人教版九年级下27.1图形的相似 同步练习(word解析版)

人教版九年级下27.1 图形的相似
一、单选题
1．如图，在中，点、分别在、边上，，若，，则等于（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
2．如果和的相似比为2，和的相似比为1，则和的相似比为（ ）
A． B． C． D．
3．下列四对图形中，是相似图形的是( )
A．任意两个三角形 B．任意两个等腰三角形
C．任意两个直角三角形 D．任意两个等边三角形
4．下列各组中的两个图形，一定相似的是（ ）
A．有一个角对应相等的两个菱形
B．对应边成比例的两个多边形
C．两条对角线对应成比例的两个平行四边形
D．任意两个矩形
5．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　）.
A． B． C． D．
6．下列各组图形相似的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
7．下列各命题中，真命题的是（ ）
A．矩形都相似
B．有两条边对应成比例的两个直角三角形相似
C．一个角为的两个等腰三角形一定相似
D．有一个锐角相等的两直角三角形相似
8．如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
9．下列说法错误的是（　　）
A．任意两个直角三角形一定相似
B．任意两个正方形一定相似
C．位似图形一定是相似图形
D．位似图形每一组对应点到位似中心的距离之比都等于位似比
10．在的交通旅游图上，南京玄武湖隧道长，则它的实际长度是（ ）
A．26.6 km B．2.66 km C．0.266 km D．266 km
11．下列给出的图形是相似形的有（ ）
A．两张孪生兄弟的照片 B．三角板的内、外三角形
C．行书的“中”和楷书的“中” D．同一棵树上摘下的两片树叶
12．两个相似五边形的相似比为 2：3，则它们的面积比为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
二、填空题
13．已知，是两正实数，则它们的比例中项为________．
14．如图是用火柴棒摆出的两个正五边形的图案，若图甲的面积是，则图乙的面积（用含的代数式表示）是________．
15．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=3，b=5，c=6，则线段d=____．
16．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_____cm．（精确到0.lcm）
三、解答题
17．将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来：
18．如图，四边形ABCD中AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝90°，对角线AC、BD相交于点O．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若P是对角线BD上任意一点，连接PA，PA绕点P逆时针旋转90°得到PE，连接AE、BE．
①根据题意画图，判断B、C、E三点是否共线，并说明理由；
②当BD＝8，△PBE的面积等于时，求PB的长
19．阅读下列材料，完成任务：
自相似图形，定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为______；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．则△ACD与△ABC的相似比为_____；则△BCD与△ABC的相似比为_____；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD＝a，宽AB＝b（a＞b）．
①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝_____（用含b的式子表示）：
②如图3﹣2，若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝______（用含n，b的式子表示）．
20．已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点
21．已知：，求证：b是a与c的比例中项．
22．阅读下列短文，并回答下列问题：我们把相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，我们就把它们叫作相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比( a ∶ b )，设S 甲 ，S 乙 分别表示这两个正方体的表面积，则 ．又设V 甲 ，V 乙 分别表示这两个正方体的体积，则．
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
A．两个球体 B．两个圆锥体
C．两个圆柱体 D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三个主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于__________；②相似体的表面积的比等于__________；③相似体的体积比等于__________．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据题意判断出，从而计算出结果．
【详解】
，，则，
又，，，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，能够根据题意找准相似三角形，并结合相似比求解是解决本题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
和的相似比为1，说明和全等，进而可得答案.
【详解】
解：∵和的相似比为2，和的相似比为1，
∴和的相似比为2.
故选：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的有关概念，属于基础题型，两个相似三角形的相似比为1，说明这两个三角形全等，这是解决本题的关键.
3．D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案．
【详解】
解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；
B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；
C、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C错误；
D、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．
4．A
【解析】
【分析】
首先要了解什么是相似，以及四边形中不同四边形有什么区别，重点掌握等边、等角以及其比例关系.
【详解】
解：A、菱形四边相等，四边形内角和为360，且有一个角对角相等，说明这两个图形各内角度数一致，则这两个图形必然相似.
B、对应边比例相等的多边形不一定相似，如边长为1的正方形和宽为1长为2的长方形.
C、当两条对角线的夹角对应相等时，这两个平行四边形相似．如图
.
D、任意两个矩形不一定相似如正方形和长方形.
故选A.
【点睛】
本题主要考察了学生对于图形的了解，着重考察了菱形的基本知识.
5．B
【解析】
【分析】
根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得
【详解】
∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴，
∴．
故选B
6．B
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】
：解：①形状不同，故错误；
②形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；
③两个菱形，边的比相等，而对应角对应相等，故正确；
④两个直角梯形，边的比相等，而对应角度数相同，故正确；
故选B．
【点睛】
本题考查相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
7．D
【解析】
【分析】
直接利用相似三角形以及矩形的相似判定方法分别判断得出答案．
【详解】
、矩形都相似，错误，应为矩形的对应边不一定成比例；
、有两条边对应成比例的两个直角三角形相似，若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，故此选项错误；
、一个角为的两个等腰三角形一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误；
、有一个锐角相等的两直角三角形相似，正确．
故选．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
8．D
【解析】
【分析】
过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值．
【详解】
解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y在第二象限，
∴k=-16，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|．
9．A
【解析】
【分析】
根据相似图形的判定定理与相似三角形的判定定理，位似图形的性质，即可求得答案，注意举反例与排除法的应用．
【详解】
A. 任意两个直角三角形不一定相似，如等腰直角三角形与一般的直角三角形不相似，故本选项错误；
B. 任意两个正方形一定相似，故本选项正确；
C. 位似图形一定是相似图形，故本选项正确；
D. 位似图形每一组对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，故本选项正确，
故选A.
【点睛】
本题考查相似图形的判定定理与相似三角形的判定定理，学生们熟练掌握定理即可.
10．B
【解析】
【分析】
首先设它的实际长度为xcm，再根据比例尺的定义，列出比例式，解方程即可求得答案．注意单位换算．
【详解】
解：设它的实际长度为xcm，由题意，
得：1:38000=7:x，
解得：x=266000，
∵266000cm=2.66km．
∴它的实际长度是2.66km．
故选:B．
【点睛】
比例尺=图上距离：实际距离，按照题目要求列出比例式进行计算即可．
11．B
【解析】
【详解】
A选项中，两张孪生兄弟的照片不一定相似，故不能选A；
B选项中，三角板的内、外三角形是相似的，故可以选B；
C选项中，行书的“中”和楷书的“中”不相似，故不能选C；
D选项中，同一棵树上摘下的两片树叶不一定相似，故不能选D；
故选B.
12．C
【解析】
【分析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
【详解】
∵两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积为4：9．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方．
13．
【解析】
【分析】
设a，b的比例中项为c，根据比例中项的概念，得c2=ab，再两边开平方即可得到c的值．
【详解】
设a，b的比例中项为c，则
c2=ab，
所以
故答案为
【点睛】
考查比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项.
14．4a
【解析】
【分析】
利用相似多边形对应边的平方比等于其面积比，求解即可．
【详解】
由图可得，两个相似多边形的对应边之比为1：2，所以面积之比为1：4，
又甲的面积为a，故乙的面积为4a．
【点睛】
作为相似多边形的性质，理解对应边的平方比即为面积比．
15．10
【解析】
【分析】
根据比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后把a=3，b=5，c=6代入进行计算即可．
【详解】
解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
又∵a=3，b=5，c=6，
∴3：5＝6：d，
∴d=10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
16．12.4
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可．
【详解】
解：书的宽与长之比为黄金比，长为，
它的宽．
故答案为12.4．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
17．见解析
【解析】
【分析】
旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形变换叫作轴对称变换．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是对平移变换，相似变换，旋转变换，轴对称变换的认识，根据概念作出回答是解题关键．
18．（1）见解析；（2）①B、C、E三点共线，见解析；②PB为1或3或
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的判定定理证明；
（2）①根据题意画出图形；根据旋转的性质得到△APE为等腰直角三角形，根据正方形的性质得到△AOB为等腰直角三角形，证明△AOP∽△ABE，根据相似三角形的性质得到∠ABE=90°，得到答案；
②根据题意求出OB，根据相似三角形的性质得到BE=（4-PB），求出PH，根据三角形的面积公式列式计算．
【详解】
解：（1）∵AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）①如图，就是所画的图形 （图②或图③）结论：B、C、E三点共线.
理由：由画图得，PA＝PE，PA⊥PE，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
由（1）得四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠PAE＝∠OAB，∠PEA＝∠OBA，
∴△PAE∽△OAB，
∴，
∵∠PAE＝∠OAB，
∴∠PAO＝∠EAB，
∴△PAO∽△EAB
∴∠POA＝∠EBA＝90°，
∴AB⊥BE，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴B、C、E三点共线；
②分两种情况讨论：
当点P在线段OD上时，作PF⊥BC，如图④，
由（1）得四边形ABCD是正方形，
∵AC＝BD＝8
∴AO＝B0＝4，AB＝
设PB＝x，则PO＝ x－4，
由①得△PAO∽△EAB，
∴，
∴
∴
由（1）得四边形ABCD是正方形，且PF⊥BC，
得△PBF为等腰直角三角形，
∴PF＝
∴S＝（4≤x≤8），
解得，（舍去）；
当点P在线段BO上时，作PE⊥BD，如图⑤，
由（1）得四边形ABCD是正方形，
∵AC＝BD＝8
∴AO＝B0＝4，AB＝
设PB＝x，则PO＝4－x，
由①得△PAO∽△EAB，
∴，
∴
∴
由（1）得四边形ABCD是正方形，且PF⊥BC，
得△PBF为等腰直角三角形，
∴PF＝
∴S＝（0≤x＜4），
解得，；
综上所述，当PB为1或3或时，△PBE的面积等于．
【点睛】
本题考查的是正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．注意使用分类讨论的思想进行解题.
19．（1）；（2），；（3）①b；②b．
【解析】
【分析】
（1）先得出AH＝AD，然后进一步即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AB，然后通过相似三角形性质进一步求解即可得出结论；
（3）①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；②同①的方法即可得出结论；
【详解】
（1）∵点H是AD的中点，
∴AH＝AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为：；
故答案为：；
（2）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理得，AB＝5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为：，△BCD与△ABC的相似比为：，
故答案为：，；
（3）①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB＝AB：AD，
即a：b＝b：a，
∴a＝b；
故答案为：b
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b：a＝a：b，
∴a＝b；
故答案为：b
【点睛】
本题主要考查了相似三角形与相似多边形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
20．见解析
【解析】
【分析】
首先得出的长，进而得出求出即可．
【详解】
证明：作下图：
线段，在上有一点，，
，
，
，
点是的黄金分割点．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据已知得出．
21．详见解析
【解析】
【分析】
根据比例中项的定义进行计算证明即可．
【详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∴b是a与c的比例中项．
【点睛】
本题考查了比例中项及二次根式的计算，熟记比例中项的定义是解题的关键．
22．（1）A；（2）①相似比，②相似比的平方，③相似比的立方
【解析】
【分析】
按照相似原理，把平面原理推广到立体条件下，如何改变.
【详解】
解：(1)球体形状都一样，大小不一样，故选A.
(2)①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于相似比；②相似体的表面积的比等于相似比的平方；③相似体的体积比等于相似比的立方．
【点睛】
很多数学原理由平面几何推广到立体几何，从而推广到高维空间，正是数学发展的过程，可以开阔思路，打开学生的想象力，提高思维能力，增长见识.
答案第1页，共2页
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