直线与圆的位置关系
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课件37张PPT。复习(1) 点到直线距离公式：(2)圆的标准方程：
x2+ y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)(3)圆的一般方程： (x-a)2+(y-b)2=r2圆心坐标 ： ，半径：(- ,D2E2- )4.2.1 直线与圆的位置关系问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？港口 轮船不改变航线，那么它是否会受到台风影响？ 问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O 的圆的方程为轮船航线所在直线 l 的方程为问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．O思考:我们怎样判别直线与圆的关系?直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离位置关系判别方法2个交点1个交点没有交点相交 相切 相离 (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：直线与圆的位置关系的判定方法：直线l：Ax+By+C=0圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交例1、如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系。解法一：所以,直线l与圆相交，有两个公共点.方法赏析直线与圆的位置关系判断方法：一、几何方法。主要步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相
切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。二、代数方法。主要步骤：利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程直线与圆的位置关系判断方法：d＜r d＝r d＞r 自学引导练习：课本128页 3,4法二 圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离d＝ ，半径r＝ .
①当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交；
②当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切；
③当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离．解：将圆的方程写成标准形式，得如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为 例2 已知过点 的直线被圆
所截得的弦长为 ， 求直线的方程．即圆心到所求直线的距离为因为直线l 过点 ，所以可设所求直线l 的方程为即根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线 l 的距离因此即两边平方，并整理得到解得所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为或即直线方程化为一般式练习：课本132页 5练习：课本128页 2解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1
所以 ＝1，即|k＋4|＝ ，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1.
解得k＝ .所以切线方程为y＋3＝ (x－4)，
即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.练习：课本132页 2【变式3】 求圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于P(3，－2)的圆的方程．
解 因为圆心在直线y＝－4x上，
又在过切点P(3，－2)与切线l：x＋y－1＝0垂直的直线x－y－5＝0上，
解方程组 ，得圆心(1，－4)．
于是r2＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝8
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.练习：课本132页 6判断直线和圆的位置关系几何方法求圆心坐标及半径r（配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）代数方法 消去y（或x）活页规范训练3．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是( )．
A．2 B. C．1 D．4
解析 点P到原点O的距离为|PO|＝ ，
∵r＝3，
∴切线长为 ＝1.
故选C.
答案 C5．(2012·开封高一检测)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
解析 过原点且倾斜角为60°的直线方程为
圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线的距离为
d＝ ，
因此弦长为 .
答案 27．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )．
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
解析 圆心C(a,0)到直线x－y ＝2的距离
d＝ ，
由题意得d2＋( )2＝22，解得d＝ ，
所以 ＝ ，解得a＝0或a＝4.
答案 D8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )．
A．± B．±
C．±1 D．不存在
解析 由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离为 ，
由点到直线的距离公式得 ，解得k＝± .
答案 A9．直线x＋y＋2＝0与圆x2＋(y＋1)2＝a2有公共点，则a的取值范围是________．
解析 圆心(0，－1)到直线x＋y＋2＝0的距离为
，
由题意知a≥ .
答案
x2+ y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)(3)圆的一般方程： (x-a)2+(y-b)2=r2圆心坐标 ： ，半径：(- ,D2E2- )4.2.1 直线与圆的位置关系问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？港口 轮船不改变航线，那么它是否会受到台风影响？ 问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O 的圆的方程为轮船航线所在直线 l 的方程为问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．O思考:我们怎样判别直线与圆的关系?直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离位置关系判别方法2个交点1个交点没有交点相交 相切 相离 (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：直线与圆的位置关系的判定方法：直线l：Ax+By+C=0圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交例1、如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系。解法一：所以,直线l与圆相交，有两个公共点.方法赏析直线与圆的位置关系判断方法：一、几何方法。主要步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d
切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。二、代数方法。主要步骤：利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程直线与圆的位置关系判断方法：d＜r d＝r d＞r 自学引导练习：课本128页 3,4法二 圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离d＝ ，半径r＝ .
①当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交；
②当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切；
③当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离．解：将圆的方程写成标准形式，得如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为 例2 已知过点 的直线被圆
所截得的弦长为 ， 求直线的方程．即圆心到所求直线的距离为因为直线l 过点 ，所以可设所求直线l 的方程为即根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线 l 的距离因此即两边平方，并整理得到解得所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为或即直线方程化为一般式练习：课本132页 5练习：课本128页 2解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1
所以 ＝1，即|k＋4|＝ ，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1.
解得k＝ .所以切线方程为y＋3＝ (x－4)，
即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.练习：课本132页 2【变式3】 求圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于P(3，－2)的圆的方程．
解 因为圆心在直线y＝－4x上，
又在过切点P(3，－2)与切线l：x＋y－1＝0垂直的直线x－y－5＝0上，
解方程组 ，得圆心(1，－4)．
于是r2＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝8
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.练习：课本132页 6判断直线和圆的位置关系几何方法求圆心坐标及半径r（配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）代数方法 消去y（或x）活页规范训练3．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是( )．
A．2 B. C．1 D．4
解析 点P到原点O的距离为|PO|＝ ，
∵r＝3，
∴切线长为 ＝1.
故选C.
答案 C5．(2012·开封高一检测)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
解析 过原点且倾斜角为60°的直线方程为
圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线的距离为
d＝ ，
因此弦长为 .
答案 27．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )．
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
解析 圆心C(a,0)到直线x－y ＝2的距离
d＝ ，
由题意得d2＋( )2＝22，解得d＝ ，
所以 ＝ ，解得a＝0或a＝4.
答案 D8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )．
A．± B．±
C．±1 D．不存在
解析 由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离为 ，
由点到直线的距离公式得 ，解得k＝± .
答案 A9．直线x＋y＋2＝0与圆x2＋(y＋1)2＝a2有公共点，则a的取值范围是________．
解析 圆心(0，－1)到直线x＋y＋2＝0的距离为
，
由题意知a≥ .
答案