人教版九年级下第二十七章全章综合训练（word解析版）

人教版九年级下第二十七章全章综合训练
一、单选题
1．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，若∠1=40°，则∠2的度数 （ ）
A．100° B．140° C．80° D．40°
2．如图，已知和都是的内接三角形，和相交于点，则与的相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（　　）
A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD BC D．
4．等边三角形ABC 中，BD是角平分线，点E在BC边的延长线上，且CD=CE，则∠BDE的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．无法确定
5．如图,已知BC∥DE，则下列说法不正确的是( )
A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE∶AD是相似比 D．点B与点E，点C与点D是对应位似点
6．已知与相似，又，，那么不可能是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
7．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上. 若BF＝3，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C．1 D．6
8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，，AC=3，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DBC＝30°，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若CD＝2，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图是一个边长为的正方形组成的网络，与都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
11．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2=0的两根a、b满足a2﹣b2=0，双曲线 （x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），则S△OBC为（　　）
A．3 B． C．6 D．3或
12．有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
13．如图，是菱形的对角线，的交点，，分别是，的中点．下列结论中正确是（ ）
①；②四边形是菱形；③四边形的面积为，④．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
二、填空题
14．如图，正方形与正方形是位似图形，且点和点的坐标分别为和，则这两个正方形的位似中心的坐标为______.
15．如图，在△ABC中DE∥BC，点D在AB边上，点E在AC边上，且AD：DB＝2：3，四边形DBCE的面积是10.5，则△ADE的面积是____．
16．正方形ABCD的边长为3，点E为射线AD上一点连接CE，设直线CE与BD交于点F，若AD＝2DE，则BF的长为_____．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，添加一条件能使△ABC∽△ADE的是_____．
18．如图，正方形纸片的边长为4，是边的中点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，则的长为_____．
19．若 ，则=________．
20．如图所示，是由通过平移得到的，且点在同一条直线上，若，，则从到的平移距离为________．
21．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点为格点（即小正方形的顶点），与相交于点，则的长为_________．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是______．
23．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，点E是对角线BD上一动点（不与点B，D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN：BN的值为_____．
三、解答题
24．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
（3）①点B1的坐标为　 　；②求△A2B2C2的面积．
25．折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念. 今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸.
实践操作
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点落在矩形ABCD所在平面内，C和AD相交于点E，连接D．
解决问题
（1）在图1中，①D和AC的位置关系是_____；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是____；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）在图2中，若∠B=30o，AB=，当A⊥AD时，BC的长度为_____.
26．如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC =" EB" .
（1）求证：△CEB∽△CBD ；
（2）若CE = 3，CB="5" ，求DE的长.
27．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是AB上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G，且AB与⊙O相切，则AE的长为_____．
28．如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点
（1）求证：△ABE≌△DCE
（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（3）连接EF,当四边形EGFH是正方形时，线段EF与GH有什么数量关系？请说明理由.
29．某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）．小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6m，测得CF=1m，DH=2m，CD=8.4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？
30．如图，四边形内接于，是直径，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质及邻补角的性质即可解出.
【详解】
如图∵∠1=40°，∴∠3=140°
∵a∥b，
∴∠2=∠3=140°，
故选B.
【点睛】
此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质与邻补角的性质.
2．A
【解析】
【分析】
根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则弧所对的圆周角，和是对顶角，所以．
【详解】
解：，
，
故选：．
【点睛】
考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．
3．D
【解析】
【分析】
利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．
【详解】
解：
A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；
B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；
C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD BC变形为，则△ABC∽△DCA；
D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当时，不能判断△ABC∽△DCA．
故选择：D．
【第讲】
本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．
4．C
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°，∠DBC=30°，根据CD=CE可得∠CDE=∠CED，根据∠CDE+∠CED=∠ACB即可求得∠CED=30°．进而可得到∠BDE的度数.
【详解】
解：∵三角形ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ACB=60°，∠DBC=∠ABC= 30°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE+∠CED=∠ACB
∴∠CED=30°，
∴∠BDE=180°-∠DBC-∠CED
=180°-30°-30°
=120°
故选C
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形底角相等的性质，本题中求出∠CED=30°是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质与定义分别进行分析可得答案.
【详解】
解：A.∵BC∥DE，且BE与CD相交于点A，
∴两个三角形是位似图形，正确，不符合题意；
B.点A是两个三角形的位似中心，正确，不符合题意；
C. AE︰AB是相似比，故此选项错误，符合题意；
D. 点B与点E，点C与点D分别是对应点，正确，不符合题意.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义与性质是解题的关键.
6．D
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和定理即可求出∠C，然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出∠D可能的度数，从而作出判断．
【详解】
解：∵中，，
∴∠C=180°－∠A－∠B=80°
∵与相似
∴∠D=∠A=40°或∠D=∠B=60°或∠D=∠C=80°
∴不可能是100°
故选：D．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关键．
7．B
【解析】
【详解】
试题分析：先根据正方形的性质结合相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
在△BEF与△CFD中
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3
∵∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF=3，BC=12，
∴CF=BC-BF=12-3=9，
解得
故选B.
考点：正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
点评：解题的关键是熟练掌握正方形的四个角都是直角，相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.
8．C
【解析】
【分析】
先推导出△CBD∽△CAB，然后根据边之间成比例的关系，可得出CD的长．
【详解】
∵∠DBC=∠A，∠DCB=∠ACB
∴△CBD∽△CAB
∴
∵，AC=3
∴求得：CD=2
故选：C．
【点睛】
本题考查相似，注意必须要得出2组对应角相等，才能说明两个三角形相似．
9．C
【解析】
【分析】
连接DE，根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出BD，再求出AB，根据DE∥AB，得到，把已知数据代入计算，得到答案．
【详解】
解：连接DE，
∵∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，CD＝2，
∴BC＝2CD＝4，
由勾股定理得，BD＝＝＝，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝2，
∴∠BDE＝∠CBD＝30°，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDE，
∴DE∥AB，
∴，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝＝3，
∴，
即，
解得，BF＝
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
10．A
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出AC，那么AC：A′C′即是相似比．
【详解】
由图可知AC=，A1C1=1，
∴△ABC与△A1B1C1的相似比是：1，
故选A.
【点睛】
本题考查了对相似三角形性质的理解，相似三角形边长的比等于相似比．解答此题的关键是找出相似三角形的对应边．
11．B
【解析】
【分析】
首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围,然后由a2﹣b2=0得出a+b=0或a-b=0,再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值,由k的几何意义,可知S△OBA= .如果过D作DE⊥OA于E,则S△OCA= .易证△ODE∽△OBA,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得出S△OBA,最后由S△OBC=S△OBA-S△OCA,得出结果.
【详解】
∵x2+（2k-1）x+k2=0有两根，
∴△=（2k-1）2-4k2≥0，
即k≤．
由a2﹣b2=0得：（a-b）（a+b）=0．
当a+b=0时，-（2k-1）=0，解得k=，不合题意，舍去；
当a-b=0时，a=b，△=（2k-1）2-4k2=0，
解得：k=符合题意．
∵，
∴双曲线的解析式为：．
过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=S△OCA=×1=．
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，
∴，∴S△OBA=4×=2，
∴S△OBC=S△OBA-S△OCA=2-=．
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活运用.
12．D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质求得甲的面积和丙的面积，进一步求得乙和丁的面积，比较即可求得．
【详解】
解：如图：
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD＝5+2＝7，
∵AD＝2+1＝3，
∴S△ABD＝S△ACD＝＝
∵EF∥AD，
∴△EBF∽△ABD，
∴＝（）2＝，
∴S甲＝，
∴S乙＝，
同理＝（）2＝，
∴S丙＝，
∴S丁＝﹣＝，
∵，
∴面积最大的是丁，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
13．A
【解析】
【分析】
①先证，再根据三角形的面积公式可得到结论；②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确；③根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得；④根据已知无法求得．据此判断即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形是菱形
∴OA=OC,
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴，．
∴．
∵
∴，故①正确
∵四边形ABCD是菱形，
∴，OB=OD
∴AC是BD的垂直平分线
∴BE=ED
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE=OF．
∴BD是EF的垂直平分线
∴DE=DF，BE=BF．
∴DE=DF=BE=BF．
∴四边形BFDE是菱形．②正确
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴菱形ABCD的面积，故③不正确；
由已知无法求得，故④不正确
所以正确的结论有①②，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的判定、性质以及菱形面积的求法，垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
14．或
【解析】
【分析】
分两种情况求解：（1）当位似中心在两个正方形同侧时，（2）当位似中心在两个正方形之间时.
【详解】
分两种情况：（1）当位似中心在两个正方形同侧时，如解图①，
∵、、、都在轴上，
∴位似中心一定在轴上，当直线交轴上一点时，直线恰好过这点，这点就是位似中心，记作，
∵，，
∴，，
∴，
∵正方形与正方形位似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得，
∴；
（2）当位似中心在两个正方形之间时，如解图②，连接，交于，连接也过，即为位似中心，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，
∵正方形与正方形位似，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或.
【点睛】
此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．本题的难点是要分位似中心在两个正方形同侧和两个正方形之间两种情况讨论，注意利用位似性质求解.
15．2
【解析】
【分析】
由AD：DB＝2：3，可以得到相似比为2：5，所以得到面积比为4：25，设△ADE的面积为4x，则△ABC的面积为25x，故四边形DBCE的面积为21x，根据题意四边形的面积为10.5，可以求出x，即可求出△ADE的面积．
【详解】
∵DE∥BC
∴，
∵AD:DB=2:3
∴相似比=2：5
∴面积比为4：25
设△ADE的面积为4x，则△ABC的面积为25x，故四边形DBCE的面积为21x
∴21x=10.5，解得x=0.5
∴△ADE的面积为：4×0.5=2
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形，熟练面积比等于相似比的平方以及准确的列出方程是解决本题的关键．
16．6或2
【解析】
【分析】
分两种情况：如图1，当DE在AD的延长线上时，②如图2，当DE在线段AD上时，根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
解：①如图1，当DE在AD的延长线上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝3，
∴BD＝AB＝3，
∵AD＝2DE，
∴DE＝BC，
∵DE∥BC，
∴△FED∽△FCB，
∴
∴BF＝2DF＝2BD＝6；
②如图2，当DE在线段AD上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝3，
∴BD＝AB＝3，
∵AD＝2DE，
∴DE＝BC，
∵DE∥BC，
∴△FED∽△FCB，
∴，
∴BF＝2DF＝BD＝2，
综上所述，BF的长为6或2
故答案为：6或2．
【点睛】
本题主要考查相似形的判定与性质及正方形的性质，分类讨论是解题的关键．
17．∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理解答即可．
【详解】
∵∠A＝∠A，
∴添加∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
18．
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据△ABM~△ADE，求出AM 的长，从而得出AG继而得出GE的长．
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠BAD=∠D =90°，
∴∠BAM+∠FAM=90°，
又∵是边的中点，
∴DE=2，
在Rt△ADE中，AE=
∵由折叠的性质可得△ABF △GBF，
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠FAM
∴△ABM~△ADE，
∴= ，
∴= ，
∴AM=，
∴AG=，
∴GE=AE-AG=-=．
【点睛】
本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
19．-11
【解析】
【分析】
根据得到，代入后即可求解．
【详解】
解：∵，
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是能够用一个未知数表示另一个未知数，难度不大．
20．3
【解析】
【分析】
根据平移的性质得到BE=CF，故可求出平移的距离．
【详解】
由图可知平移的距离为BE或CF，
故BE=CF= =3
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知平移的特点．
21．
【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
【详解】
解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，
∴△CEF≌△DBF，
∴BF=EF=BE=，
∵BF∥AD，
∴△BOF∽△AOD，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：
【点睛】
本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
22．(4，5)
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：连接AA′，BB′，两者相交于点P，
∴位似中心P的坐标是（4，5）．
故答案为：（4，5）．
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
23．或．
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论：当∠DFE＝90°时，△DEF为直角三角形；当∠EDF＝90°时，△DEF为直角三角形，分别判定△DCF∽△BCD，得到＝，进而得出CF，根据线段的和差关系可得CN和BN的长，于是得到结论．
【详解】
解：∵AB：BC＝3：4，
设AB＝3x，BC＝4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝4x，
分两种情况：
①如图所示，当∠DFE＝90°时，△DEF为直角三角形，
∵∠CDF+∠CFD＝∠EFN+∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝∠EFN，
由折叠可得，EF＝EB，BN＝FN，
∴∠EFN＝∠EBN，
∴∠CDF＝∠CBD，
又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，
∴△DCF∽△BCD，
∴＝，即＝，
∴CF＝，
∴FN＝NB＝＝，
∴CN＝CF+NF＝+＝，
∴CN：BN＝：＝25：7．
②如图所示，当∠EDF＝90°时，△DEF为直角三角形，
∵∠CDF+∠CDB＝∠CDF+∠CBD＝90°，
∴∠CDF＝∠CBD，
又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，
∴△DCF∽△BCD，
∴＝，即＝，
∴CF＝，
∴NF＝BN＝＝，
∴CN＝NF﹣CF＝﹣＝，
∴CN：BN＝7：25，
综上所述，CN：BN的值为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是掌握相似三角形判定与性质，特别注意要分类讨论．
24．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①（﹣5，4）；②22
【解析】
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据位似变换的概念作出三个顶点在第一象限的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）①由图像直接写出的坐标，②由所作图形和割补法求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）①由图知点B1的坐标为（﹣5，4）；
②△A2B2C2的面积为8×6﹣×2×6﹣×6×4﹣×2×8＝22．
故答案为：（﹣5，4）．
【点睛】
本题主要考查作图-位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念与性质，并据此得出变换后的对应点．
25．(1) BD′∥AC，菱形；（2）成立，理由见解析；（3）4或6或8或12.
【解析】
【分析】
（1）①根据内错角相等两直线平行即可判断；
②根据菱形的判定方法即可解决问题；
（2）只要证明AE=EC，即可证明结论②成立；只要证明∠ADB′=∠DAC，即可推出B′D∥AC；
（3）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】
解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；
故答案为BD′∥AC，菱形；
（2）①选择②证明如下：
如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
②选择①证明如下，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC．
（3）∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，
设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°，
解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°，
∵AB′=AB=4
∴BC=4，
当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图4，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=4
当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠AB′C=30°，
∴AE=4，BE′=2AE=8，
∴AE=EC=4，
∴CB′=12，
当∠AB′D=90°时，如图6，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是平行四边形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴已知当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形．
故答案为4或6或8或12；
【点睛】
本题考查四边形综合题、翻折变换、矩形的性质、等腰梯形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
26．（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；
（2）根据相似三角形的对应边成比例先求出CD的长，已知CE的长，那么DE的长就容易求得了．
【详解】
（1）证明：∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．
∴∠C=∠D．
又∵EC=EB，
∴∠C=∠CBE．
∴∠D=∠CBE．
又∵∠C=∠C，
∴△CEB∽△CBD．
（2）解：∵△CEB∽△CBD，
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，难易程度适中．
27．1
【解析】
【分析】
设AB与⊙O相切于M，连接OM并反向延长交CD于N，则MN⊥AB，连接GF，根据垂径定理得到CN＝DN，根据相似三角形的性质得到＝，如图，连接CG，根据相似三角形的性质得到＝，推出AG＝EA，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：设AB与⊙O相切于M，连接OM并反向延长交CD于N，
则MN⊥AB，连接GF，
在正方形ABCD中，∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴CN＝DN，
∵∠ADC＝90°，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF＝180°，
∵∠FGA+∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴＝，
如图，连接CG．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴＝，即＝，
∴＝，
在正方形ABCD中，DA＝DC，
∴AG＝EA，
∴DG＝4﹣AE，
∵ON＝DG＝2﹣AE，
∴CG＝2OM＝2（4﹣ON）＝4+AE，
∵DG2+CD2＝CG2，
∴（4﹣AE）2+42＝（4+AE）2，
∴AE＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
28．（1）证明见解析；（2）是菱形．证明见解析；（3）EF⊥BC，且EF=BC．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据等腰梯形的性质可得出∠A=∠D，结合题意AB=CD，点E是AD的中点，利用SAS即可判断全等．
（2）根据中位线定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，从而可判断出四边形EGFH的形状．
（3）连接EF，则根据等腰直角三角形斜边中线的性质可判断出EF与BC的关系．
试题解析：（1）证明：由题意可得ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE．
（2）四边形EGFH是菱形．
证明：∵GF、FH是△EBC的中位线，且由（1）得EB=EC，
∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，
∴四边形EGFH是菱形．
（3）EF⊥BC，且EF=BC．
证明：连接EF，
∵EFGH是正方形，
∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形
∴EF⊥BC，且EF=BC．
考点：1.等腰梯形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的判定；4.正方形的性质．
29．BC是9.6m．
【解析】
【分析】
根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】
解：由题意可得：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH．
∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，
∴∠ABC=∠EFC=∠CHD=90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴=，即=．
∵∠ADB=∠GDH，∠ABC=∠GHD=90°，
∴△ABD∽△GHD，
∴=，即=，
解得BC=9.6m．
答：河宽BC是9.6m．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形中相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
30．（1）见详解；（2）+1
【解析】
【分析】
（1）连接OB，先证明是等腰直角三角形，可得BO⊥AC，结合即可得到结论；
（2）连接OD，过点C作CM⊥BF于点M，先证明是等边三角形，四边形BMCO是正方形，在中，求出MF的值，进而即可求解．
【详解】
解：（1）连接OB，
∵AC是直径，，
∴∠ABC=90°，即是等腰直角三角形，
∵AO=CO，
∴BO⊥AC，
又∵，
∴BO⊥BF，
∴是的切线；
（2）连接OD，
∵，
∴OA=OC=OB=，
∵∠ADC=90°，，
∴∠DOC=∠AOD=60°，
∵OD=OC，
∴是等边三角形，
过点C作CM⊥BF于点M，则四边形BMCO是正方形，
∴BM=CM=OB=，
∵AC∥BF，
∴∠F=∠ACD=60°，
∴在中，MF=CM÷tan60°=÷=1，
∴BF=BM+MF=+1．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论，圆的切线的判定定理，锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页