(共22张PPT)
苏科版 七年级下
与平行、直角三角形有关的证明
12.3.2
第12章 证明
④
D
1
2
3
4
5
∠ADB＝∠CBD
(答案不唯一)
6
7
8
答 案 呈 现
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9
72°
10
129°
11
12
124°
20°
35°
13
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如图，下列推理及理由都正确的是________(填序号)．
①若AB∥DG，则∠BAC＝∠DCA，理由是内错角相等，两直线平行；
②若AB∥DG，则∠3＝∠4，理由是两直线平行，内错
角相等；
1
③若AE∥CF，则∠E＝∠F，理由是内错角相等，两直线平行；
④若AE∥CF，则∠3＝∠4，理由是两直线平行，内错角相等．
【答案】④
命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是( )
A．如果两个锐角互余，那么这两个角是同一个直角三角形中的角
B．如果两个三角形的锐角互余，那么这两个三角形是直角三角形
C．如果两个锐角是直角三角形中的角，那么这两个角互余
D．如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形
2
D
【2021·苏州吴中区月考】已知a∥b，b∥c，则a∥c，理由是_______________________________________
_________________________．
3
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行
4
如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为____________________(写出一个即可)．
∠ADB＝∠CBD
(答案不唯一)
如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是________．
5
124°
6
如图，已知∠1＝72°，∠3＝70°，∠4＝110°，则∠2＝________．
72°
如图，若∠1＝∠D＝39°，∠C＋∠D＝90°，则∠B＝________．
7
129°
【中考·永州】已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角尺按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝________．
8
35°
如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F.若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝________．
9
20°
10
如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，DB，EC分别交AF于点G，H，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.
证明：∵∠AGB＝∠EHF，∠AGB＝∠DGF，
∴∠DGF＝∠EHF，∴DB∥EC，
∴∠D＝∠FEH.
∵∠C＝∠D，∴∠C＝∠FEH，
∴DF∥AC，∴∠A＝∠F.
11
求证：两条平行线的同旁内角的平分线互相垂直．
解：已知：如图，AB∥CD，MF平分∠AMN，
NE平分∠CNM，交MF于点P.
求证：MP⊥NP.证明：∵AB∥CD，
∴∠AMN＋∠CNM＝180°.
∵MP平分∠AMN，NP平分∠CNM，
∴∠PMN＋∠PNM＝90°.
∴∠MPN＝90°，∴MP⊥NP.
如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，求∠PGF的度数．
12
解：∵∠MFD＝∠BEF＝62°，
∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE.
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF＝ ∠BEF＝31°，
∴∠FGE＝31°.
①当点P在直线CD上方时，
∵GP⊥EG，∴∠PGE＝90°.
∴∠PGF＝∠PGE－∠FGE＝90°－31°＝59°；
②当点P在直线CD下方时，
∵GP⊥EG，∴∠PGE＝90°.
∴∠PGF＝∠PGE＋∠EGF＝90°＋31°＝121°.
综上，∠PGF的度数为59°或121°.
已知直线AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即往回旋转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向以每秒1°的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
13
(1)若射线PB，QC同时开始旋转，当旋转时间为30秒时，PB′与QC′的位置关系为________；
垂直
(2)若射线QC先旋转45秒，射线PB才开始旋转，求射线PB旋转多少秒时，PB′∥QC′.
解：设射线PB旋转t秒时，PB′∥QC′.
如图①，当0≤t≤45时，∠BPB′＝4t°，
∠CQC′＝45°＋t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45＋t，解得t＝15；
如图②，当45＜t≤90时，∠APB′＝4t°－180°，
∠CQC′＝t°＋45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°－∠CQC′，
即4t－180＝180－(45＋t)，解得t＝63；
如图③，当90＜t≤135时，∠BPB′＝4t°－360°，
∠CQC′＝t°＋45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t－360＝t＋45，
解得t＝135.
综上，射线PB旋转15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′.(共18张PPT)
苏科版 七年级下
与平行线有关的证明
12.2.2
第12章 证明
B
C
1
2
3
4
5
B
C
6
7
8
答 案 呈 现
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9
下列叙述错误的是( )
A．所有的命题都有条件和结论
B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题
D．所有的基本事实都是真命题
B
1
下列说法错误的是( )
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理
2
C
下列说法不正确的是( )
A．定理是命题，而且是真命题
B．“对顶角相等”是命题，但不是定理
C．“同角(或等角)的余角相等”是定理
D．“同角(或等角)的补角相等”是定理
3
B
4
【2021·金华】某同学的作业如下框，其中※处填的依据是( )
如图，已知直线l1，l2，l3，l4.若∠1＝∠2，则∠3＝∠4.
请完成下面的说理过程.
解：已知∠1＝∠2，
根据(内错角相等，两直线平行)，得l1∥l2.
再根据(________※________)，得∠3＝∠4.
A ．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】C
请把下面证明过程补充完整．
已知：如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，求证：∠1＝∠3.
证明：因为BE平分∠ABC(已知)，
所以∠1＝∠______( )．
又因为DE∥BC(已知)，
所以∠2＝∠_____( )．
所以∠1＝∠3( )．
5
2
角平分线的定义
3
两直线平行，同位角相等
等量代换
6
完成下面的证明，并在括号内填上理由．
已知：如图，BC∥AD，∠1＝∠E，求证：∠A＝∠C.
证明：∵∠1＝∠E(已知)，∴AB∥_______( )，
∴∠A＋∠ADC＝180°( )．
∵BC∥AD(已知)，∴∠ADC＋∠_____＝180°( )．
∴∠A＝∠C( )．
CE
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
C
两直线平行，同旁内角互补
同角的补角相等
完成下面证明过程，并在括号内填上依据．
如图，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B＋∠D＝180°，
求证：BC∥DE.
证明：∵∠D＝∠E(已知)，
∴CD∥______( )．
∵AB∥EF(已知)，
∴AB____CD( )．
7
EF
内错角相等，两直线平行
∥
平行于同一条直线的两条直线平行
∴∠B＝∠_______( )．
∵∠B＋∠D＝180°(已知)，
∴∠______＋∠D＝180°(等量代换)．
∴BC∥DE( )．
C
两直线平行，内错角相等
C
同旁内角互补，两直线平行
【2021·连云港东海县期末】如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°.
(1)求证：AD∥EC.
8
证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2＝∠ADC(两直线平行，内错角相等)．
∵∠2＋∠3＝180°，∴∠ADC＋∠3＝180°(等量代换)，
∴AD∥EC(同旁内角互补，两直线平行)．
(2)若DA平分∠BDC，CE⊥FA交FA的延长线于点E，∠1＝80°，求∠FAB的度数．
解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝80°，
∴∠BDC＝80°.
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC＝ ∠BDC＝40°(角平分线的定义)，
∴∠2＝∠ADC＝40°(已证)．
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°(垂直的定义)．
∵AD∥CE(已证)，
∴∠FAD＝∠AEC＝90°(两直线平行，同位角相等)，
∴∠FAB＝∠FAD－∠2＝90°－40°＝50°.
如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C＝40°，线段AD上从左到右依次有两点E，F(不与A，D重合)．
(1)求证：AD∥BC；
9
证明：∵AB∥CD，∴∠A＋∠ADC＝180°.
∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°.
又∵∠C＝40°，∴∠C＋∠ADC＝180°，
∴AD∥BC.
(2)比较∠AEB，∠AFB，∠ADB 的大小；
解：∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，∠AFB＝∠FBC，∠ADB＝∠DBC.
∵∠EBC＞∠FBC＞∠DBC，
∴∠AEB＞∠AFB＞∠ADB.
(3)若∠FBD∶∠CBD＝1∶3，BE平分∠ABF，且∠AEB＝∠BDC，求∠EBD的度数．
解：∵AD∥BC，∠A＝40°，
∴∠AEB＝∠EBC，∠ABC＝180°－∠A＝140°.
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD.
又∵∠AEB＝∠BDC，∴∠EBC＝∠ABD.
∴∠ABE＝∠DBC.
∵∠FBD∶∠CBD＝1∶3，
∴可设∠FBD＝x°，则∠DBC＝3x°.
又∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE＝∠EBF＝3x°，
∴3x°＋3x°＋x°＋3x°＝140°，
∴x°＝14°，
∴∠EBD＝∠EBF＋∠FBD＝4x°＝56°.(共21张PPT)
苏科版 七年级下
三角形角的关系的八种常见题型
阶段核心技巧
第12章 证明
1
2
3
4
5
6
7
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8
解：∵FD∥EC，∠D＝42°，
∴∠BCE＝∠D＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
又∵∠A＝46°，
∴∠B＝180°－∠ACB－∠A＝180°－84°－46°＝50°.
1
如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°.求∠B的度数．
(1)如图①，有一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________.
2
150°
90°
(2)如图②，改变直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．
解：不变化．
∵∠A＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝150°.
∵∠X＝90°，∴∠XBC＋∠XCB＝90°.
∴∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.
如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数；
3
解：∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠PBC＋∠PCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝ (180°－∠A)＝ ×(180°－60°)＝60°.
∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－60°＝120°.
(2)有一名同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋ ∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．
解：正确．理由如下：
∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数．
4
【点拨】
连接CG，DF，利用转化思想，将求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的和转化为求四边形CDFG的内角和与△DEF的内角和之和．
解：连接CG，DF.
∵∠COG＝∠AOB，∴∠6＋∠7＝∠OCG＋∠OGC.
∵∠OCG＋∠2＋∠CDF＋∠DFG＋∠3＋∠OGC＝360°，
∴∠2＋∠3＋∠6＋∠7＋∠CDF＋∠DFG＝360°.
∵∠EDF＋∠EFD＋∠5＝180°，
∴∠EDF＋∠CDF＋∠EFD＋∠DFG＋∠2＋∠3＋
∠5＋∠6＋∠7＝540°，
即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°.
如图，在△ABC中，O是外角∠DBC的平分线与外角∠ECB的平分线的交点．探究∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．
5
解：∠BOC＝90°－ ∠A.理由如下：
由题意得∠DBC＋∠ECB＝∠A＋∠ACB＋
∠A＋∠ABC＝180°＋∠A.
∵BO，CO分别是∠DBC，∠ECB的平分线，
探索归纳：
(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于( )
A．90° B．135° C．270° D．315°
6
C
(2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后得到四边形BCEF，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．
解：∠1＋∠2＝∠A＋180°.
理由如下：∵∠1，∠2为△AEF的外角，
∴∠1＝∠A＋∠AEF，∠2＝∠A＋∠AFE.
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠A＋∠AEF＋∠AFE.
又∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠A＋180°.
(3)若没有将∠A剪掉，而是把它折成如图③所示的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．
解：∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.
∴∠1＝180°－2∠AFE，∠2＝180°－2∠AEF.
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)．
又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A，
∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.
(1)求证：∠EAC＝∠B；
7
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.
(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．
解：设∠CAD＝x，则∠BAD＝x，∠E＝3x，
由(1)知，∠EAC＝∠B＝50°，
∴∠EAD＝∠EDA＝x＋50°.
在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，
∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°.
∴3x＝48°，即∠E＝48°.
如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是外角∠ACH与内角∠ABC的平分线的交点，∠BOC＝120°.
(1)求∠A的度数；
8
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＋∠OCB＝60°.
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABC＋∠ACB＝2∠OBC＋2∠OCB＝120°.
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝60°.
(2)求∠D的度数．
解：∵D是外角∠ACH与内角∠ABC的平分线的交点，
∴∠DCH＝ ∠ACH，∠DBC＝ ∠ABC.
∴∠D＝∠DCH－∠DBC＝ (∠ACH－∠ABC)＝ ∠A＝30°.(共19张PPT)
苏科版 七年级下
全章热门考点整合应用
第12章 证明
D
1
2
3
4
5
(2)与(4)，(1)与(5)
105°
6
7
8
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9
B
65
10°
下列句子中不是命题的有( )
A．a2是非负数 B．过点O作直线MN
C．相等的角是对顶角 D．负数都小于零
1
B
下列命题中，是真命题的是( )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
2
D
给出下列命题：
(1)对顶角相等；(2)同旁内角互补，两直线平行；(3)如果a＋b＞0，那么a＞0，b＞0；
(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)相等的角是对顶角；(6)如果a＞0，b＞0，那么ab＞0.
其中互为逆命题的是______________________．
3
(2)与(4)，(1)与(5)
4
一副三角尺如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为________．
105°
如图，已知m∥n，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠α＝________°.
5
65
6
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将△ABC折叠，使点A落在边BC上的E处，折痕为CD，则∠EDB＝________．
10°
【点拨】
由折叠的性质知∠DEC＝∠A＝50°，由三角形内角和定理知∠B＝40°.再根据三角形外角的性质知∠EDB＝∠DEC－∠B＝50°－40°＝10°.
如图，已知AB∥CD，求证：∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
7
证明：(方法1)如图①，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD. ∴∠2＋∠D＝180°.
∵EF∥AB，∴∠1＋∠B＝180°.
∴∠1＋∠B＋∠2＋∠D＝360°.
∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
(方法2)如图②，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD.∴∠2＝∠D.
∵EF∥AB，∴∠1＝∠B.
∵∠1＋∠2＋∠BED＝360°，
∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
(1)如图①，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C >∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F.试探索∠DEF与∠B，∠C的数量关系；
8
解：∵∠1＝∠2，∴∠1＝ ∠BAC.
又∵∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)，
(2)如图②，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，(1)中的结论是否还成立？并说明理由．
解：还成立，理由略．
已知AB∥CD.
(1)如图①，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED.求证：∠BED＝∠B＋∠D.
9
证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∴∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D.
(2)如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F.
①如图②，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数；
解：如图②，过点F作FE∥AB，∴∠BFE＝∠FBA.
∵AB∥CD，FE∥AB，∴EF∥CD.
∴∠EFD＝∠FDC.
∴∠BFE＋∠EFD＝∠FBA＋∠FDC.
即∠BFD＝∠FBA＋∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA＝ ∠ABC＝25°，∠FDC＝ ∠ADC＝30°，
∴∠BFD＝55°.
②如图③，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，求∠BFD的度数(用含有α，β的式子表示)．
解：如图③，过点F作FE∥AB，
∴∠BFE＋∠FBA＝180°.
∴∠BFE＝180°－∠FBA.
∵AB∥CD，FE∥AB，∴EF∥CD.
∴∠EFD＝∠FDC.
∴∠BFE＋∠EFD＝180°－∠FBA＋∠FDC.
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，(共12张PPT)
苏科版 七年级下
互逆命题
12.3.1
第12章 证明
B
1
2
3
4
5
B
6
7
8
答 案 呈 现
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9
2
D
B
－3(答案不唯一)
已知命题：如果a＝b，那么ac＝bc，该命题的逆命题是( )
A．如果a＝b，那么ac＝bc
B．如果ac＝bc，那么a＝b
C．如果a≠b，那么ac≠bc
D．如果ac≠bc，那么a≠b
B
1
命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为_________________________________．
2
如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0
已知一个命题的逆命题为“直角三角形的两锐角互余”，则原命题为_________________________________．
3
有两个角互余的三角形为直角三角形
4
下列命题中，其逆命题是真命题的是( )
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等
D．正方形的四个角都相等
B
下列说法中，正确的个数是( )
①每个命题都有逆命题；②真命题的逆命题是真命题；
③假命题的逆命题是真命题；④每个定理都有逆定理；
⑤每个定理一定有逆命题；⑥命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
5
B
6
下列4个命题的逆命题是真命题的有________个．
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等．
2
命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可取下面哪组值作为反例说明？( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝－1
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝1
7
D
请举例说明命题“对于任意数x，x2＋6x＋5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x＝________．(写出一个值即可)
8
－3
(答案不唯一)
写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
9
解：逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题．
反例：如图①，∠CAB的两边与∠CDB的两边分别垂直，但∠CAB≠∠CDB；
逆命题是假命题．
反例：如图②，∠AOC＝∠BOD，但AB与CD不垂直．(共11张PPT)
苏科版 七年级下
说 理
12.2.1
第12章 证明
(1)红色 (2)24
辛丑
1
2
3
4
答 案 呈 现
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一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
(1)某次从袋中任意取出两个球，若取出的球没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是________；
红色
1
(2)若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有________个球．
24
【2021·湘潭】天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
2
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．(用天干地支纪年法表示)
辛丑
当x＝－1，0， ，2，4时，计算代数式x2－4x＋5的值，并猜想x为任意有理数时，代数式的取值范围，尝试说明你的猜想的正确性．
3
解：当x＝－1时，x2－4x＋5＝1＋4＋5＝10；
当x＝0时，x2－4x＋5＝5；
当x＝ 时，x2－4x＋5＝ －2＋5＝3 ；
当x＝2时，x2－4x＋5＝4－8＋5＝1；
当x＝4时，x2－4x＋5＝16－16＋5＝5.
猜想：x为任意有理数时，x2－4x＋5≥1.
理由：x2－4x＋5＝(x－2)2＋1≥1.
4
桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张(n为正整数)纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“＋1”“－1”分别表示一张纸牌“正面向上”“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从－7变化为＋7.
(1)当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或－2，则最少________次操作后所有纸牌全部正面向上；
7
(2)当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是多少？多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作；若不能，简要说明理由．
解：①两张由反到正，变化量：2×[1－(－1)]＝4；
②两张由正到反，变化量：2×(－1－1)＝－4；
③一正一反变一反一正，变化量－1－1＋1－(－1)＝0.
所以变化量为4或－4或0.
不能全部正面向上．理由：变化量仍为14，
无法由4，－4，0组成，故不能使所有纸牌全部正面向上．(共20张PPT)
苏科版 七年级下
与三角形内角和定理有关的证明
12.2.3
第12章 证明
A
C
1
2
3
4
5
B
140°
6
7
8
答 案 呈 现
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9
C
10
D
11
12
C
D
B
13
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【2021·梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( )
A．32° B．36° C．40° D．128°
A
1
【中考·锦州】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是( )
A．80° B．90°
C．100° D．110°
2
C
【2021·宜宾】一块含有45°角的直角三角尺和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
3
B
4
【中考·泰州】如图，将分别含有30°，45°角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中∠α的度数为________．
140°
【2021·盐城】将一副三角尺按如图方式重叠，则∠1的度数为( )
A．45° B．60° C．75° D．105°
5
C
6
如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
C
【2021·齐齐哈尔】把直尺与一块三角尺按如图方式放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为( )
A．43° B．47°
C．133° D．137°
7
D
【中考·眉山】一副三角尺按如图所示方式摆放，则∠α与∠β的数量关系为( )
A．∠α＋∠β＝180°
B．∠α＋∠β＝225°
C．∠α＋∠β＝270°
D．∠α＝∠β
8
B
如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28°
C．62° D．56°
9
D
10
如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°.
又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°.
∵AE，BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C＋∠CBF＝60°＋35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF＋∠AFB＝25°＋95°＝120°.
11
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B＋∠E＝60°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝85°.
(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E.
证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE.
∵∠BAC＝∠E＋∠ACE，∴∠BAC＝∠E＋∠ECD.
∵∠ECD＝∠B＋∠E，
∴∠BAC＝∠E＋∠B＋∠E，
∴∠BAC＝2∠E＋∠B.
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF.
(1)若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；
12
解：∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C.
∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC＝25°.
∵EC平分∠BEF，∴∠CEF＝∠BEC＝∠C.
又∵∠BEC＋∠C＋∠EBC＝180°，∴∠BEC＝77.5°.
【点拨】
∵DF∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝α，∠C＝∠CEF.
∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC＝ α.
∵EC平分∠BEF，
∴∠AED＝∠CEF＝∠BEC＝∠C＝
(2)若∠ADE＝α，则∠AED＝________(用含α的代数式表示)．
【2021·常熟市期中】已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°，F在BA的延长线上．
(1)求∠CAF的度数；
13
解：∵GH∥BC，∠C＝40°，
∴∠HAC＝∠C＝40°.
∵∠FAH＝∠GAB＝60°，
∴∠CAF＝∠HAC＋∠FAH＝100°.
(2)求∠DAE的度数．
解：∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，∴∠BAC＝80°.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°.
∵GH∥BC，AD⊥BC，∴∠GAD＝90°，
∴∠BAD＝90°－60°＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°.(共24张PPT)
苏科版 七年级下
定义与命题
12.1
第12章 证明
C
B
1
2
3
4
5
A
B
6
7
8
答 案 呈 现
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9
D
10
真命题
11
12
B
13
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14
15
16
17
下列语句不属于定义的是( )
A．两边相等的三角形是等腰三角形
B．两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．等腰三角形的两腰相等
D．含有未知数的等式叫做方程
C
1
下列四个选项中不是命题的是( )
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
2
B
下列语句中是命题的是( )
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②内错角相等吗？
③画线段AB＝CD；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；⑤角都相等．
A．①④⑤ B．①②④
C．①③④ D．②③④⑤
3
A
4
下列命题是真命题的是( )
A．一个角的补角一定大于这个角
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形
D．旋转改变图形的形状和大小
B
下列命题中，假命题有( )
①若a2＝4，则a＝2；②若a＞b，则a2＞b2；③若a＞b，b＞c，则a＞c；④若|a|＝|b|，则a2＝b2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5
B
6
下列命题中：①若x＝5，则|x|＝5；②若a2≠b2，则a≠b；③三角形的两边之和大于第三边；④在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是180°.
正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是__________(填“真命题”或“假命题”)．
7
真命题
把命题“互补两角的和是180°”，改写成“如果……，那么……”的形式：_________________________________________．
8
如果两个角互补，那么这两个角的和是180°
把命题“不能被2整除的数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式：_____________________________________________．
9
如果一个数不能被2整除，那么这个数是奇数
10
命题“对顶角相等”的条件是_________________，结论是______________，它是________命题(填“真”或“假”)．
两个角是对顶角
这两个角相等
真
11
命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式为如果___________________________，那么______________________________．
两条直线垂直于同一条直线
这两条直线互相平行
将命题“同角的余角相等”，改写成“如果……，那么……”的形式：_____________________________________________，它是________命题(填“真”或“假”)．
12
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
真
请将命题“邻补角互补”改写成“如果……，那么……”的形式：______________________________________．
13
如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
写出下列命题的条件和结论：
(1)若a＞b，则ac＞bc；
(2)互为相反数的两个数的绝对值相等；
(3)绝对值等于3的数是3.
14
解：(1)条件：a＞b；结论：ac＞bc.
(2)条件：两个数互为相反数；结论：这两个数的绝对值相等．
(3)条件：一个数的绝对值等于3；结论：这个数是3.
把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论．
(1)整数一定是有理数；
(2)两个锐角互余．
15
解：(1)如果一个数是整数，那么它一定是有理数．
条件：一个数是整数；结论：它一定是有理数．
(2)如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角．
条件：两个角是锐角；结论：这两个角互为余角．
如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD.
(1)由上述条件可得哪几个真命题？请按“ ”的形式一一书写出来；
16
解：命题1：①② ③；
命题2：①③ ②；命题3：②③ ①.
(2)请根据(1)中的真命题，选择一个进行证明．
解：(答案不唯一)选择命题2：①③ ②.
证明如下：∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.
∴∠A＝∠B.
如图是小聪课后自主学习的一道题，参照小聪的解题思路，回答下列问题：
17
若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值.
小聪的解答：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，∴(m－n)2＋(n－4)2＝0.
又∵(m－n)2≥0，(n－4)2≥0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，∴n＝4，m＝4.
(1)已知a2＋b2－4a＋4＝0，求a和b的值．
解：∵a2＋b2－4a＋4＝0，
∴(a2－4a＋4)＋b2＝0，
∴(a－2)2＋b2＝0.
又∵(a－2)2≥0，b2≥0，
∴a－2＝0，b＝0，∴a＝2，b＝0.
(2)已知△ABC的三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，关于此三角形的形状有以下命题：
①它是等边三角形；②它是等腰三角形；③它是直角三角形．
其中是真命题的有________．(填序号)
①②
【点拨】
∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴(a2－2ab＋b2)＋(c2－2bc＋b2)＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0.
又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，
∴a－b＝0，且b－c＝0，
∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
