(共24张PPT)
阶段综合训练【范围：4.5～4.6】
第4章 相交线与平行线
B
B
B
61°
垂线段
最短
D
D
D
A
A
5
5
6 cm
见习题
见习题
见习题
见习题
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1．【2021·武汉新洲区期中】 如图，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，AE，BD，CF交于点O，则图中表示点A到直线OC距离的是( )
A．线段AO的长
B．线段AE的长
C．线段AC的长
D．线段AF的长
D
2．【中考·岳阳】如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是( )
A．154° B．144° C．134° D．124°
D
3．如图，AO⊥BO于点O，CO⊥DO，若∠AOD＝152°40′，则∠BOC等于( )
A．62°40′ B．31°20′
C．28°20′ D．27°20′
【点拨】因为AO⊥BO,CO⊥DO,所以∠AOB＝∠COD＝90°,
所以∠BOC＝∠AOB＋∠COD－∠AOD＝180°－152°40′＝27°20′.
D
4．如图，因为直线AB⊥l于点B，BC⊥l于点B，所以直线AB和BC重合，其中蕴含的数学原理是( )
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．过一点只能作一条垂线
D．两点确定一条直线
A
A
5．如图，点P在直线l外，点A，B在直线l上，PA＝4，PB＝6，点P到直线l的距离可能是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若a∥b，a⊥c，则b⊥c
D．若a⊥b，a⊥c，则b∥c
B
7．如图，AD，CE是三角形ABC的高，过点A作AF∥BC,则下列线段的长度可表示图中两条平行线之间的距离的是( )
A．AB B．AD
C．CE D．AC
B
8．如图，已知a∥b，三角形ABC的面积是6 cm2，BC＝EF，则三角形DEF的面积为( )
A．3 cm2
B．6 cm2
C．8 cm2
D．12 cm2
B
9．如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD＝5∠DOB＋6°，则∠COD的度数为_____．
61°
【点拨】设∠BOD＝x°，则∠AOD＝5x°＋6°.
因为∠BOD＋∠AOD＝180°，
所以x＋5x＋6＝180.所以x＝29. 所以∠BOD＝29°.
因为CO⊥AB，所以∠BOC＝90°.所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°－29°＝61°.
10.【中考·吉林】如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是____________________．
垂线段最短
11．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，其长度能表示点到直线的距离的线段有________条．
【点拨】点C到AB的距离是线段CD的长，点B到CD的距离是线段BD的长，点A到CD的距离是线段AD的长，点A到CB的距离是线段CA的长，点B到AC的距离是线段BC的长．
5
12．如图，AD∥BC，AC，BD交于点E，三角形ABE的面积等于2，三角形CBE的面积等于3，那么三角形DBC的面积等于________．
5
13．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝4 cm，S三角形ABC＝12 cm2，则三角形ABD的AB边上的高为________．
6 cm
14．拿一张长方形的白纸，按如图所示的方式将∠A，∠E折叠，使A′B与BE′重合，则BC与BF有什么位置关系？说明理由．
解：BC与BF互相垂直．理由如下：
根据题意可得∠ABC＝∠A′BC，∠FBE＝∠FBE′.
因为∠ABC＋∠A′BC＋∠FBE′＋∠FBE＝180°，
所以∠A′BC＋∠FBE′＝90°，
所以∠CBF＝90°，所以BC⊥BF.
15．如图，已知正方形ABCD的边长为4 cm，求三角形EBC的面积．
16．【2021·株洲茶陵期末】如图，已知AB，CD被直线EF所截并分别交于点G，H，AB∥CD，GO⊥CD于点O，∠EGB＝45°.
(1)试说明：∠GHO＝45°；
解：因为AB∥CD，
所以∠GHO＝∠EGB＝45°.
(2)若HO＝5 cm，求直线AB与直线CD之间的距离．
解：易知GO的长是AB与CD之间的距离．由(1)知∠GHO＝45°，
因为GO⊥CD于点O，所以∠GOH＝90°，
所以∠OGH＝45°，所以易得GO＝HO.
又因为HO＝5 cm，所以GO＝5 cm，
所以直线AB与直线CD之间的距离为5cm.
17．如图①，BC⊥AF于点C，∠A＋∠1＝90°.
(1)试说明：AB∥DE.
解：因为BC⊥AF于点C，
所以∠A＋∠B＝90°.
又因为∠A＋∠1＝90°，
所以∠B＝∠1，所以AB∥DE.
(2)如图②，在上述条件下，点P从点A出发，沿线段AF运动，运动到点F时停止，连接PB，PE，则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系(不考虑点P与点A，D，C重合的情况)？并说明理由．
解：∠BPE＝∠ABP＋∠DEP或∠BPE＝∠ABP－∠DEP或∠BPE＝∠DEP－∠ABP，
理由如下：分三种情况讨论：
如图①，当点P在A，D之间时，
过P作PG∥AB，则∠ABP＝∠GPB，
因为AB∥DE，所以PG∥DE，所以∠DEP＝∠GPE，
所以∠BPE＝∠BPG＋∠EPG＝∠ABP＋∠DEP.
如图②，当点P在C，D之间时，过P作PN∥AB，则∠ABP＝∠NPB，
因为AB∥DE，所以PN∥DE，
所以∠DEP＝∠NPE，
所以∠BPE＝∠BPN－∠EPN＝∠ABP－∠DEP.
如图③，当点P在C，F之间时，过P作PM∥AB，则∠ABP＝∠MPB，
因为AB∥DE，所以PM∥DE，
所以∠DEP＝∠MPE，
所以∠BPE＝∠EPM－∠BPM
＝∠DEP－∠ABP.(共28张PPT)
专题技能训练(四)
训练 相交线与平行线易错专练
第4章 相交线与平行线
48°,132°
或20°,20°
D
D
D
①④
②③④
C
D
B
D
C
D
D
③④
6 cm或
2 cm
10 cm或6 cm
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1．下列关于平行线的叙述正确的是( )
A．没有公共点的两条直线是平行线
B．在同一平面内，没有公共点的两条线段平行
C．平行的两条直线没有公共点
D．如果两条直线不相交，那么这两条直线平
C
2．下列说法正确的是( )
A．若线段a，b不相交，则a∥b
B．若直线a，b不相交，则a∥b
C．在同一平面内，若线段a，b不相交，则a∥b
D．在同一平面内，若直线a，b不相交，则a∥b
D
3．下列说法中错误的是( )
A．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则内错角相等
B．如果a⊥b，b⊥c，则a∥c
C．对顶角相等的依据是同角的补角相等
D．如果a∥b，b∥c，则a∥c
【点拨】在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误．
B
4．点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其依据是( )
A．两点确定一条直线
B．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
√
C
5．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )
6．若∠α与∠β是直线m，n被直线l所截构成的内错角，且∠α＝50°，则∠β的度数为( )
A．50° B．130°
C．50°或130° D．无法确定
【点拨】内错角只是一种位置关系，而不是大小关系．只有两直线平行时，内错角才相等．
D
7．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是( )
A．因为∠1＝∠3，所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
B．因为AB∥CD，
所以∠1＝∠3
(两直线平行，内错角相等)
C．因为AD∥BC，所以∠BAD＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)
D．因为∠DAM＝∠CBM，所以AB∥CD(两直线平行，同位角相等)
【点拨】因为∠DAM＝∠CBM，所以AD∥BC(同位角相等，两直线平行)，故D错误．
【答案】D
8. 如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β一定满足的等式是( )
A．∠α＋∠β＝180°
B．∠α＋∠β＝90°
C．∠α＝3∠β
D．∠α－∠β＝90°
【点拨】如图，过C作CF∥AB，因为AB∥DE，所以AB∥DE∥CF，所以∠1＝∠β，∠α＝180°－∠2，所以∠α－∠β＝180°－∠2－∠1＝180°－∠BCD＝90°.
【答案】D
9．如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是________(填序号)．
【答案】①④
【点拨】因为∠B＝∠AGH，所以GH∥BC，即①正确；所以∠1＝∠MGH.又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠MGH，所以DE∥GF.因为GF⊥AB，所以DE⊥AB，即④正确；∠D＝∠F，HE平分∠AHG，都不一定成立．
10．学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张透明的纸(四个角是直角)得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是__________(把下列所有正确结论的序号都填在横线上)．
①两直线平行，同位角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③内错角相等，两直线平行；
④同旁内角互补，两直线平行．
【点拨】第一次折叠，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直；将纸片展开，再进行第二次折叠，得到的折痕CD与第一次的折痕AB之间的位置关系是垂直．如图，因为AB⊥m，CD⊥AB，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°.
【答案】②③④
因为∠3＝∠1.所以m∥CD(同位角相等，两直线平行)．因为∠4＝∠2所以m∥CD(内错角相等，两直线平行)．因为∠2＋∠3＝180°，所以m∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
11．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将AC边所在的直线m通过平移，使之经过点B，得到直线n，下列说法错误的是( )
A．直线m∥n
B．直线m沿CB方向平移4个单位长度得到直线n
C．直线m沿AB方向平移5个单位长度得到直线n
D．直线n沿水平方向向左平移4个单位长度得到直线m
【答案】D
12．A，B，C是直线l上的三点，P是l外的一点，连接PA，PB，PC，量得PC＝1 cm，PB＝3 cm，PA＝2 cm，那么P点到直线l的距离( )
A．是2 cm B．不小于3 cm
C．是1 cm D．不大于1 cm
【点拨】因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以P点到直线l的距离不大于PC的长度，即P点到直线l的距离不大于1 cm.
D
13．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，有下列结论：
①点C到AB的垂线段是线段AB；
②点A到BC的距离是线段AD；
③线段AB的长度是点B到AC的距离；
④∠BAD＝∠C.
其中正确的有______________(填序号)．
【答案】③④
【点拨】①点C到AB的垂线段是线段AC，不是线段AB，故错误；②点A到BC的距离是线段AD的长度，不是线段AD，故错误；③正确；④∠BAD，∠C都与∠DAC互余，故∠BAD＝∠C，正确．
14．如果两个角的两条边所在的直线分别垂直，而其中一个角的度数比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为____________________．
【点拨】如图①，∠α＋∠β＝180°，∠β＝4∠α－60°，解得∠α＝48°，∠β＝132°.
如图②，∠α＝∠β，∠β＝
4∠α－60°，解得∠α＝∠β＝20°.
综上所述，这两个角的度数分别为48°，
132°或20°，20°.
【答案】48°，132°或20°，20°
15．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4 cm，到直线b的距离是2 cm，那么直线a和直线b之间的距离为____________________．
【点拨】分为两种情况：当M在直线a，b之间时，直线a和直线b之间的距离是4＋2＝6(cm)；当M不在直线a，b之间时，直线a和直线b之间的距离是4－2＝2(cm)．
6 cm或2 cm
16．已知AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8 cm，CD与EF的距离是2 cm，则AB与EF的距离是________________．
【点拨】如图所示，因为AB与CD的距离是8 cm，CD与EF的距离是2 cm，所以AB与EF的距离是8＋2＝10(cm)或8－2＝6(cm)．
10 cm或6 cm(共28张PPT)
4.2 平 移
第4章 相交线与平行线
C
见习题
见习题
见习题
见习题
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6
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B
C
C
10
D
1
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3
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D
B
A
A
5
A
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14
15
见习题
1
2
方向；距离
形状和大小；相等
新知笔记
答案显示
1．平移的定义：把图形上所有的点都按同一________移动相同的________，图形的这种变换叫做平移．
2．平移的性质：
①平移不改变图形的___________ ，平移不改变直线的方向．
②一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且________．
方向
距离
形状和大小
相等
1．下列运动属于平移的是( )
A．荡秋千
B．地球绕着太阳转
C．风筝在空中随风飘动
D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
D
2．2022年，中国举办第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的是( )
B
3．如图，若三角形DEF是由三角形ABC经过平移后得到的，则平移的距离是( )
A．线段BC的长度
B．线段EF的长度
C．线段EC的长度
D．线段BE的长度
A
4. 【2021·定西期末】如图，把∠AOB沿着直线MN平移一定的距离，得到∠CPD，若∠AOM＝40°，∠DPN＝40°，则∠AOB的度数为( )
A．100° B．110°
C．120° D．130°
A
5. 【教材改编题】如图，三角形ABC平移得到三角形EFG，则图中共有平行线( )
A．6对
B．5对
C．4对
D．3对
【答案】A
【点拨】因为三角形ABC平移得到三角形EFG，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点G，所以AB∥EF，BC∥FG，AC∥EG，AE∥CG，AE∥BF，BF∥CG，共6对．
6．如图，将三角形ABC向右平移5 cm得到三角形DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝4 cm，则BC的长度是( )
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
【点拨】因为三角形DEF是由三角形ABC向右平移5 cm得到的，所以BE＝5 cm, 所以BC＝EC＋BE＝4＋5＝9(cm)．
B
7．【教材改编题】如图是利用直尺和三角尺通过平移的方法作平行线：将三角尺沿直尺按箭头方向平移，使斜边过直线l外一点P，沿斜边作直线，得到l的平行线，这样做的依据是( )
【答案】C
A．平移不改变三角尺的形状和大小
B．平移不改变线段的长度
C．平移不改变直线的方向
D．图形经过平移后，两组对应点的连线平行或在同一直线上
8．下列平移作图错误的是( )
C
9．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上．
(1)将三角形ABC向左平移2格，请在图
中画出平移得到的三角形A′B′C′；
(2)将三角形ABC向上平移4格，请在图中
画出平移得到的三角形A″B″C″；
(3)三角形A″B″C″的面积S＝________.
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)8
D
10．在下面四个图形中，不能通过平移其中一个四边形得到的是( )
11. 【中考·济宁】如图，将三角形ABE向右平移2 cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是16 cm，那么四边形ABFD的周长是( )
A．16 cm
B．18 cm
C．20 cm
D．21 cm
【答案】C
【点拨】根据平移的性质得EF＝AD＝2 cm，AE＝DF.由已知得AB＋BE＋AE＝16 cm，则四边形ABFD的周长为AB＋BE＋EF＋DF＋AD＝AB＋BE＋AE＋EF＋AD＝20 cm.
12．如图，三角形ABC平移后得到三角形DEF.已知∠A＝80°，∠E＝60°，求∠C的度数．
解：因为三角形ABC平移后得到
三角形DEF，
所以∠ABC＝∠E＝60°.
在三角形ABC中，∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－80°－60°＝40°.
13．如图，在网格中将阴影小正方形平移到小正方形A的位置．
(1)写出三种平移方法(图中每个小正方形的边长都是1 cm)；
解： (答案不唯一)
方法一：将阴影小正方形先向右平移2 cm，再向下平移2 cm；
方法二：将阴影小正方形向右下方45°方向平移小正方形对角线长的2倍；
方法三：将阴影小正方形先向右平移1 cm，再向下平移2 cm，最后向右平移1 cm.
(2)画出(1)中阴影小正方形平移时经过的区域(涂上阴影),你能求出平移过程中阴影小正方形所经过区域的面积吗？
解：如图所示．
因为每个小正方形的边长都为1 cm，
所以每个小正方形的面积都是1 cm2.
图①中平移时经过的区域的面积是4×1＝4(cm2)；
图②中平移时经过的区域的面积是
图③中平移时经过的区域的面积是4×1＝4(cm2)．
14. 如图，在长为50 m，宽为30 m的长方形地块上,有纵横交错的几条小路，宽均为1 m，其他部分均种植花草. 求种植花草的面积．
解：根据平移的性质，得种植花草的面积相当于长为(50－1)m，宽为(30－1)m的长方形地块的面积，
则种植花草的面积为(50－1)×(30－1)＝1 421(m2)．
答：种植花草的面积为1 421 m2.
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次平移将长方形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位，得到长方形AnBnCnDn(n＞2)．
(1)求AB1和AB2的长；
解：因为AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，
第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，
所以AA1＝5，A1A2＝5，A1B1＝6，A2B2＝6，
所以AB1＝AA1＋A1B1＝5＋6＝11，
AB2＝AA1＋A1A2＋A2B2＝5＋5＋6＝16.
(2)若ABn的长为56，求n.
解：由AB1＝5＋6＝11，AB2＝2×5＋6＝16，
易得ABn＝5n＋6＝56，
解得n＝10.(共27张PPT)
第4章 相交线与平行线
4.5 垂 线
第1课时 垂 线
B
见习题
见习题
见习题
C
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6
7
8
9
C
A
C
10
B
1
2
3
4
C
B
A
D
5
C
11
12
13
14
15
见习题
1
2
直角；垂足
平行
新知笔记
答案显示
3
垂直
1．两条直线相交所成的四个角中，有一个角_______是时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做________.垂直用符号“⊥”表示,AB与CD互相垂直,记做AB⊥CD，读做AB垂直于CD.
2．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线______．
3．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线________于另一条．
直角
垂足
平行
垂直
1．两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一,其中不能判定这两条直线互相垂直的条件是( )
A．任何一对相邻的两角相等
B．有三个角相等
C．两对对顶角分别相等
D．有一对对顶角互补
C
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．140°
B
【点拨】因为OE⊥CD，所以∠EOD＝90°，因为∠BOE＝40°，所以∠BOD＝90°－40°＝50°，所以∠AOC＝∠BOD＝50°.
A
3．【2021·北京】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝120°，则∠BOD的度数为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
4．【2021·东营】如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
【答案】D
【点拨】如图，过点E作EH∥CD，
则∠DFE＋∠HEF＝180°.因为EF⊥CD，
所以∠DFE＝90°，所以∠HEF＝90°.
因为∠BEF＝150°，所以∠BEH＝60°.
因为EH∥CD，AB∥CD，所以AB∥EH，
所以∠ABE＝∠BEH＝60°.
5．【中考·十堰】如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝( )
A．50°
B．45°
C．40°
D．30°
C
C
6．下列选项中，利用三角尺过点P画AB的垂线CD，方法正确的是( )
7．在同一平面内有四条直线a，b，c，d，已知a⊥b，b⊥c，c⊥d，则a与d的位置关系是( )
A．a⊥d B．a∥d
C．相交但不垂直 D．不能确定
A
【点拨】因为a⊥b，b⊥c，所以a∥c.又因为c⊥d，所以a⊥d.
8．老师把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到AC∥DE，关于它们平行的依据，小明与小华给出了自己的看法：
小明：内错角相等，两直线平行；
小华：同一平面内，垂直于同一
直线的两条直线平行．
你认为他们的看法中( )
A．小明正确，小华错误
B．小明错误，小华正确
C．小明与小华都正确
D．小明与小华都错误
【答案】C
9. 如图，直线AB，CD，EF交于O点，下列各条件：①∠AOD＝90°；②∠BOD＝∠AOC；
③∠BOC＝∠AOC；④∠AOE－∠BOE ＝90°；
⑤∠BOD＋∠AOC ＝180°；⑥∠AOE－∠DOF ＝90°.
其中能说明AB⊥CD的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
C
10．【教材改编题】如图，若OA⊥OD，OB⊥OC，∠COD＝n°，则∠AOB的度数为( )
【答案】B
【点拨】因为AO⊥DO，BO⊥CO，
所以∠AOD＝∠COB＝90°.
所以∠BOD＝90°－n°.
所以∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝90°＋90°－n°＝180°－n°.
11.【中考·孝感】如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为( )
A．10° B．20°
C．30° D．40°
B
12．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B.
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
所以EF∥AD (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)．
所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又因为∠2＋∠3＝180°(已知)，
所以∠1＝∠3 (同角的补角相等)．
所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．
所以∠GDC＝∠B (两直线平行，同位角相等)．
13．如图，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB.试说明：CD⊥AB.
解：因为∠B＝∠ADE，所以DE∥BC.
所以∠EDC＝∠BCD.
又因为∠EDC＝∠GFB，所以∠BCD＝∠GFB.所以GF∥CD.
又因为GF⊥AB，所以CD⊥AB.
14．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，OF⊥OE.
(1)若∠AOC＝110°，求∠DOE的度数；
解：因为∠AOC＝110°，OE 平分∠AOC，
所以∠AOE＝55°，
∠AOD＝180°－∠AOC＝70°，
所以∠DOE＝∠AOE＋∠AOD＝125°.
(2)试说明OF平分∠BOC.
解：因为OF⊥OE，所以∠EOF＝90°.
所以∠EOC＋∠COF＝90°，∠AOE＋∠BOF＝90°.
又因为∠AOE＝∠EOC，所以∠BOF＝∠COF，
即OF平分∠BOC.
15．平面内两条直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF.
(1)如图①，若∠AOE＝40°，
求∠BOD的度数．
解：因为∠AOE＝40°，
所以∠AOF＝180°－∠AOE＝140°.
因为OC平分∠AOF，
(2)在图①中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数(用含x的式子表示)，并写出∠AOE和∠BOD的数量关系．
(3)如图②，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？请说明理由．(共24张PPT)
第4章 相交线与平行线
4.5 垂 线
第2课时 垂线段与点到直线的距离
D
C
B
见习题
见习题
5
C
4.8
C
D
D
C
D
见习题
一条
(1)65°
(2)1.5
见习题
垂线段
长度
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1
新知笔记
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16
2
3
1．在同一平面内，过一点有且只有________直线与已知直线垂直．
2．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________最短．
3．从直线外一点到这条直线的垂线段的________，叫做点到直线的距离．
一条
垂线段
长度
1．【中考·厦门】已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( )
C
2.【中考·河北】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数是( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
D
3．如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短
D．垂线段最短
D
4.【2021·杭州】如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则( )
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ
C．PT≥PQ D．PT≤PQ
C
5．下列说法中正确的是( )
A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线最短
B．斜线段总是大于垂线段
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D
6．【易错题】如图，CD⊥AB于点D，∠ACB＝90°，则下列说法错误的是( )
A．点C到AB的距离等于CD的长
B．点A到BC的距离等于AC的长
C．点B到CD的距离等于BD的长
D．点D到AC的距离等于AD的长
D
【点拨】本题易因对点到直线的距离理解不透彻，找不准点到直线的垂线段，误选B或C.
7.【中考·毕节】如图，在三角形ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度
B．线段CM的长度
C．线段CD的长度
D．线段CB的长度
C
8．【教材改编题】如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，则点A到线段BC所在直线的距离为________．
4.8
9.【中考·广州】如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6 cm，PB＝5 cm，PC＝7 cm，则点P到直线l的距离是________cm.
5
10．如图，AB，CD交于点O，OE⊥CD于O，连接CE.
(1)若∠AOC＝25°，则∠BOE＝________；
65°
【点拨】因为OE⊥CD，
所以∠DOE＝90°.
因为∠AOC＝25°，
所以∠BOD＝25°，
所以∠BOE＝90°－25°＝65°.
(2)若OC＝2 cm，OE＝1.5 cm，CE＝2.5 cm，则点E到直线CD的距离是________cm.
1.5
【点拨】因为OE⊥CD，OE＝1.5 cm，所以点E到直线CD的距离是1.5 cm.
11．如图，已知AB⊥BD，BC⊥CD，AD＝a，CD＝b，则BD的长度的范围为( )
A．大于b B．小于a
C．大于b且小于a D．无法确定
【点拨】因为AB⊥BD，所以AD＞BD.因为AD＝a，所以BD＜a.因为BC⊥CD，所以BD＞CD.因为CD＝b，所以BD＞b，所以b＜BD＜a.
C
12. 如图，居民点C和D在河道AB异侧，为方便居民用水，需铺设水管引水到两居民点，两名设计员各提出一种铺设水管的方案．
方案甲：如图，过点C作CE⊥AB
于点E，过点D作DF⊥AB于点F，
沿CE，DF铺设管道；
方案乙：如图，连接CD交AB于点P，沿CD铺设管道．
下列说法正确的是( )
A．由于两点之间，线段最短，故方案乙比方案甲省钱
B．由于垂线段最短，故方案甲比方案乙省钱
C．由于取水河道相同，故方案甲与方案乙一样省钱
D．方案甲与方案乙都不是最省钱的方案
B
解：如图．
13．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P作OB的垂线，交OA于点C.
(1)过点P作OA的垂线，垂足为H；
(2)线段PH的长度是点P到直线_________的距离，________________是点C到直线OB的距离；
(3)线段PC，PH，OC这三条线段的大小关系是__________________(用“＜”连接)．
OA
线段CP的长度
PH＜PC＜OC
14．如图，CD⊥AD，BE⊥AC，AF⊥CF，CD＝2 cm，BE＝1.5 cm，AF＝4 cm，分别求点A到直线
BC，点B到直线AC，点C到直线AB的距离．
解：点A到直线BC的距离为垂线段AF的长度，
是4 cm；
点B到直线AC的距离为垂线段BE的长度，是1.5 cm；
点C到直线AB的距离为垂线段CD的长度，是2 cm.
解：线段a，b如图所示．
15．如图，点M，N分别在直线AB，CD上．
(1)请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b；
解：a＞b，理由：垂线段最短．
(2)请比较(1)中线段a，b的大小，并说明理由.
16．如图，A，B，C是平面内三点．
(1)按要求作图：
①作射线BC，过点B作直线l，使A，C两点在直线l两旁；
②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP，PQ.
解：①如图①，射线BC、直线l即为所作．
②如图①，线段AP，PQ即为所作．(图形不唯一)
(2)在(1)所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A，B之间的距离为8，点A，C之间的距离为6，求AP＋PQ的最小值．
解：如图②，过A作AQ⊥BC交直线l于P，根据垂线段最短，可知此时AP＋PQ的值最小．
因为点A到直线BC的距离为5，
所以AP＋PQ的最小值为5.(共25张PPT)
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答案显示
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D
见习题
见习题
C
10
C
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A
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B
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C
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见习题
见习题
15
见习题
1
2
3
一个公共点；平行
公共点；∥
一条
新知笔记
4
平行
1．如果两条直线有且只有______________，那么称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点．在同一平面内不重合的两条直线的位置关系有相交与________两种．
2．在同一平面内，没有__________的两条直线叫做平行线．平行用符号________表示．
一个公共点
平行
公共点
∥
3．平行线的基本事实：过直线外一点有且只有________直线与这条直线平行．
4．平行于同一条直线的两条直线________．
一条
平行
1．下列生活实例：①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤平直的火车铁轨．其中不属于平行线的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
2．下列表示方法正确的是( )
A．a∥A B．AB∥cd
C．A∥B D．a∥b
D
3．【易错题】观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱的条数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
B
【点拨】与AB平行的棱有EF、GH、CD.本题易因只数题图中给出的平面内的棱，误以为与AB平行的棱为EF和CD，而忽略HG，误选C.
4．如图，下列表述：①直线a与直线b，c分别相交于点A和B；②点C在直线a外；③直线b，c相交于点C；④三条直线a，b，c两两相交，交点分别是A，B，C.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【点拨】由题图，得①直线a与直线b，c分别相交于点A和B；②点C在直线a外；③直线b，c相交于点C；④三条直线a，b，c两两相交，交点分别是A，B，C.
5．下列说法正确的是( )
A．若线段a，b不相交，则a∥b
B．若直线a，b不相交，则a∥b
C．在同一平面内，若线段a，b不相交，则a∥b
D．在同一平面内，若直线a，b不相交，则a∥b
D
6．过一点且与已知直线平行的直线，( )
A．有且只有一条
B．有两条
C．不存在
D．不存在或有且只有一条
D
7．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是______________________________________________.
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
8．如图，过点P画一条直线使它与直线l平行．
画法：(1)一落：把三角尺的一边落在________上；
(2)二________：紧靠三角尺的另一边放一直尺AB；
直线l
靠
(3)三________：沿直尺AB移动三角尺，使原来与直线l重合的一边经过点P；
(4)四________：沿三角尺的这条边画直线l′.
移
画
9．下列推理正确的是( )
A．因为a∥b，c∥d，所以b∥d
B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c
D．因为a∥b，c∥d，所以a∥c
C
10. (荣德原创)如图，沿装订线AB翻开课本时，无论怎么翻页，页边CD，GH，EF总是平行的，下列说法正确的是( )
A．两点确定一条直线
B．过直线外一点有且只有一
条直线平行于已知直线
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．两条直线相交，只有一个交点
C
C
11．如图，将一张长方形纸对折三次，产生的折痕与折痕间的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．无法确定
B
12．下列说法错误的是( )
A．直线a，b，c在同一平面内，若直线a∥b，直线c与a相交，则b与c也相交
B．直线a与b相交，直线c与a相交，则b∥c
C．直线a∥b，b∥c，则a∥c
D．直线AB与CD平行，则AB上所有点都在CD的同侧
13．如图，用三角尺和直尺分别按下列要求画图：
(1)过点A画BC的平行线a；
(2)过点B画AC的平行线b；
(3)过点C画AB的平行线c.
解：(1)如图，直线a即为所求．
(2)如图，直线b即为所求．
(3)如图，直线c即为所求．
14．完成推理并在括号内填上理由：
(1)如图①，因为AB∥CD，EF∥CD，所以AB______ EF(________________________________________
___________________________________________)；
∥
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
(2)如图②，过点F可画EF∥AB
(_____________________________________________),
又因为AB∥CD，所以EF______CD
(_________________________________________________________________________)．
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
∥
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
15．(1)在同一平面内，2条直线相交有几个交点？3条直线相交有几个交点(3条直线不共点)？4条直线相交有几个交点(每3条直线不共点)？5条直线相交有几个交点(每3条直线不共点)
解：在同一平面内，2条直线相交有1个交点，
3条直线相交，且3条直线不共点，有1＋2＝3(个)交点，
4条直线相交，且每3条直线不共点，有1＋2＋3＝6(个)交点，
5条直线相交，且每3条直线不共点，有1＋2＋3＋4＝10(个)交点．
(2)请根据如图所示的图形探索n条直线相交的交点个数(每3条直线不共点)．
(3)在同一平面内，有10条直线，无任何3条交于一点(3条以上交于一点也无)，也无重合，它们会出现31个交点吗？如果会，给出一种画法；如果不会，请说明理由．
解：会出现31个交点，如下图所示．(画法不唯一)(共28张PPT)
4.1 平面上两条直线的位置关系
第2课时 相交直线所成的角
第4章 相交线与平行线
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答案显示
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B
B
D
D
10
A
1
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4
A
D
对顶角相等
A
5
C
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12
13
14
B
60°
见习题
见习题
15
见习题
1
2
3
反向延长线；相等
同位；内错；同旁内
相等；互补
新知笔记
1．若两个角有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的______________，这样的两个角叫做对顶角．对顶角的性质：对顶角______．
2．两条直线被第三条直线所截形成的角中：都在两条被截直线的同一方，且在截线的同侧的一对角叫________角；
反向延长线
相等
同位
都在两条被截直线之间，且分别在截线的两侧的一对角叫________角；都在两条被截直线之间，且在截线的同一旁的一对角叫________角．
3．两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么内错角________，同旁内角________．
内错
同旁内
相等
互补
1．【中考·贺州】如图，下列各组角中，是对顶角的是( )
A．∠1和∠2
B．∠1和∠3
C．∠2和∠4
D．∠2和∠5
A
2．【中考·邵阳】如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为( )
A．20° B．60°
C．70° D．160°
D
【点拨】因为∠AOD＝160°，所以∠BOC＝∠AOD＝160°(对顶角相等)．
3．【教材改编题】为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，工人师傅设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是________________.
对顶角相等
4.【中考·河池】如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
A
5．如图，已知∠1与∠2是内错角，则∠1与∠2是( )
A．由直线AD，BC被AC所截而得到的
B．由直线AB，CD被BC所截而得到的
C．由直线AB，CD被AC所截而得到的
D．由直线AD，BC被CD所截而得到的
C
6．【2021·贺州】如图，下列两个角是同旁内角的是( )
A．∠1与∠2
B．∠1与∠3
C．∠1与∠4
D．∠2与∠4
B
7．【创新题】同学们可用双手表示“三线八角”图形(两个大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下面三幅图依次表示( )
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
B
8．在如图所示的三线八角中有∠1＝∠5，则下列结论错误的是( )
A．∠4＝∠6
B．∠2＝∠6
C．∠3＋∠6＝180°
D．∠3＋∠5＝180°
D
9．【教材改编题】如图，直线a，b被直线c所截，若∠1＝∠2＝60°，则下列结论错误的是( )
A．∠4＝∠5＝60°
B．∠6＝∠7＝120°
C．∠3＋∠2＝180°
D．∠2＋∠4＝180°
D
10.【中考·东营】如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于( )
A．159° B．161°
C．169° D．138°
【点拨】因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC＝∠BOD＝42°，
所以∠AOD＝180°－42°＝138°，
因为射线OM平分∠BOD，
所以∠BOM＝∠DOM＝21°，
所以∠AOM＝138°＋21°＝159°.
【答案】A
11. 如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A．∠4，∠2
B．∠2，∠6
C．∠5，∠4
D．∠2，∠4
B
12.【2021·益阳】如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝________．
【点拨】因为OE是∠AOC的平分线，OC平分∠EOB ，
所以∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，
所以∠AOE＝∠COE＝∠BOC.
因为∠AOE＋∠COE＋∠BOC＝180°，
所以∠BOC＝60°，
所以∠AOD＝∠BOC＝60°.
【答案】60°
13．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)若∠COF＝120°，∠AOD＝100°，求∠AOF的度数；
解：因为∠COF＝120°，
所以∠COE＝180°－120°＝60°.
所以∠DOF＝∠COE＝60°.
又因为∠AOD＝100°，
所以∠AOF＝100°－60°＝40°.
(2)若∠BOC－∠BOD＝20°，求∠AOC的度数．
解：因为∠BOC＋∠BOD＝180°，
∠BOC－∠BOD＝20°，
所以∠BOC＝100°，∠BOD＝80°.
所以∠AOC＝∠BOD＝80°.
解：因为∠COM＝120°，所以∠DOF＝120°，
因为OG平分∠DOF，所以∠FOG＝60°.
(2)写出图中与∠BMF互为同位角、同旁内角的角；
解：与∠BMF互为同位角的角有：∠DOF，∠GOF；
与∠BMF互为同旁内角的角有：∠DOE，∠GOE.
【点拨】(2)题易只把AB与CD看作两条被截线，忽略AB与OG被EF所截的情形，出现漏解．
(3)求∠AMO的度数．
15．(1)如图，两条水平的直线被一条直线所截，同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对．
[第15(1)题]
4
2
2
(2)如图，三条水平的直线被一条直线所截，同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对．
[第15(2)题]
12
6
6
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平的直线被一条直线所截，同位角有____________对，内错角有__________对，同旁内角有____________对．(用含n的式子表示)
2n(n－1)
n(n－1)
n(n－1)
(4)如图，图①中有几对同旁内角？图②，图③，图④呢？观察图形，你能根据上述结论得出其中的规律吗？
[第15(4)题]
解：图①中有2对同旁内角；
图②中有8对同旁内角；
图③中有18对同旁内角；
图④中有32对同旁内角．
能，其中的规律：图○,n)中同旁内角的对数为2n2(n为正整数)．(共25张PPT)
全章整合与提升
第4章 相交线与平行线
见习题
B
①③④
见习题
见习题
D
B
C
C
B
见习题
见习题
见习题
D
B
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1．在同一平面内，三条直线的交点个数不可能是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
2．【中考·乐山】如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF.则∠GEB＝( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
B
3．如图，下列结论中错误的是( )
A．∠1与∠2是同旁内角
B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角
D．∠3与∠5是同位角
C
4．下列说法中，正确的是( )
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．若直线a∥b，a∥c，则b∥c
D．若两条线段不相交，则它们互相平行
C
5．如图，当剪刀口∠AOB增大30°时，∠COD( )
A．减小30°
B．增大30°
C．不变
D．增大60°
B
6.【中考·广元】如图，a∥b，点M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1＋∠2＋∠3＝( )
A．180° B．360° C．270° D．540°
B
【点拨】如图，过点P作PA∥a，因为a∥b，所以a∥b∥PA，所以∠1＋∠MPA＝180°，∠3＋∠APN＝180°，所以∠1＋∠MPA＋∠3＋∠APN＝180°＋180°＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.
7．如图，对于下列条件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.其中一定能判定AB∥CD的条件有____________(填写正确的序号)．
①③④
8．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是________________________
__________________________________．
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
9．直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是如图中的图______(填甲或乙)，你选择的依据是___________
_______________________________________________
(写出你学过的一条基本事实)．
乙
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10.【2021·株洲醴陵校级期中】 如图，三角形ABC中，∠BAC＝90°，周长为12.将三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到三角形DEF，连接AD，则下列结论：①AC∥DF，AC＝DF；②DE⊥AC；③四边形ABFD的周长是16；④S四边形ABEO＝S四边形CFDO.其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
11．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论：①线段CD的长是C点到AB的距离；②线段AC是A点到BC的距离；③CD＜AC＜AB；④线段BC是B点到AC的距离；⑤AD＜AC＜AB.其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B
12．如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C.
(1)若∠2＝30°，求∠1与∠ABC的度数；
解：因为直线a∥b， 所以∠ABC＝∠2＝30°，
因为AC⊥AB，所以∠BAC＝90°，
所以∠1＋∠ABC＝90°，
所以∠1＝90°－∠ABC＝60°.
(2)若AC＝8，AB＝15，BC＝17，求a与b的距离．
13．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD.连接DE，∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°.
(1)试说明：∠ABC＝∠ADC；
解：因为AB∥CD，所以∠ABC＝∠DCE，
因为AD∥BC，所以∠ADC＝∠DCE，
所以∠ABC＝∠ADC.
(2)求∠CDE的度数．
因为AD∥BC，
所以∠BEA＝∠EAD＝90°－x°，∠BED＋∠ADE＝180°，
所以90°－x°＋60°＋3x°＝180°，
解得x＝15，所以∠CDE＝15°.
14．如图，∠B和∠D的两边分别平行．
(1)在图①中，∠B和∠D的数量关系是____________，在图②中，∠B和∠D的数量关系是________________；
(2)用一句话归纳上述结论：____________________，请选择图①或图②中一种
情况说明理由；
∠B＝∠D
∠B＋∠D＝180°
解：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
选择∠B＝∠D，理由：如图，
因为AB∥CD，所以∠B＝∠1，
因为BE∥DF, 所以∠1＝∠D，
所以∠B＝∠D.(答案不唯一，也可选择∠B＋∠D＝180°.)
(3)应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．
解：如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．
因为其中一个角是另一个角的2倍，
所以较小的角的度数是180°÷(1＋2)＝180°÷3＝60°，
所以较大的角的度数是60°×2＝120°，
所以这两个角的度数分别是60°，120°.
15．已知直线AC∥BD，直线EF分别交直线AC，BD于点C，B，点P在直线EF上(不与点B，C重合)，且∠DBE＝60°.
(1)如图①，当点P在线段BC上，
且∠PAC＝15°时，
求∠APB的度数；
解：如图①，过P作PQ∥BD，
又因为AC∥BD，所以AC∥PQ,
所以∠APQ＝∠PAC＝15°，
∠BPQ＝180°－∠GBP＝180°－∠DBE＝180°－60°＝120°，
所以∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝15°＋120°＝135°.
(2)如图②，当点P在直线EF上运动时，连接AP，分别作∠APF，∠APE的平分线PM，PN，直线PM，PN分别交直线AC，BD于点M，N，判断∠MPN与∠CMP和∠BNP的关系并说明理由.
解：∠MPN＝∠CMP＋∠BNP. 理由如下：
如图②，过P作PK∥BD，所以∠NPK＝∠BNP.
因为AC∥BD，PK∥BD，
所以PK∥AC.
所以∠MPK＝∠CMP.
又因为∠MPK＋∠NPK＝∠MPN，
所以∠MPN＝∠CMP＋∠BNP.(共24张PPT)
阶段综合训练【范围：4.1～4.4】
第4章 相交线与平行线
C
A
C
155
40
A
D
B
B
D
10°
③④⑤
内错角相等，两直线平行
见习题
见习题
见习题
见习题
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6
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1
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3
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5
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14
15
16
17
1．已知∠1与∠2是对顶角，∠2与∠3互余，若∠3＝45°，则∠1的度数是( )
A．45° B．90°
C．135° D．45°或135°
【点拨】由题意可知∠1＝∠2，因为∠2＋∠3＝90°，∠3＝45°，所以∠2＝45°，所以∠1＝45°.
A
2．【中考·怀化】如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为( )
A．140°
B．50°
C．60°
D．40°
D
3．【教材改编题】如图，表示直线a平移得到直线b的两种画法，下列关于三角尺平移的方向和移动的距离说法正确的是( )
A．方向相同，距离相同
B．方向不同，距离不同
C．方向相同，距离不同
D．方向不同，距离相同
B
4．【2021·合肥庐阳区校级期末】如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，若CG＝3，EF＝8，则图中阴影部分的面积为( )
A．24
B．26
C．27
D．28
B
5．如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3的度数为( )
A．78° B．132° C．118° D．112°
【点拨】反向延长射线l，如图．因为直线a平移后得到直线b，所以a∥b，所以∠5＝180°－∠1＝180°－68°＝112°.因为∠2＋∠6＝180°，∠3＝∠4，∠4＋∠5＋∠6＝180°，所以∠2－∠3＝∠5＝112°.
D
6．【2021·日照岚山区期末】如图，某沿湖公路有两次拐弯，如果第一次的拐角∠A＝130°，第二次的拐角∠ABC＝160°，第三次的拐角为∠C，这时的道路恰好与第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是( )
A．130° B．140°
C．150° D．160°
【点拨】如图，过点B作BD∥AE，
由已知可得AE∥CF，所以AE∥BD∥CF，
所以∠ABD＝∠A＝130°，
∠DBC＋∠C＝180°，
所以∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝160°－130°＝30°，
所以∠C＝180°－∠DBC＝180°－30°＝150°.
故选C.
【答案】C
7．【中考·南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是( )
A．36° B．34° C．32° D．30°
【点拨】如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD.
因为EF∥AB，所以∠AEF＝∠A＝54°，
所以∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°.因为EF∥CD，所以∠C＝∠CEF＝36°.
A
8．如图，不能判定EB∥AC的是( )
A．∠BAC＝∠ABE
B．∠C＝∠EBD
C．∠CAE＝∠EBC
D．∠C＋∠EBC＝180°
C
9．【教材改编题】如图是一把剪刀，若∠AOB＋∠COD＝50°，则∠AOC＝________°.
155
【点拨】因为∠AOB＝∠COD，∠AOB＋∠COD＝50°，
所以∠AOB＝25°，
所以∠AOC＝180°－∠AOB＝155°.
10．如图，将三角形ABC沿直线AB平移，使点A移动到点B，若∠CAB＝60°，∠ABC＝80°，则∠CBE的度数为________°.
40
11．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的角∠AOD＝100°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转________．
10°
【点拨】如图，因为OD′∥AC，所以∠AOD′＝180°－∠A＝110°，所以∠DOD′＝∠AOD′－∠AOD＝110°－100°＝10°.
12．如图，有以下条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；
③∠1＋∠3＋∠BGC＝180°；
④∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
⑤∠E＝∠F，∠1＝∠2.
其中能判断AB∥CD的条件有______________．
③④⑤
13. 如图，有一块四边形木板和一把直角尺(两边构成90°角)，把直角尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把直角尺的一边紧靠木板的边缘MN，沿MN移动直角尺使其另一边过点B画直线，如果所画直线与BA重合，那么这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是________________________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【点拨】因为∠ABM＝90°，∠BAQ＝90°，所以∠ABM＝∠BAQ，
所以MN∥PQ(内错角相等，两直线平行)．
14．【2021·泰州兴化期末】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，三角形ABC是格点三角形(三个顶点都在格点上)，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，点B恰好落在点B′处．
(1)请画出平移后的三角形A′B′C′.
解：平移后的三角形A′B′C′如图所示．
(2)三角形A′B′C′的面积等于________．
(3)在线段PQ上是否存在格点M，使得三角形MA′C′的面积是三角形MA′B′面积的2倍？若存在，请找出所有这样的格点M1，M2，…；若不存在，请说明理由．
7.5
解：如图，点M1，M2即为所求．
15．如图，AB与CD交于点O,∠1＝90°,∠AEF＝90°，∠2＝∠C，试说明AD∥BC.
解：因为∠1＝90°，∠AEF＝90°，
所以∠AEF＝∠1＝∠AOD，
所以EF∥DO，所以∠2＝∠D.
又因为∠2＝∠C，所以∠C＝∠D，
所以AD∥BC.
16. (荣德原创)已知点E，F分别在AD，BC上，G在AB的延长线上，如图，若∠D ＝180°－∠GBC, EF∥DC，AD∥BC.试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
解：AB与EF的位置关系是AB∥EF.理由：
因为AD∥BC，所以∠A＝∠GBC，
因为∠D＋∠GBC＝180°，所以∠A＋∠D＝180°，
所以DC∥AB，又因为EF∥DC，所以AB∥EF.
17．如图，AB∥DG，∠1＋∠2＝180°.
(1)试说明：AD∥EF；
解：因为AB∥DG，
所以∠BAD＝∠1.
又因为∠1＋∠2＝180°，
所以∠2＋∠BAD＝180°.
所以AD∥EF.
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
解：因为∠1＋∠2＝180°，∠2＝150°，
所以∠1＝30°.
因为DG是∠ADC的平分线，
所以∠GDC＝∠1＝30°.
因为AB∥DG，
所以∠B＝∠GDC＝30°.(共28张PPT)
4.6 两条平行线间的距离
第4章 相交线与平行线
见习题
见习题
见习题
见习题
C
B
B
A
7 cm或
17 cm
两条平行线的所有公垂线段都相等
B
见习题
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D
B
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1
2
垂直；垂足
相等
新知笔记
答案显示
3
长度
1．与两条平行直线都________的直线，叫做这两条平行直线的公垂线，这时连接两个________的线段叫做这两条平行直线的公垂线段．
2．两条平行线的所有公垂线段都________．
3．两条平行线的公垂线段的________叫做两条平行线间的距离．
垂直
垂足
相等
长度
1．两条平行线的公垂线段有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
D
2．如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，直线MN交AB于M，交CD于N，交EF于O，则直线AB和CD之间的公垂线段是( )
A．线段MN
B．线段EF
C．线段OE
D．线段OF
B
3．如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝6 cm，则BD＝________cm.
6
4. (荣德原创)甲、乙两名同学按照如图方式测量了数学课本不同位置的宽度，发现得到的宽度相等，理由：______________________________________．
两条平行线的所有公垂线段都相等
5．如图所示，直线a∥b，则a与b之间的距离是( )
A．线段AB的长度
B．线段CD的长度
C．线段EF的长度
D．线段GH的长度
【点拨】由直线a∥b，CD⊥b，得线段CD的长度是直线a，b之间的距离．
B
6．平行线之间的距离是指( )
A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
B
7．【教材改编题】如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB＝3，AC＝8，则平行线b，c之间的距离是( )
A．3
B．5
C．8
D．11
【点拨】因为直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，所以AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，又因为AB＝3，AC＝8，所以BC＝8－3＝5，即直线b与直线c之间的距离为5.
【答案】B
8．如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S三角形ABD＝10，则S三角形ACD＝( )
A．10 B．9
C．8 D．7
A
【点拨】因为AD∥BC，所以三角形ABD和三角形ACD的AD边上的高相等，即三角形ABD和三角形ACD同底等高，所以S三角形ACD＝S三角形ABD＝10.
9.【2021·合肥蜀山区期末】如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，若点P到直线l1的距离为2，到直线l2的距离为3，则符合条件的点P有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．无数个
【点拨】如图．
易知到直线l1的距离为2的点在与
直线l1平行且与l1的距离为2的两
条直线a1，a2上，到直线l2的距离为3的点在与直线l2平行且与l2的距离为3的两条直线a3，a4上，
所以符合条件的点是P1，P2，P3，P4，一共4个．故选C.
【答案】C
10．【中考·铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于____________．
【点拨】分两种情况：①当EF在AB，CD之间时，
因为AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，
所以EF与AB的距离为12－5＝7(cm)．
②当EF在AB，CD同侧时，
因为AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，
所以EF与AB的距离为12＋5＝17(cm)．
综上所述，EF与AB的距离为7 cm或17 cm.
【答案】7 cm或17 cm
11．如图，地面上一样高的电线杆AB，CD与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C间的距离，他借来梯子与长绳子，将绳子一端系在电线杆AB的顶端A处，拉直绳子到电线杆CD的顶端C处，然后量出拉直后的绳子的长度．你认为他这样方便吗？怎样测量比较方便？说明理由．
解：不方便．直接测量两根电线杆底端B，D间的距离比较方便，理由如下：因为电线杆AB，CD与地面垂直，所以AB∥CD，所以B，D间的距离等于A，C间的距离(两条平行线的所有公垂线段都相等)．
12. (易错题)甲、乙两名同学分别在两条自西向东的平行跑道(AB，CD)上练习短跑，如图，两条跑道的间隔为2 m，发令时，乙在甲前方10 m处，若甲的速度为8.5 m/s；乙的速度为7.5 m/s.两人同时起跑，多少秒后，两人间的距离最小？最小距离为多少？
【点拨】本题易因对两平行线间的距离不理解，忽略了甲、乙两位同学在不同的两条平行跑道上，误将最小距离当作0 m.
解：当甲、乙两人所在位置的连线垂直于跑道时，两人间的距离最小，设t秒后两人间的距离最小，依题意得
(8.5－7.5)t＝10.解得t＝10.
所以两人同时起跑，10 s后，两人间的距离最小，最小距离为2 m.
13．【中考·六盘水】如图，已知l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设三角形ABC1的面积为S1，三角形ABC2的面积为S2，三角形ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．
解：因为直线l1∥l2，
所以三角形ABC1，三角形ABC2，三角形ABC3的底边AB上的高相等，
所以三角形ABC1，三角形ABC2，三角形ABC3这3个三角形同底等高，
所以三角形ABC1，三角形ABC2，三角形ABC3这3个三角形的面积相等，即S1＝S2＝S3.
14．如图，四边形ABCD放在了一组距离相等的平行线中，已知BD＝6，四边形ABCD的面积为24，求相邻两条平行线间的距离．
15．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图方法，可以得到四边形的“好线”：如图①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，连接AE，
则直线AE即为一条“好线”．
(1)试说明直线AE是“好线”；
解：因为OE∥AC，
所以S三角形AOC＝S三角形AEC.
又因为折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
所以直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．
(2)如图②，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对作图进行适当说明(不需要说明理由)；
解：如图，连接EF，过点A作AG∥EF交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．
B
(3)解决上述问题时，没有用到的几何性质或数学思想是( )
A．两平行线间的距离处处相等
B．从特殊到一般的思想
C．等(同)底等(同)高的两个三角形面积相等
D．转化思想(共28张PPT)
第4章 相交线与平行线
4.4 平行线的判定
第2课时 平行线的判定方法2、3
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
D
B
D
D
D
A
B
D
见习题
相等；＝
互补；180°
见习题
提示：点击 进入习题
6
7
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10
C
1
2
3
4
5
11
12
13
14
15
1
2
新知笔记
答案显示
16
1．内错角________，两直线平行．
如图，因为∠1________∠2,
所以AB∥CD.
2．同旁内角________，两直线平行．
如图，因为∠1＋∠2＝________，
所以AB∥CD.
相等
=
互补
180°
1．如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据( )
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，内错角相等
D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【点拨】利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
2．在下列各图形中，由∠1＝∠2不能判定两条直线平行的是( )
【点拨】A可以根据同位角相等，两直线平行判定；B，C可以根据内错角相等，两直线平行判定．
D
3．如图，下列条件能判断AD∥BC的是( )
A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4
A
4．【中考·白银】如图，能够证明a∥b的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5
C．∠4＝∠3 D．∠1＝∠5
B
D
5.【2021·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
6．【中考·郴州】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4
B．∠1＋∠4＝180°
C．∠5＝∠4
D．∠1＝∠3
D
7．如图是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，要使BC∥DE，则∠CDE等于( )
A．40°B．50°
C．70°D．130°
B
【点拨】因为AB∥CD，∠ABC＝130°，所以∠BCD＝∠ABC＝130°.因为当∠BCD＋∠CDE＝180°时，BC∥DE，所以∠CDE＝180°－∠BCD＝180°－130°＝50°.
8．在下列图形中，由∠1＋∠2＝180°不能得到AB∥CD的是( )
【答案】D
【点拨】A.∠1的对顶角与∠2的对顶角是同旁内角，它们互补，所以能判定AB∥CD；B.∠1的对顶角与∠2是同旁内角，它们互补，所以能判定AB∥CD；C.∠1的补角∠BAD＝∠2，所以能判定AB∥CD；D.由条件∠1＋∠2＝180°能得到AD∥BC，不能得到AB∥CD.
9．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°.当∠BCD＝________°时，可判定AB∥CD.理由是____________________________．
60
同旁内角互补，两直线平行
10．【2021·驻马店汝南期中】如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠4＝180°
C．∠2＝∠3
D．∠4＋∠5＝180°
C
11.小泽在课桌上摆放了一副三角尺，如图所示，可以得到______∥______，依据是_________________________．
AC
DF
内错角相等，两直线平行
12.【中考·湘潭】如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________________．(任意添加一个符合题意的条件即可)
∠A＋∠ABC＝180°
(或∠C＋∠ADC＝180°或∠CBD＝∠ADB或∠C＝∠CDE)
【点拨】答案不唯一，可以从同位角相等、内错角相等或同旁内角互补上考虑．
13．【2021·武汉】如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F.试说明：∠DEF＝∠F.
解：因为AB∥CD，所以∠DCF＝∠B.
因为∠B＝∠D，所以∠DCF＝∠D，
所以AD∥BF，所以∠DEF＝∠F.
14．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
解：AB∥EF，理由如下：
因为AB∥CD，所以∠B＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
因为∠B＝70°，所以∠BCD＝70°(等量代换)．
因为∠BCE＝20°，所以∠ECD＝50°.
因为∠CEF＝130°，所以∠CEF＋∠ECD＝180°.
所以EF∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
所以AB∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．
15．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的延长线上的点，连接EF，分别交AD，BC于点G，H.若∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明AD∥BC和AB∥CD.
解：因为∠1＝∠2(已知),∠1＝∠AGH(对顶角相等)，
所以∠2＝∠AGH(等量代换)．
所以AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
所以∠ADE＝∠C(两直线平行，同位角相等)．
又因为∠A＝∠C(已知)，
所以∠ADE＝∠A(等量代换)．
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
16．(1)请在横线上填写适当的内容，完成下面的解答过程：
如图①，如果∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°，试说明AB∥CD.
理由如下：过点E作EF∥AB，
则∠ABE＋∠BEF＝_______° (___________________________________________)．
又因为∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°，
所以∠FED＋∠CDE＝________°.
所以EF∥________.
又因为EF∥AB，所以AB∥CD.
180
两直线平行，同旁内角互补
180
CD
(2)如图②，如果AB∥CD，试说明∠BED＝∠B＋∠D.
解：如图①，
过点E作EH∥AB，则∠BEH＝∠B.
因为EH∥AB，AB∥CD，所以EH∥CD.
所以∠DEH＝∠D.
所以∠BED＝∠BEH＋∠DEH＝∠B＋∠D.
(3)如图③，如果AB∥CD，∠BEC＝α，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，则∠BFC的度数是____________(用含α的代数式表示)．
【点拨】如图②，过点E作EG∥AB，
则∠ABE＋∠BEG＝180°.
因为EG∥AB，CD∥AB，所以EG∥CD.
所以∠DCE＋∠CEG＝180°.
所以∠ABE＋∠BEG＋∠CEG＋∠DCE＝360°.
所以∠ABE＋∠BEC＋∠DCE＝360°.
所以∠ABE＋∠DCE＝360°－∠BEC.
又因为∠BEC＝α，所以∠ABE＋∠DCE＝360°－α.(共26张PPT)
第4章 相交线与平行线
4.4 平行线的判定
第1课时 平行线的判定方法1
见习题
30°
见习题
见习题
见习题
B
提示：点击 进入习题
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C
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D
C
A
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C
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15
见习题
1
相等
新知笔记
答案显示
见习题
16
见习题
相等
同位角________，两直线平行．
D
1．【中考·河池】如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的度数是( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
2．如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．AD∥EF
D．EF∥BC
C
3．【2021·常德澧县期末】如图所示的过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线法”，其依据是( )
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】A
4．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定a∥b的是( )
A．∠7＝∠3
B．∠6＝∠8
C．∠1＝∠5
D．∠4＝∠8
B
C
5．【创新题】如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝80°，∠2＝50°.要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )
A．10° B．20°
C．30° D．50°
6.【教材改编题】 如图，木工用角尺在木板上不同位置画两条墨线，则这两条墨线互相平行，判断两条墨线平行的理由是：______________________．
同位角相等，两直线平行
7．如图，若∠1＝∠2，∠3＝50°，则∠4的度数是( )
A．50°
B．100°
C．130°
D．150°
C
8．如图，已知∠EFB＝90°，∠CDB＝90°，下列说法：①EF∥CD；②∠B＋∠BDG＝180°；③若∠1＝∠2，则∠1＝∠BEF；④若∠ADG＝∠B，则∠DGC＋∠ACB＝180°.其中说法正确的是( )
A．①② B．③④
C．①②③ D．①③④
【点拨】因为∠EFB＝90°，∠CDB＝90°，所以∠EFB＝∠CDB，所以DC∥EF，故①正确；由∠EFB＝90°，∠CDB＝90°无法得出DG∥BC，所以无法得出∠B＋∠BDG＝180°，故②错误；因为DC∥EF，所以∠BEF＝∠2，因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BEF，故③正确；因为∠ADG＝∠B，所以DG∥BC，所以∠DGC＋∠ACB＝180°，故④正确．
【答案】D
9．如图，若∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )
A．110° B．125°
C．130° D．135°
B
【点拨】如图，因为∠1＝∠2，∠2＝∠5，
所以∠1＝∠5，所以l1∥l2，
所以∠3＋∠6＝180°. 因为∠3＝55°，
所以∠6＝180°－55°＝125°，所以∠4＝∠6＝125°.
10．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝60°，GM平分∠HGB交直线CD于点M.求∠3的度数．
30°
11．【2021·德州夏津期末】如图，CB平分∠ACD，∠2＝∠3，若∠4＝60°，则∠1的度数是________．
12．如图，∠E＝50°，∠BAC＝50°，∠D＝110°，求∠ABD的度数．
请完善下面的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：因为∠E＝50°，∠BAC＝50°(已知)，
所以∠E＝________(等量代换)．
所以_______∥_______(________________________)．
所以∠ABD＋∠D＝180° (_________________________).
因为∠D＝110°(已知)，
所以∠ABD＝70°(等式的性质)．
∠BAC
AB
DE
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
13. (易错题)如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ.
【点拨】本题易因对同位角的概念理解错误，误认为∠1与∠2是同位角，利用∠1＝∠2，直接判定EP∥FQ.
解：因为AB∥CD，所以∠MEB＝∠MFD,
又因为∠1＝∠2，所以∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，
即∠MEP＝∠MFQ，所以EP∥FQ.
14．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系．
解：DE∥AB.理由如下：
因为AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠1.
因为EF平分∠DEC，所以∠DEC＝2∠2.
因为∠1＝∠2，所以∠BAC＝∠DEC，
所以DE∥AB.
15．如图，已知AB∥DC，∠D＝125°，∠CBE＝55°，AD与BC平行吗？为什么？
解：AD∥BC.理由如下：
因为AB∥DC，所以∠A＋∠D＝180°.
因为∠D＝125°，所以∠A＝180°－∠D＝55°.
又因为∠CBE＝55°，所以∠A＝∠CBE.
所以AD∥BC.
16．如图，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，∠A＝48°，∠CED＝48°.
(1)若DF平分∠BDE，∠B＝50°，求∠DFB的度数．
(2)探究当∠FDE与∠A满足什么关系时，DF∥AC？试说明你的理由．
解：当∠FDE＝∠A时，DF∥AC.
理由如下：由(1)知∠FDE＝∠BFD.
因为∠A＝∠FDE，
所以∠A＝∠BFD，
所以DF∥AC.
(3)小明根据上述探究，归纳出结论：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．你认为他的归纳正确吗？为什么？
解：小明的归纳不正确．
理由如下：如图①，
因为AB∥EF，BC∥DE，
所以∠1＝∠3，∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)，
所以∠1＝∠2(等量代换)．
如图②，因为AB∥EF，BC∥DE，
所以∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)，
∠1＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
所以∠1＋∠2＝180°(等量代换)．
综上，如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．(共31张PPT)
4.3 平行线的性质
第4章 相交线与平行线
B
D
C
B
B
B
C
100°
见习题
A
见习题
见习题
见习题
B
28°
A
相等；相等
相等；相等
提示：点击 进入习题
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1
2
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5
C
11
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15
1
2
新知笔记
答案显示
3
互补；互补
16
17
1．性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角________．简述为两直线平行，同位角________．
2．性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角________．简述为两直线平行，内错角________．
3．性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角________．简述为两直线平行，同旁内角________．
相等
相等
相等
相等
互补
互补
1．【2021·遵义】如图，已知直线a∥b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
B
2．【中考·东营】下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )
【答案】B
【点拨】A.根据AB∥CD，能得到∠1＋∠2＝180°，故本选项不符合题意；B.如图，根据AB∥CD，
能得到∠1＝∠3，再根据对顶角相等，可得
∠1＝∠2，故本选项符合题意；C.根据AC∥
BD，能得到∠1＝∠2，故本选项不符合题意；D.根据AB∥CD，不能得到∠1＝∠2，故本选项不符合题意．
3．【中考·娄底】如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为________．
28°
4. (荣德原创)常见的超市购物车示意图如图所示，车底CD与扶手AB互相平行，若∠1＝110°，∠3＝60°，则∠2的度数是( )
A．50° B．55°
C．60° D．65°
A
点拨】因为AB∥CD，所以∠1＝∠ADC＝110°，
又因为∠3＝60°，所以∠2＝110°－60°＝50°.
5．如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝28°，则∠2的度数是( )
A．62° B．108°
C．118° D．152°
C
【点拨】如图，因为a∥b，所以∠2＝∠1＋∠3＝28°＋90°＝118°.
6．【中考·达州】如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝80°，则∠2的度数为( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【点拨】如图，过E作EF∥AB，则∠NEF＝∠1＝45°.又因为∠3＝80°.所以∠FED＝∠3－∠NEF＝35°.因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠2＝∠FED＝35°.
7．【中考·陕西】如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
【点拨】如图．因为l1∥l2，l3∥l4，所以∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠4.又因为∠4＝∠5，∠2＝∠3，所以图中与∠1互补的角有∠2，∠3，∠4，∠5，共4个．
8.【中考·孝感】如图，直线AD∥BC，若∠1＝42°，∠BAC＝78°，则∠2的度数为( )
A．42° B．50°
C．60° D．68°
【点拨】因为AD∥BC，所以∠1＋(∠BAC＋∠2)＝180°，又∠1＝42°，∠BAC＝78°，所以∠2＝180°－∠1－∠BAC＝60°.
C
9．如图，已知直线AB∥CD，BE是∠ABC的平分线，与CD相交于点D，∠CBD＝40°，则∠C的度数为________．
【点拨】因为BE是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝40°，所以∠ABC＝80°， 因为AB∥CD，所以∠C＋∠ABC＝180°， 所以∠C＝100°.
100°
10．【中考·济南】如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为( )
A．20°
B．35°
C．55°
D．70°
B
11. 【2021·包头】如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B, 过点B的直线l4交l1于点C, 若∠3＝50°，∠1＋∠2＋∠3＝240°，则∠4等于( )
A．80° B．70°
C．60° D．50°
【点拨】因为l1∥l2，
所以∠1＋∠3＝180°，∠ACB＝∠3＝50°.
因为∠1＋∠2＋∠3＝240°，
所以∠2＝240°－180°＝60°，
所以∠4＝∠BAC＝180°－∠2－∠ACB＝180°－60°－50°＝70°. 故选B.
【答案】B
12.【2021·眉山】如图，将直角三角板放置在长方形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数是( )
A．42°
B．48°
C．52°
D．60°
【点拨】如图，延长该直角三角板一边，与长方形纸片一边交于点A，由长方形对边平行，可得∠1＝∠3.
由题意知BC⊥AB，
所以∠3＋∠2＝90°，
所以∠1＋∠2＝90°.
又因为∠1＝48°，
所以∠2＝42°.
【答案】A
13．【2021·娄底】如图，AB∥CD，点E，F在AC边上,已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
【点拨】设ED,FB的交点为点G，过点G作MN∥CD，如图．
因为∠BFC＝130°，
所以∠EFG＝50°.
又因为∠CED＝70°，
所以∠EGF＝180°－50°－70°＝60°.
因为AB∥CD，CD∥MN，所以AB∥CD∥MN，
【答案】C
所以∠B＝∠BGN，∠D＝∠DGN，
所以∠B＋∠D＝∠BGN＋∠DGN＝∠BGD＝∠EGF＝60°.
故选C.
14.【中考·重庆】如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD,∠1＝54°,求∠2的度数．
解：如图，因为直线AB∥CD，
所以∠3＝∠1＝54°，∠5＋∠ABD＝180°.
因为BC平分∠ABD，
所以∠4＝∠3＝54°.
又因为∠5＝∠2，
所以∠2＝180°－54°－54°＝72°.
15．如图，AB∥DG，AD∥EF.
(1)试说明：∠1＋∠2＝180°；
解：因为AD∥EF，
所以∠BAD＋∠2＝180°.
因为AB∥DG，所以∠BAD＝∠1.
所以∠1＋∠2＝180°.
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2＝138°，求∠B的度数．
解：由(1)知∠1＋∠2＝180°，
又因为∠2＝138°，所以∠1＝42°.
因为DG是∠ADC的平分线，
所以∠CDG＝∠1＝42°.
因为AB∥DG，所以∠B＝∠CDG＝42°.
16．(1)如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，直接写出∠2和∠3的度数；
(2)本题隐含着一个规律，请你根据(1)的结果进行归纳，试着用文字表述出来；
解：∠2＝115°，∠3＝65°.
解：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
(3)利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角的度数是另一个角的两倍，求这两个角的度数．
解：设其中一个角的度数为x°，另一个角的度数为(2x)°，根据(2)，可得x＋2x＝180.解得x＝60.故这两个角的度数分别为60°，120°.
17．如图，已知AM∥BN，∠B＝40°，点P是射线BN上一动点(与点B不重合)，AC，AD分别平分∠BAP和∠PAM，交射线BN于点C，D.
(1) 求∠CAD的度数；
(2)当点P运动时，猜想∠APB与∠ADB之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠BAD时，求∠BAC的度数．
