60×20＝1 200(平方厘米)．
小强用8 个边长不全相等的正三角形拼成如图所示的图案，其中阴影部分是边长为1 cm的正三角形小洞．试求出图中正三角形A、正三角形B的边长分别是多少厘米．
5
【点拨】
本题渗透了数形结合思想，易知正三角形A，H，G的边长相等，且正三角形B的边长＝正三角形A的边长×2；正三角形F，E的边长相等，正三角形D，C的边长也相等，且正三角形F的边长＝正三角形G的边长＋1 cm，正三角形D的边长＝正三角形E的边长＋1 cm，正三角形B的边长＝正三角形C的边长＋1 cm，从而可得正三角形B的边长＝正三角形A的边长＋3 cm.分别设出正三角形A，B的边长，依此可列二元一次方程组，求出方程组的解即可得出答案．
解：设正三角形A的边长是x cm，正三角形B的边长是y cm.
答：正三角形A的边长是3 cm，正三角形B的边长是6 cm.(共19张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
代入消元法
10.3.1
B
D
1
2
3
4
5
C
D
6
7
8
B
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
－1
10
－1
11
12
用代入法解方程组 下列说法正确的是( )
A．直接把①代入②，消去y
B．直接把①代入②，消去x
C．直接把②代入①，消去y
D．直接把②代入①，消去x
B
1
2
D
(3)去分母，得24－9y－10y＝5；(4)解得y＝1，代入③得x＝2.5.
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
3
C
4
D
【点拨】
由x＝3－m得m＝3－x，把m＝3－x代入y＝1＋2m中，得y＝1＋2(3－x)＝7－2x.
关于x，y的方程组 则y用只含x的式子表示为( )
A．y＝2x＋7 B．y＝7－2x
C．y＝－2x－5 D．y＝2x－5
B
5
6
－1
已知x，y满足方程组 则x2－2y2的值为________．
7
－1
8
【点拨】
本题容易出现将③代入①这种循环代入错误，从而解不出方程组．
阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，得4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5.③
把方程①代入③，得2×3＋y＝5，所以y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.所以方程组的解为
9
请你模仿小军的“整体代换”法解方程组
【点拨】
本题属于整体代入法解二元一次方程组，将3x－2y看成一个整体代入求值．
解：将方程②变形，得3(3x－2y)＋2y＝19，③
把方程①代入③，得3×5＋2y＝19，
所以y＝2.
把y＝2代入方程①，得x＝3.
所以方程组的解为
10
对于数a，b，定义关于“ ”的一种运算：a b＝2a＋b，例如3 4＝2×3＋4＝10.
(1)求4 (－3)的值；
解：根据题中的新定义，得原式＝2×4－3＝5.
(2)若x (－y)＝2，(2y) x＝－1，求x＋y的值．
11
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y＝0，求m的值．
解：解关于x，y的方程组
又因为x＋y＝0，
所以(2m－11)＋(－m＋7)＝0，解得m＝4.
12(共18张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
用二元一次方程组解决问题的一般步骤
10.5.1
题意；相等关系；间接设元；相等关系；实际意义
A
1
2
3
4
5
C
6
7
8
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
列方程组解决实际问题的一般步骤：
一审：审________；二找：找__________；三设：设未知数，可直接设元，也可__________；四列：根据题目中的__________列出方程组；五解：解方程组；六验：检验解的正确性和是否符合_________；七答．
题意
1
相等关系
间接设元
相等关系
实际意义
【2021·宜昌】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各是多少？设人数为x人，物价为y钱，则下列方程组正确的是( )
2
【点拨】A
【中考·绵阳】《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问人数、羊价各是多少？此问题中羊价为( )
A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱
3
C
【点拨】
“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡、兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有多少只？
4
解：设笼中有x只鸡，y只兔．
答：笼中有23只鸡，12只兔．
【中考·淮安】某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆．
5
解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆．
答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．
解：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y.
所以10x＋y＝10×1＋4＝14.
答：这个两位数是14.
一个两位数，比它十位上的数字与个位上的数字的和大9；如果交换十位上的数字与个位上的数字，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
6
一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我已经37岁了．”请问老师、学生今年分别多大了？
7
解：设老师今年x岁，学生今年y岁．
答：老师今年25岁，学生今年13岁．
8
某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？
解：设分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，
答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．
问题解决
如图，糖葫芦一般是用竹签穿上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别穿在若干根竹签上．如果每根竹签穿5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签穿8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
9
解：设这些竹签有x根，山楂有y个，
答：这些竹签有20根，山楂有104个．
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂，若每根竹签穿c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________(填序号)．
(1)bc＋d＝a；(2)ac＋d＝b；(3)ac－d＝b.
(2)(共29张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
全章热门考点整合应用
C
1
2
3
4
5
B
B
6
7
8
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
10
A
C
11
12
13
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
14
15
16
下列方程组是二元一次方程组的是( )
C
1
已知方程3x＋y＝12有很多组解，请你写出互为相反数的一组解：________.
2
已知方程组 的解为 则2a－3b的值为( )
A．4 B．6 C．－6 D．－4
3
B
4
下列方程组中，是三元一次方程组的有( )
B
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解方程组：
5
(1)【中考·淄博】
①＋②，得5x＝10，解得x＝2.
把x＝2代入①，得6＋ y＝8，解得y＝4.
将①化简，得－x＋8y＝5，③
②＋③，得6y＝6，则y＝1.
将y＝1代入②，得x＝3.
6
解方程组：
解：设x＝3k，则y＝4k，z＝5k.
因为x＋y＋z＝36，
所以3k＋4k＋5k＝36，即k＝3.
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝10.当x＝4时，y的值是多少？
7
所以y＝x2＋x－2.
所以当x＝4时，y＝42＋4－2＝18.
已知 是二元一次方程组 的解，则2m－n的值为( )
A．4 B．2 C．3 D．0
8
A
当m，n满足关系式________时，方程组 的解x，y互为相反数．
9
【点拨】
10
如图，在四边形ABCD中，∠C＋∠D＝180°，∠A－∠B＝40°，求∠B的度数．
解：因为∠C＋∠D＝180°，所以AD∥BC.
所以∠A＋∠B＝180°.①
又因为∠A－∠B＝40°，②
所以由①②组成方程组，得
解得
所以∠B的度数为70°.
11
【中考·襄阳】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是( )
【答案】C
【2021·大连】某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1 560元．
(1)求大、小两种垃圾桶的单价；
12
解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．
(2)该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
解：8×180＋24×60＝2 880(元)．
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2 880元．
为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式．某农户有农田2公顷，去年开始实施“虾·稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润＝售价－成本)．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%.出售小龙虾每千克获得的利润为30元．
(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
13
解：设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元．
由题意，得
解得
答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元．
解：设今年水稻每公顷的产量为z千克．
当2×1 000×30＋2×2.5z－2×6 000＝80 000时，z＝6 400.
所以当2×1 000×30＋2×2.5z－2×6 000≥80 000时，z≥6 400.
答：水稻每公顷的产量至少会达到6 400千克．
(2)该农户今年每公顷农田收获小龙虾1 000千克，若今年的水稻种植成本为6 000元/公顷，水稻售价为2.5元/千克，该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元，则水稻每公顷的产量至少会达到多少千克？
解方程组：
14
【点拨】
这种解法在数学中叫做换元法，就是把方程组中的一部分(含有未知数)用其他未知数替换．
已知|3a－b－4|＋|4a＋b－3|＝0，求2a－3b的值．
所以2a－3b＝2×1－3×(－1)＝5.
15
解方程组：
【点拨】
利用整体思想，将2x＋3y看成一个整体代入②式，求出y值，进而求出x值．
16(共20张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
二元一次方程
10.1
①④
C
1
2
3
4
5
C
2
6
7
8
C
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
A
10
C
C
B
11
12
2
13
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
14
下列式子中是二元一次方程的是________．(填序号)
①2x－ ＝6； ② ＋y＝4； ③3x＋y2－2＝0； ④x＝y； ⑤x＋y－z－1＝8； ⑥2xy＋9＝0.
①④
1
【点拨】
将方程整理，得(a－1)x－4y＝－1.因为此方程是关于x，y的二元一次方程，所以a－1≠0，所以a≠1.
方程ax－4y＝x－1是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围为( )
A．a≠0 B．a≠－1 C．a≠1 D．a≠2
2
C
若xa＋2＋yb－1＝－3是关于x，y的二元一次方程，则a，b的值是( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝1，b＝2
3
C
4
【2021·金华】已知 是方程3x＋2y＝10的一个解，则m的值是________．
2
下列各组数中，不是二元一次方程2x＋y＝6的解的是( )
C
5
6
【中考·益阳】同时满足二元一次方程x－y＝9和4x＋3y＝1的x，y的值为( )
A
7
C
如果2x－7y＝8，那么用含y的代数式表示x正确的是( )
8
C
二元一次方程2x＋y＝5的正整数解有________个．
9
2
10
【2021·嘉兴】已知二元一次方程x＋3y＝14，请写出该方程的一个整数解：________．
(答案不唯一)
11
方程(m2－9)x2＋x－(m＋3)y＝0是关于x，y的二元一次方程，则m的值为( )
A．±3 B．3 C．－3 D．9
B
【点拨】
由题意知m2－9＝0，且m＋3≠0，解得m＝3.此题易错之处在于求m的值时，忽略题目中的隐含条件m＋3≠0，从而导致取值出现±3两种结果．
已知关于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.
(1)当m为何值时，它是一元一次方程？
12
解：由题意得m2－4＝0，解得m＝2或m＝－2.
当m＝－2时，m＋2＝0，m＋1≠0，此时方程为一元一次方程．
(2)当m为何值时，它是二元一次方程？
解：由题意得m2－4＝0，解得m＝2或m＝－2.
当m＝2时，原方程可化为4x＋3y＝7，此时方程为二元一次方程．
若 是二元一次方程4x－3y＝10的一个解，求m的值．
13
某电视台黄金时段的2 min广告时间内，插播时间分别为15 s和30 s的两种广告，15 s的广告每播1次收费0.6万元，30 s的广告每播1次收费1万元，要求每种广告播放不少于2次．若设15 s的广告播放x次，30 s的广告播放y次．
(1)试写出关于x，y的方程．
14
解：15x＋30y＝120.
(2)两种广告播放的次数有哪几种安排方式？
所以两种广告播放的次数有两种安排方式：
①15 s的广告播放4次，30 s的广告播放2次；
②15 s的广告播放2次，30 s的广告播放3次．
(3)电视台选择哪种方式播放，收益最大？最大收益是多少？
解：因为按方式①所得收益为0.6×4＋1×2＝4.4(万元)，
按方式②所得收益为0.6×2＋1×3＝4.2(万元)，所以按15 s的广告播放4次，30 s的广告播放2次所得的收益最大，最大收益是4.4万元．(共22张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
用二元一次方程组解实际中的应用问题
10.5.2
44
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知2套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需_____元．
44
1
【点拨】
设1套文具x元，1套图书y元，
根据题意得
①＋②，得5x＋5y＝220，则x＋y＝44.
【2021·海南】为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各多少元．
2
解：设1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，
答：1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元．
【2021·泰州】甲、乙两工程队共同修建150 km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
3
解：设甲工程队原计划平均每月修建x km，乙工程队原计划平均每月修建y km.
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km.
某中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校学生将增加10%，该校现有初中在校学生多少人？高中在校学生多少人？
4
解：设该校现有初中在校学生x人，高中在校学生y人．
答：该校现有初中在校学生1 400人，高中在校学生2 800人．
某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6 000 元，B型每台4 000 元，C型每台2 500 元．某校计划将100 500 元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择．
5
解：设从该电脑公司购进A，B，C三种型号的电脑的数量
分别为x台、y台、z台．
①只购进A型和B型电脑时，
②只购进A型和C型电脑时，
【2021·泸州】某运输公司有A，B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
6
解：设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完(A，B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
解：设安排A货车m辆，B货车n辆．
依题意得20m＋15n＝190，即m＝ ，
又因为m，n均为正整数，
所以共有3种运输方案，
方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；
方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．
方案1所需费用为500×8＋400×2＝4 800(元)；
方案2所需费用为500×5＋400×6＝4 900(元)；
方案3所需费用为500×2＋400×10＝5 000(元)．
因为4 800＜4 900＜5 000，
所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少．
【2021·贺州】为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12 m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12 m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份的用水量为10 m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14 m3，缴纳水费51.4元．
(1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
7
解：设该市一级水费的单价是x元，二级水费的单价是y元．
答：该市一级水费的单价是3.2元，二级水费的单价是6.5元．
(2)某户某月缴纳水费64.4元时，用水量为多少？
解：易知当水费为64.4元时，用水量超过12 m3.
设用水量为a m3，得12×3.2＋(a－12)×6.5＝64.4，
解得a＝16.
答：用水量为16 m3.
8
某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3 千米的部分按每千米(不足1千米按1千米计算)另收费．甲说：“我乘这种出租车行驶了11 千米，付了17 元．”乙说：“我乘这种出租车行驶了23 千米，付了35 元．”这种出租车的起步价是多少元？超过3 千米后每千米收费多少元？
解：设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元．
答：这种出租车的起步价是5元，超过3千米后每千米收费1.5元．(共21张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
解应用题的七种常见类型
阶段核心类型
1
2
3
4
5
6
7
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
1
如图，一列快车长70 m，一列慢车长80 m，若两车同向而行，快车从追上慢车车尾到完全超过慢车所用的时间为20 s；若两车相向而行，则两车从相遇到完全离开所用的时间为4 s．求两车的速度．
解：设快车的速度为x m/s，慢车的速度为y m/s，
答：快车的速度为22.5 m/s，慢车的速度为15 m/s.
某校现有甲种材料35 kg，乙种材料29 kg，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表：
2
甲种材料 乙种材料
1件A型工艺品 0.9 kg 0.3 kg
1件B型工艺品 0.4 kg 1 kg
(1)利用这些材料能制作A，B两种型号工艺品各多少件？
解：设利用这些材料能制作A种型号工艺品x件，B种型号工艺品y件．
答：利用这些材料能制作A种型号工艺品30件，B种型号工艺品20件．
解：制作1件A种型号工艺品需要材料费0.9×8＋0.3×10＝10.2(元)，
则制作A种型号的工艺品需材料费10.2×30＝306(元)；
制作1件B种型号工艺品需要材料费0.4×8＋1×10＝13.2(元)，
则制作B种型号的工艺品需材料费13.2×20＝264(元)．
答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元、264元．
(2)若每千克甲、乙两种材料的价格分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？
某机电公司生产的A，B两种产品在国内市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2 060万元，总利润为1 020万元(利润＝售价－成本)．每件产品的成本和售价信息如下表：
3
A B
成本/万元 2 4
售价/万元 5 7
解：设A，B两种产品的销售件数分别为x，y.
答：该公司今年第一季度A，B两种产品的销售件数分别是160，180.
问该公司今年第一季度A，B两种产品的销售件数分别是多少？
某次知识竞赛有20道必答题，每一道题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一道题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲、乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1道题，其余均答对．
(1)甲队必答题答对的有多少道？答错或不答的有多少道？
4
解：设甲队必答题答对的有x道，答错或不答的有y道，
故甲队必答题答对的有18道，答错或不答的有2道．
(2)抢答赛中，乙队抢答对了第1道题，又抢到了第2道题，但还没作答．这时甲队拉拉队队员小黄说：“我们甲队输了！”小汪说：“小黄的话不一定对！”请你举例说明小黄的话为什么不一定对．
【点拨】
第(2)问答案不唯一．
解：甲队现在得分为170分，乙队现在得分为(20－1)×10－5＋10＝195(分)．
若第2道题乙队抢答错误，则乙队得分为195－20＝175(分)．若第3道题甲队抢答正确，则甲队最后得分为170＋10＝180(分)，甲队获胜．所以小黄的话不一定对．
某旅行社2021年1～5月份接待前往以福鼎太姥山、屏南白水洋、福安白云山为主要景点的宁德世界地质公园的游客5 000人．预计2022年比2021年同期增加40%，其中外地游客增加50%，本地游客增加10%.2021年1～5月份该旅行社接待外地游客和本地游客各多少人？
5
解：设2021年1～5月份该旅行社接待外地游客x人，本地游客y人．
依题意，得
解得
答：2021年1～5月份该旅行社接待外地游客3 750人，本地游客1 250人．
如图，用10块相同的长方形地砖拼成一个大的长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？
6
解：设每块地砖的长是x cm，宽是y cm.
答：每块地砖的长是48 cm，宽是12 cm.
某商场计划用40 000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1 200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．
(1)若全部资金只用来购进其中两种型号的手机，共40部，则商场共有哪几种进货方案？
7
解：①若购进甲、乙两种型号的手机，设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部．
②若购进甲、丙两种型号的手机，设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部．
③若购进乙、丙两种型号的手机，设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部．
因为x3为正整数，所以这种情况应舍去．
综上所述，商场共有两种进货方案：
方案一：购进甲型号手机30部，乙型号手机10部；
方案二：购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．
解：方案一获利120×30＋80×10＝4 400(元)；
方案二获利120×20＋120×20＝4 800(元)．
因为4 400元＜4 800元，所以商场应购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．
(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，在(1)的条件下，为使销售时获利最大，商场应选择哪种进货方案？
【点拨】
本题用换元法解方程组，容易犯偷换概念的错误，误认为a和b的值就是原方程组的解．(共34张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
三元一次方程组
10.4
①
B
1
2
3
4
5
A
B
6
7
8
A
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
4；－4；6
10
11
12
13
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
14
下列方程是三元一次方程的是________．(填序号)
① x＋y－z＝1；② 4xy＋3z＝7；③ ＋y－7z＝0；④ 6x＋4y－3＝0.
①
1
下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
2
B
若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是一个关于x，y，z的三元一次方程，则( )
A．a＝1，b＝0 B．a＝－1，b＝0
C．a＝±1，b＝0 D．a＝0，b＝0
3
A
4
解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选( )
A．消去x B．消去y C．消去z D．以上都不对
B
A
5
6
已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a2b2x－yc6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．
4
－4
6
【中考·扬州】阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：
已知数x，y满足3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，
求x－4y和7x＋5y的值．
7
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得x－4y＝－2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 则x－y＝________，x＋y＝________．
－1
5
(2)某班级为活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的
单价为p元．
依题意，得
由2×①－②可得m＋n＋p＝6，
所以5m＋5n＋5p＝5×6＝30.
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
(3)对于数x，y，定义新运算：x y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知3 5＝15，4 7＝28，那么1 1＝________．
【点拨】
－11
解方程组
8
【点拨】
解三元一次方程组时，在变形过程中，易漏乘某项系数或常数项而出现错误．
解：②＋①×2，得7x＋8z＝4.④
③＋②×2，得2x＋3z＝3.⑤
解方程组
9
【点拨】
本题运用了换元法，将 ， ， 分别用a，b，c表示，将原方程组化为关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值后，进一步再求x，y，z的值，这种方法可使解题过程变简便．
①＋②，得2a＋2c＝1，④
②＋③，得2a＋4c＝4.⑤
10
解方程组
【点拨】
像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将“多元”化为“一元”，使解题过程变简便．
解：设x＝k，y＝2k，z＝3k，代入②，得2k＋2k－9k＝15.解得k＝－3.
11
解方程组
【点拨】
本题没有采用常规的消元方法求解，而是利用整体加减的方法求出未知数的值，给解题过程带来了简便．
解：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝12，
所以x＋y＋z＝6.④
④－①，得z＝3.
④－②，得x＝1.
④－③，得y＝2.
用两种消元法解方程组
12
解：(方法1)用代入法解方程组．
把②变形为2y＝3x－4z－8，④
将④代入①，得2x＋2(3x－4z－8)－3z＝9，整理，得
8x－11z＝25.⑤
将④代入③，得5x－3(3x－4z－8)－5z＝7，整理，得
4x－7z＝17.⑥
(方法2)用加减法解方程组．
①＋②×2，得8x－11z＝25.④
①×3＋③×2，得16x－19z＝41.⑤
如图是一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“○”里的数之和，请你通过计算，确定三个“○”里的数之和，并且确定三个“○”里应填入的数．
13
解：把三个“○”里的数分别记作x，y，z，如图．
由题意得
①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝142，即x＋y＋z＝71.④
④－①，得z＝－12.
④－②，得x＝50.
④－③，得y＝33.
所以三个“○”里的数之和为71，三个“○”里应填入的数
按先上后下，先左后右的顺序依次为50，33，－12.
14(共19张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
二元一次方程组
10.2
D
D
1
2
3
4
5
A
D
6
7
8
D
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
x－y(答案
不唯一)
10
D
11
12
A
下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
D
1
下列不属于二元一次方程组的是( )
2
D
3
A
4
A．x＋2y＝1 B．3x＋2y＝－8
C．5x＋4y＝－3 D．3x－4y＝－8
D
A．1 B．2 C．3 D．4
D
5
6
x－y
(答案不唯一)
【2021·南通】《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为( )
7
【答案】D
【中考·成都】《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值金y两，则可列方程组为________________．
8
已知二元一次方程组 下面说法正确的是( )
A．同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解
B．适合方程①的x，y的值是方程组的解
C．适合方程②的x，y的值是方程组的解
D．适合方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解
9
A
【点拨】
方程组的解一定适合方程①和方程②，
方程①和方程②的解不一定适合方程组，
此题易错之处是把适合方程①或方程②的x，y的值理解成也适合方程组．
10
11
世界杯足球赛期间，小李在网上预定了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5 800元，其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元．设小李预定的小组赛的球票有x张，淘汰赛的球票有y张．
(1)你能列出相应的方程组吗？
(2) 是方程组的解吗？小李预定的小组赛和淘汰赛的球票分别为多少张？
解 ： 是方程组的解．小李预定的小组赛的球票为8张，淘汰赛的球票为2张．
如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数或式子的值相等，请列出符合条件的所有二元一次方程组．
12
【点拨】
本题运用了数形结合思想，由正方体相对面上的数或式子的值相等，可得3个方程，然后两两组合可得3个方程组．
解：因为正方体相对面上的数或式子的值相等，所以2x＋y＝－3，x＝1，3x＋y＝－2.所以可列出3个方程组：(共22张PPT)
苏科版 七年级下
第10章 二元一次方程组
加减消元法
10.3.2
相等；互为相反数；加减
A
1
2
3
4
5
C
A
6
7
8
D
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
D
10
2
11
12
10
13
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
相等
1
互为相反数
加减
2
A
A．5y＝2 B．－11y＝8
C．－11y＝2 D．5y＝8
3
C
【2021·郴州】已知二元一次方程组 则x－y的值为( )
A．2 B．6 C．－2 D．－6
4
A
A．①×2－② B．②×(－3)－①
C．①×(－2)＋② D．①－②×3
D
5
利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是( )
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
6
D
已知关于x，y的方程组的解 满足x＋y＝5，则k的值为________．
7
2
【点拨】
①＋②，得3x＋3y＝6k＋3，
两边同时除以3，可得x＋y＝2k＋1＝5，
所以k＝2.
8
如图，三个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为________．
10
【点拨】
解方程组：
9
【点拨】
本题用换元法解方程组，容易犯偷换概念的错误，误认为a和b的值就是原方程组的解．
10
已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，求k的值．
11
请你根据王老师所给的内容(如图)完成下列各小题：
(1)若x＝－5，2 4＝－18，求y的值；
解：根据题意，得2 4＝2x＋4y＝－18，
把x＝－5代入，得－10＋4y＝－18，解得y＝－2.
(2)若1 1＝8，4 2＝20，求x，y的值．
解：根据题意，得
②－①×2，得2x＝4，所以x＝2.
把x＝2代入①，得y＝6.
12
用消元法解方程组 时，两名同学的解法如下：
解法一：由①－②，得3x＝3.
解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2，③
把①代入③，得3x＋5＝2.
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．
解：解法一中的计算有误(标记略)．
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
解：由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1，
把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，
解得y＝－2.
13
阅读下面的内容，回答问题：
解方程组时，有时可根据方程中未知数的系数特征，将几个方程直接进行整体加减．
如解方程组
①＋②，得10x＋10y＝30，即x＋y＝3，③
将①变形为3x＋3y＋5y＝14，即3(x＋y)＋5y＝14.④
把③代入④，得3×3＋5y＝14，解得y＝1，
再把y＝1代入③，得x＋1＝3，解得x＝2.
从而比较简便地求得原方程组的解为
这种方法称它为“整体加减法”，你若留心观察，有很多方程组都可采用此法解．
请你用这种方法解方程组
【点拨】
本题利用整体思想将方程组的两式相加得到x＋y＝1，并把x＋y＝1中的x＋y看成一个整体代入原方程组求解．
①＋②，得4 043x＋4 043y＝4 043，即x＋y＝1.③
将①变形为2 021x＋2 021y＋y＝2 020，
即2 021(x＋y)＋y＝2 020，④
将③代入④，得2 021×1＋y＝2 020，解得y＝－1.
再将y＝－1代入③，得x－1＝1，解得x＝2.
