(共28张PPT)
5.1 轴对称
第2课时 轴对称变换
第5章 轴对称与旋转
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6
7
8
9
C
B
B
D
10
A
1
2
3
4
C
C
A
B
5
D
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
15
见习题
1
2
3
轴反射
轴对称变换；对称轴
形状；大小
新知笔记
4
对称轴
1．把图形沿着直线翻折并将图形“复印”下来得到另一个图形，就叫做该图形关于直线作了轴对称变换，也叫____________．
2．如果一个图形关于某一条直线作______________后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做____________．
轴反射
轴对称变换
对称轴
形状
大小
对称轴
3．轴对称变换不改变图形的________和________．
4．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被__________垂直平分．
1．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到( )
C
C
2．下列由甲图案到乙图案的变换中，是轴对称变换的是( )
A
3．下面各选项中，左边图形与右边图形是通过轴对称变换得到的是( )
4．如图，三角形ABC与三角形DEF关于直线MN成轴对称，那么线段AC的对应线段是( )
A．AB B．DF C．DE D．EF
B
5．【教材改编题】如图，点A在直线l上，三角形ABC与三角形AB′C′关于直线l对称，连接BB′分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是( )
A．∠BAC＝∠B′AC′
B．CC′∥BB′
C．BD＝B′D′
D．AD＝DD′
D
6．如图，三角形ABC中，AB＋BC＝12，点A，C关于直线DE对称，则三角形BCD的周长是( )
A．8 B．10
C．12 D．无法确定
C
7.【中考·南充】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( )
A．AM＝BM B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
【点拨】因为直线MN是四边形AMBN的对称轴，所以点A与点B关于直线MN对称．所以AM＝BM，∠ANM＝∠BNM.由点P是直线MN上的点，易得AP＝BP，∠MAP＝∠MBP.所以A，C，D正确，B错误．故选B.
B
8．作三角形ABC关于直线MN对称的三角形A′B′C′，正确的是( )
B
9．【2021·南通一模】如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，三角形ABD与三角形AB′D关于直线AD对称，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为( )
A．38° B．48°
C．50° D．52°
D
10．【中考·聊城】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则∠1的度数为( )
A．115° B．120°
C．130° D．140°
【答案】A
【点拨】因为把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，所以∠1＝∠EFB′，∠B′＝∠B＝90°.由∠2＝40°，易得∠CFB′＝50°.因为∠1＋∠EFB′－∠CFB′＝180°，所以∠1＋∠1－50°＝180°.解得∠1＝115°，故选A.
11．【中考·安徽】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC.
(1)试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
(2)将四边形ABCD向下平移5个单位长度，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
12.【中考·吉林】图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
【点拨】答案不唯一．
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
解：如图①，MN即为所求．
【点拨】答案不唯一．
解：如图②，PQ即为所求．
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
解：如图③，三角形DEF即为所求．
【点拨】答案不唯一．
(3)在图③中，画一个三角形DEF，使三角形DEF与三角形ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
解：对应点有A和A′，B和B′，C和C′.
13. (易错题)如图，将三角形ABC沿直线m翻折得到三角形A′B′C′，连接AA′.
(1)根据图形，写出各组对应点．
解：直线m垂直平分线段AA′.
解：延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上.
(2)直线m与线段AA′有什么关系？
(3)对应线段BC与B′C′、AB与A′B′的交点在对称轴上，猜想：延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？
【点拨】本题易忽略对应线段相互平行的情形．
(4)根据(3)试归纳出对应线段或其延长线的位置关系的所有可能情形．
解：若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或其延长线的交点在对称轴上；若两条对应线段平行，则它们都与对称轴平行．
14．如图，在四边形ABCD中，顶点B，D关于对角线AC对称，AC与BD相交于点E，若AC＝15，BD＝8.求阴影部分的面积．
15．如图，在∠AOB外有一点P，先作点P关于直线OA的对称点P1，再作点P关于直线OB的对称点P2.
(1)试猜想∠P1OP2与∠AOB的数量关系，并说明理由．
解：∠P1OP2＝2∠AOB，
理由：如图①，由点P关于直线OA的对称点
为P1，点P关于直线OB的对称点为P2，
易得∠1＝∠2，∠POB＝∠BOP2，
所以∠1＋∠2＋∠3＝∠4，
所以∠P1OP2＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋2∠3＝2∠2＋2∠3＝2(∠2＋∠3)＝2∠AOB.
(2)当点P在∠AOB内部时，上述结论是否成立？画图加以说明．
解：∠P1OP2＝2∠AOB成立，
理由：如图②，由点P关于直线OA的对称点为P1，点P关于直线OB的对称点为P2，
易得∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠P1OP2＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2(∠2＋∠3)＝2∠AOB.(共19张PPT)
5.1 轴对称
第1课时 轴对称图形
第5章 轴对称与旋转
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6
7
8
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C
C
圆
D
10
C
1
2
3
4
D
C
B
D
5
A
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
1
2
互相重合；对称轴
形状
新知笔记
3
1．如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够______________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的__________．
2．轴对称图形是指一个图形的__________特征，是一种具有特殊形状的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
互相重合
对称轴
形状
3．常见的轴对称图形：
线段、等腰三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆等．
1．【中考·永州】永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )
D
2．下列四个图形中，是轴对称图形的有( )
C
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．【2021·鄂州】“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是( )
B
D
4．【中考·徐州】下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是( )
5．【中考·泰安】如图所示的图形，是轴对称图形且有两条对称轴的是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
A
6.【中考·河北】如图，由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线( )
A．l1 B．l2
C．l3 D．l4
C
7．【中考·广州】如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( )
A．1条
B．3条
C．5条
D．无数条
C
【点拨】五角星的对称轴共有5条．
8．在几何图形：等边三角形、正方形、正六边形和圆中，对称轴条数最多的是________．
【点拨】圆有无数条对称轴；等边三角形有3条对称轴；正方形有4条对称轴，正六边形有6条对称轴．故对称轴条数最多的是圆．
圆
9．【中考·无锡】如图，下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中是轴对称图形的有( )
D
10. 如图，在4×4的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑(图中阴影部分)，若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
【点拨】如图所示，共有4种涂黑的方法．
3
4
5
6
n
解：画图略．
11．试画出如图所示的正多边形的所有对称轴，并完成表格及猜想．
12．如图所示的图形中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出它的所有对称轴．
解：①②③④都是轴对称图形，它们的对称轴如图所示．
13．如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为其对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
解：相等的线段：AB＝AE，CB＝DE，CF＝DF；
相等的角：∠B＝∠E，∠C＝∠D，∠BAF＝∠EAF，∠AFD＝∠AFC.
14．(1)观察图①～图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征：
①______________________________________；
②_______________________________________.
都是轴对称图形
面积都等于四个小正方形的面积之和
答案不唯一，例如：
解：如图(答案不唯一)．
(2)在图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征．(共23张PPT)
5.3 图形变换的简单应用
第5章 轴对称与旋转
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6
7
8
9
C
B
A
A
10
见习题
1
2
3
4
C
B
B
A
5
①②③
11
12
13
14
见习题
见习题
见习题
见习题
1
基本图形；轴对称；旋转
新知笔记
设计图案时，以某一个图案为______________，通过平移、________和________进行图案设计．
基本图形
轴对称
旋转
1．下列四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( )
C
2．如图是一个镶边的模板，下列四个图形中通过一次平移能得到它内部图案的是( )
B
3．下列图案中，可以由一个“基础图形”连续旋转45°得到的是( )
B
4．如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【点拨】第1，4个图案可以由基础图形每次旋转90°得到，第2，3个图案可以由基础图形旋转180°得到，且四个图案都可以经过轴对称得到．
5．【创新题】下列3个图形中，能通过旋转得到右侧图形的有____________．
【答案】①②③
【点拨】如图①所示，通过旋转①可以得到题图中右侧图形；
如图②所示，
先绕②的最长边端点旋转180度，然后将旋转前后图形的组合旋转可得到题图中右侧图形；
如图③所示，通过旋转③可以得到题图中右侧图形．
6．下列是某次“安全提示”的图案设计比赛的作品，其中符合轴对称设计方案的是( )
C
7．【2021·汕尾期末】下列是四个汽车标志图案，其中可看成由“基础图形”经过平移得到的是( )
B
8．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成各种优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构的图案中，设计时没有用到轴对称的是( )
A
9．【中考·荆州】如图，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是( )
A
10. 如图③的雪花图案可以看成是最小内角为60°的基础图形________(画出示意图)绕中心每次旋转60°，旋转________次得到的；也可以看成是基础图形(图①)绕中心每次旋转_______°，旋转_______次得到的；还可以看成是基础图形(图②)绕中心旋转________°得到的．
5
120
2
180
11．如图是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
解：如图①所示．
解：如图②所示．(答案不唯一)
(1)将原图形绕点O逆时针旋转90°；
(2)发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽．
12．某公司为了节约开支，购买了质量相同的两种颜色的残缺地砖，准备用来装修地面，现已加工成如图①所示的等腰直角三角形，王聪同学设计了如图②所示的四种图案．
(1)你喜欢哪种图案？并简述该图案的形成过程．
(2)请你利用所学过的知识再设计一种与上述图案不同的图案．
解：我喜欢图案(4)．该图案的形成过程略．(答案不唯一)
解：如图所示．(答案不唯一)
解：如图所示．(答案不唯一)
13.【中考·宁波改编】如图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．(请在图①、图②中分别画出符合条件的情形)
14．七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它由七块板组成(如图①)，用这七块板可拼出许多图形(1 600种以上)，例如三角形、平行四边形以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等图形．请你用七巧板中标号为①②③的三块板(如图②)经过平移、旋转拼出下列图形(相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小正方形顶点上)：
解：如图①所示，长方形即为所求．
解：如图②所示，等腰直角三角形即为所求．
(1)拼成长方形，在图③中画出示意图；
(2)拼成等腰直角三角形，在图④中画出示意图．(共16张PPT)
专题技能训练(五)
训练 图形变换及应用
第5章 轴对称与旋转
见习题
50°
见习题
M；P；Q；N
A
C
A
D
D
见习题
C
A
7；45
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6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
11
12
13
1．如图，把一张正方形纸片三次对折后沿虚线剪去一个角，将剩余部分展开所得的图形是( )
C
2.【中考·青海】剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是( )
A
3．直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站分别向A，B两个村庄供水．现有如下四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道)，则铺设的管道最短的是( )
【答案】D
【点拨】作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P.根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
4．如图，已知∠O，点P为∠O内一定点，分别在∠O的两边上找点A，B，使三角形PAB周长最小的是( )
【点拨】分别作出点P关于∠O的两边所在直线的对称点P1，P2，连接P1P2，与∠O的两边交于点A，B，此时三角形PAB的周长最小．依据：两点之间，线段最短．
D
5．如图，小红要从一间房的A点出发到河岸打水后再送到另一间房的B点，请通过作图替小红找出最短的路线．
解：作法：作点A关于河岸的对称点A′，连接A′B，交河岸于点O，则点O就是小红的取水点，连接AO，如图，此时小红走的路线A→O→B就是最短的路线．
6．如图，已知点P，Q在锐角∠AOB内，分别在OA，OB上求作点M，N，使PM＋MN＋NQ最短．
解：如图，作点P关于直线OA的对称点P′，作点Q关于直线OB的对称点Q′，连接P′Q′分别交OA，OB于点M，N，此时PM＋MN＋NQ最短，点M，N即为所求作的点．
7．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF＝65°，则∠AED′等于________．
【点拨】由折叠可得，∠DEF＝∠D′EF＝65°，所以∠DED′＝130°，所以∠AED′＝180°－∠DED′＝50°.
50°
8．将一条两边平行的纸带按如图方式折叠，若∠1＝62°，求∠2的度数．
解：由折叠可得∠EAB＝180°－∠1＝180°－62°＝118°.
因为AE∥BF，
所以∠ABF＝180°－∠EAB＝62°.
易知∠2＝180°－2∠ABF，
所以∠2＝180°－2×62°＝56°.
9．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开并拼接后，得P，Q，M，N四个图形，按照“通过适当的平移、旋转或翻折后，哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空：A与________对应，B与________对应，C与________对应，D与________对应．
M
P
Q
N
10．如图①是由5个边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三部分，乙将它分成四部分，各自要拼一个面积是5的大正方形，则( )
A．甲、乙都可以
B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以
D．甲、乙都不可以
A
11．下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是( )
C
12．在落实“小组合作学习，当堂达标检测及评价”要求中，某班四个小组分别设计了组徽图案，这四个图案中，既具有轴对称性又具有旋转对称性的是( )
A
13．如图所示的图案可以看成是由一个三角形绕旋转中心旋转________次，每次旋转________度形成的．
7
45(共26张PPT)
5.2 旋 转
第5章 轴对称与旋转
A
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6
7
8
9
A
D
D
90°
10
123°
1
2
3
4
A
A
B
5
C
11
12
13
14
C
C
见习题
见习题
1
2
3
旋转中心；旋转角
相等；相等
形状；大小
新知笔记
1．将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点O旋转同一个角α，得到图形F′，图形的这种变换叫做旋转．这个定点O叫__________，角α叫________．
2．一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离________，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角________．
3．旋转不改变图形的________和________．
旋转中心
旋转角
相等
相等
形状
大小
1．在以下几种生活现象中，不属于旋转的是( )
A．下雪时，雪花在天空中自由飘落
B．钟摆左右不停地摆动
C．时钟上秒针的转动
D．电风扇扇叶的转动
A
2．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图案完全重合的是( )
【点拨】图案旋转后能与原图案重合时，A.最小旋转角度＝360°÷3＝120°；B.最小旋转角度＝360°÷4＝90°；C.最小旋转角度＝360°÷2＝180°；D.最小旋转角度＝360°÷5＝72°.综上可得，顺时针旋转120°后，能与原图案完全重合的是A.
A
3．如图，三角形ABC绕点A旋转得三角形ADE，则旋转角是( )
A．∠BAD
B．∠BAC
C．∠BAE
D．∠CAD
A
B
4．【2021·苏州工业园区期末】如图， 在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则旋转中心是( )
A．格点A
B．格点B
C．格点C
D．格点D
C
5. (荣德原创)如图， 在正方形ABCD中，点O为AC，BD的交点．关于三角形COD绕点O旋转得到三角形DOA的方式，子权同学说：“顺时针旋转270°.”五洋同学说：“逆时针旋转90°.”你对他们的说法的判断是( )
A．只有子权的说法正确
B．只有五洋的说法正确
C．他们的说法都正确
D．他们的说法都错误
A
6．【中考·广州】如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为( )
7．【中考·湘潭】如图，将三角形OAB绕点O逆时针旋转70°到三角形OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝( )
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°
D
8．【中考·天津改编】如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是( )
A．AC＝AD
B．AB⊥EB
C．BC＝DE
D．∠ACD＝∠BCE
D
9．【中考·衡阳】如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若三角形COD是由三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转得到的，则旋转的角度为________．
90°
【点拨】因为三角形COD是由三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转得到的，所以OB＝OD，所以旋转的角度是∠BOD的大小，因为∠BOD＝90°，所以旋转的角度为90°.
10．【2021·深圳宝安区期末】如图，将三角形ABC绕点A旋转到三角形AB′C′的位置，使B′C′∥AC，若∠C＝57°，则∠CAC′＝________．
123°
11．【中考·吉林】把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为( )
A．30° B．90°
C．120° D．180°
C
12.【2021·大连】如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为( )
A．α B．α－45°
C．45°－α D．90°－α
【点拨】由旋转的性质可得
∠CA′B′＝∠CAB＝α，∠ACA′＝90°，AC＝A′C，
所以三角形ACA′是等腰直角三角形，
所以∠AA′C＝45°，所以∠AA′B′＝45°－α.
故选C.
【答案】C
13．我们在小学已经学习过：三角形三个内角的和为180°.根据这一性质，我们可以研究一些与之相关的问题：
如图，三角形ABC绕顶点A顺时针旋转角α (0°≤α≤180°) 后得到三角形AB′C′.若∠B＝40°，∠C＝30°.
(1)当α等于多少度时，三角形AB′C′的边AC′与BC垂直？
解：如图，当AC′与BC垂直时，设AC′与BC的交点为D，则∠CDA＝90°，所以∠CAD＝90°－∠C＝90°－30°＝60°，即α＝60°.
(2)当α等于多少度时，点A，B，C′在同一直线上？
解：由题意得∠CAC′＝180°－∠CBA－∠C＝180°－40°－30°＝110°，则当α＝110°时，点A，B，C′在同一直线上．
(3)直接写出当α等于多少度时，三角形ABC与三角形AB′C′有一条边平行．
解：当α＝30°，40°，140°，150°或180°时，三角形ABC与三角形AB′C′有一条边平行．
14．如图①，直线CD上有一点O，过点O在直线CD上方作射线OP.直角三角尺AEB(∠AEB＝90°)的直角顶点与点O重合，一条直角边EA在射线OD上，另一条直角边EB在直线CD上方．将直角三角尺绕着点O逆时针旋转．
(1)当直角三角尺旋转到图②的位置时，OB恰好平分∠COP, 试说明：OA恰好平分∠POD.
解：因为OB平分∠COP，
所以∠BOC＝∠BOP.
又因为∠AOB＝90°，
所以∠AOD＝180°－∠AOB－∠BOC＝180°－90°－∠BOC＝90°－∠BOC，
∠AOP＝∠AOB－∠BOP＝90°－∠BOP＝90°－∠BOC，
所以∠AOD＝∠AOP，
所以OA平分∠POD.
(2)若射线OP的位置保持不变，且∠COP＝50°.当直角三角尺旋转到边AB与射线OC相交时，∠BOC与∠AOP有怎样的数量关系？试画出图形，写出数量关系，并说明理由．
解：①如图①，当OA在∠POD内部或与OP重合，OB在CD下方时，
∠AOP＋∠BOC＝40°.
理由：因为∠AOB＝90°，∠COP＝50°，
所以∠AOP＋∠BOC＝90°－∠POC＝40°.
②如图②，当OA在∠POC内部，OB在CD下方时，∠BOC－∠AOP＝40°.
理由：因为∠AOC＝∠POC－∠AOP＝50°－∠AOP，
∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－∠BOC，
所以50°－∠AOP＝90°－∠BOC，
所以∠BOC－∠AOP＝40°.
综上所述，当OA在∠POD内部或与OP重合，OB在CD下方时，∠AOP＋∠BOC＝40°；
当OA在∠POC内部，OB在CD下方时，∠BOC－∠AOP＝40°.(共26张PPT)
全章整合与提升
第5章 轴对称与旋转
见习题
A
C
A
B
C
D
B
B
D
见习题
见习题
见习题
D
C
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C
1．下列图标中，是轴对称图形的是( )
D
2．【2021·自贡】下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是( )
3．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不关于某条直线成轴对称的是( )
B
4．【2021·苏州】如图，在方格纸中，将直角三角形AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到直角三角形A′O′B，则下列四个图形中正确的是( )
B
5．如图，若三角形ABC与三角形A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( )
A．AC＝A′C′
B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN
D．AB∥B′C′
D
6．如图，三角形ABC与三角形A1B1C1关于直线l对称，将三角形A1B1C1向右平移得到三角形A2B2C2，下列说法：①∠A＝∠A2；②A1B1＝A2B2；③AB∥A2B2.其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
A
7．【2021·大连中山区一模】如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，将三角形ABC绕点A旋转，如果C的对应点C′恰好落在射线CD上，点B落在点B′处，则∠B′C′C的度数是( )
A．45° B．120°
C．135° D．150°
【点拨】因为∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
所以∠ACC′＝45°，
由题意得AC′＝AC，∠AC′B′＝∠ACB＝90°，
所以∠AC′C＝∠ACC′＝45°，
所以∠B′C′C＝135°.故选C.
【答案】C
8．如图是一个经过改造的3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球(看成一点)按图中所示的方向被击出(球可以经过台球桌面边缘多次反弹)，那么球最后将落入( )
A．1号袋 B．2号袋
C．3号袋 D．4号袋
【点拨】根据轴对称的性质可知，球走过的路径如图所示，所以球最后将落入1号袋．
【答案】A
9．下列运动不属于旋转现象的是( )
A．电风扇叶片的运动
B．足球在草地上滚动
C．时钟上钟摆的摆动
D．大风车运动的过程
B
10.【中考·南京】如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过平移得到的，三角形A′B′C′还可以看成是三角形ABC经过怎样的图形变换得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )
A．①④ B．②③
C．②④ D．③④
【答案】D
【点拨】连接BB′，取BB′的中点，先将三角形ABC绕着B′B的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着点B′旋转180°，即可得到三角形A′B′C′；先将三角形ABC沿着垂直平分B′C的直线翻折，再将所得的三角形沿着垂直平分B′C′的直线翻折，即可得到三角形A′B′C′.
11.【中考·扬州】“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是( )
C
12．如图，三角形ABC在正方形网格中，其中点A，B，C均在格点上，每个小正方形的边长为1.
(1)作三角形ABC关于直线MN对称的三角
形A′B′C′；
(2)在MN上找出一点P，使得PA＋PC最小；
解：(1)如图，三角形A′B′C′即为所求．
(2)如图，点P即为所求．
(3)求出三角形ABC的面积．
13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，每个小正方形的顶点叫格点，三角形ABC的顶点均在格点上，按要求完成下列问题：
(1)画出三角形ABC向上平移3个单位
长度后得到的三角形A1B1C1；
(2)画出三角形A1B1C1绕点C1按顺时针方
向旋转90°后所得到的三角形A2B2C1.
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
14．如图，一名牧童每天都要从A地出发赶着牛到河岸饮水，然后再到B地放牧，应该怎样选择饮水的地点，才能使牛所走的路线最短？
解：如图所示，作A点关于河岸的对称点A′，连接A′B，与河岸的交点P即为饮水的地点．
15．如图①，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°.如图②，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α(0°＜α＜180°)．
15
解：图形如图所示．
(1)当α为________°时，AD∥BC，并在图③中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
解：设∠CAD＝γ，∠BAE＝β，
①当0°<α≤45°时，
α＋β＝90°，α＋γ＝45°，
故β－γ＝45°，即∠BAE－∠CAD＝45°；
②当45°＜α≤90°时，
β＋γ＝45°，即∠BAE＋∠CAD＝45°；
③当90°＜α≤135°时，∠BAD＝90°－γ＝45°－β，故γ－β＝45°，即∠CAD－∠BAE＝45°；
④当135°＜α＜180°时，∠BAD＝γ－90°＝β－45°，
故γ－β＝45°，即∠CAD－∠BAE＝45°.
综上，当0°＜α≤45°时，∠BAE－∠CAD＝45°，当45°＜α≤90°时，∠BAE＋∠CAD＝45°，当90°＜α＜180°时，∠CAD－∠BAE＝45°.
(3)当三角板ADE旋转速度为5°/s，且它的一边与三角板ABC的某一边平行(不共线)时，求出时间t的所有值．
解：①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3；
②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9；
③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；
④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；
⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30.
综上，t的值为3或9或21或27或30.(共28张PPT)
阶段综合训练【范围：5.1～5.3】
第5章 轴对称与旋转
B
D
A
C
D
B
B
C
B
C
B
对称轴
52
120
70°
60°
②
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见习题
18
见习题
19
见习题
20
1.【中考·邵阳】下列图形中，是轴对称图形的是( )
B
B
2．【中考·宜昌】下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片，从对称美的角度看，拍得最成功的是( )
C
3．【2021·永州】如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是( )
4．如图，直线l是五边形ABCDE的对称轴，其中∠C＝100°，∠ABC＝130°，已知五边形的内角和等于540°，那么∠BEA的度数等于( )
A．45° B．50° C．60° D．65°
B
5．如图，三角形ABC是以直线m为对称轴的轴对称图形，若BC＝8，AD＝7，则阴影部分的面积是( )
A．56
B．28
C．14
D．无法确定
【答案】C
6．如图，在方格中的四叶风车，其中一个叶轮旋转一定角度后与相邻的叶轮重合，则这个旋转角度至少是( )
A．45° B．90°
C．60° D．120°
B
【点拨】这个风车可以分成4个完全相同的部分，因而要使其中一个叶轮与相邻的叶轮重合，旋转的最小角度是360°÷4＝90°.
7．如图①②③中的图形之间的变换分别属于( )
A．平移、旋转、旋转
B．平移、轴对称、轴对称
C．平移、轴对称、旋转
D．平移、旋转、轴对称
D
8．如图，在正六边形ABCDEF中，可以由三角形AOB经过旋转得到的三角形有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
A
【点拨】可以由三角形AOB经过旋转得到的三角形有三角形BOC、三角形COD、三角形DOE、三角形EOF、三角形AOF，共5个．
9．【2021·广安】如图，将三角形ABC绕点A逆时针旋转55°得到三角形ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC
于点F，则∠BAC的度数为( )
A．65° B．70° C．75° D．80°
C
【点拨】因为将三角形ABC绕点A逆时针旋转55°得到三角形ADE ，所以∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°.因为AD⊥BC，所以∠AFC＝90°，所以∠DAC＝20°，所以∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝75°.故选C.
10.【创新题】【2021·青岛即墨区期末】将一副直角三角板按如图所示方式放置，现将含30°角的三角板固定不动，把含45°角的三角板绕O点按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行
时，含45°角的三角板旋转的时间为( )
A．5秒 B．7秒
C．5秒或17秒 D．7秒或19秒
【点拨】如图．
当AB∥DO时，∠AOD＝∠A＝30°，
因为∠DOE＝45°，
所以旋转角∠COE＝180°－
∠AOD－∠DOE＝105°，
105°÷15°＝7(秒)；
将三角形ODE继续逆时针旋转180°，可得到AB∥OD′，
【答案】D
此时，旋转了105°＋180°＝285°，
285°÷15°＝19(秒)．
综上，当两块三角板的斜边平行时，含45°角的三角板旋转的时间为7秒或19秒．
故选D.
【点拨】如图，共3个．
11．如图所示的2×4的正方形网格中，三角形ABC的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与三角形ABC成轴对称的格点三角形一共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B
12．用长方形纸条折叠后剪出一个图案，展开后折痕所在直线是整个图案的________________．
对称轴
13．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，∠D＝128°，则∠B的大小为 ________°.
52
14．【教材改编题】时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的角度是________度．
120
15．如图，三角形ABC中，∠ABC＝40°,∠C＝30°，将三角形ABC绕点B逆时针旋转α(0°＜α≤90°)得到三角形DBE，若DE∥AB，则α为________．
70°
16．若一个75°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是________．
60°
17.【教材改编题】如图，将图①以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°,则第2 021次旋转后的图形是_______ (选填正确图形的序号)．
【点拨】观察图形，将图①以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，得到下一个图形，每旋转四次得到原来的图形，而2 021＝505×4＋1，所以第2 021次旋转后的图形是②.
②
18．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，三角形PMN的周长为15 cm，求线段P1P2的长．
解：因为P点关于OA，OB的对称点分别
为P1，P2，所以PM＝P1M，PN＝P2N，
所以三角形PMN的周长＝PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋P2N＝P1P2.因为三角形PMN的周长是15 cm，
所以P1P2＝15 cm.
19．利用轴对称变换可设计出美丽的图案．在1格长为1的方格纸中，有如图所示的四边形(顶点都在格点上)．
(1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，
再作出你所作的图形连同原四边形绕O点按
顺时针方向旋转90°后的图形；
解：如图所示．
(2)完成上述设计后，试求整个图案的面积．
20．如图所示的图案是由7个正六边形组成的，下面是三名同学对该图案的形成过程的不同见解．
甲：该图案可看成是由其中一个正六边形经过6次平移而形成的．
乙：该图案可看成是由图案的
一半经过轴对称变换而形成的．
丙：该图案可看成是由图案的一半以一点为旋转中心，旋转180°而形成的．
你认为上述见解都正确吗？
解：甲从平移的角度，以一个正六边形为基础图形进行分析；乙从轴对称的角度，以图案的一半为基础图形进行分析；丙从旋转的角度，以图案的一半为基础图形进行分析．虽然各自分析的角度不同，但是他们的见解都是正确的．
方法总结：分析图案的形成过程可分为两步：①确定图案中的基础图形；②分析变换方法．例如本题中将其中的任意一个正六边形作为基础图形，那么变换方法既可以是平移，也可以是旋转或轴对称．
