2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形 同步练习(word版含答案)

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》课题同步练习（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　）
A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm
2．在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）
A．40° B．55°
C．70° D．40°或55°或70°
3．一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．11或12或13
4．已知△ABC的周长是16，且AB＝AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是12，则AD的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
6．如图，∠EAF＝18°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则AE等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
9．如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝12cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 　 　．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD＝ED，∠CDE＝72°，则∠B的大小等于 　 　（度）．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．在点D的运动过程中，∠BDA的度数为 　 　时，△ADE的形状是等腰三角形．
12．如图，平面直角坐标系内有一点A（﹣1，0），B（2，4），O是坐标原点，点P在x轴正半轴上运动，如果以P，B，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么点P的坐标为 　 　．
13．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD，若∠B＝52°，∠C＝43°．求∠DAC的度数．
14．在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，线段CD和CE分别为△ABC的角平分线和高线，求∠ADC和∠DCE的度数．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝50°，求∠CDE的度数．
16．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，求证：△BPM是等腰三角形．
18．如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，求证：
（1）∠AED＝90°；
（2）△ADC是等腰三角形．
19．如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．
求证：△ABD是等腰三角形．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝16，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝6．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
21．已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．
参考答案
1．解：在Rt△ADC中，点E为AC的中点，
∴DC＝BC，DE＝AC，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝×20＝10（cm）．
故选：A．
2．解：等腰三角形中已知∠A＝70°，分两种情况讨论：
①∠A为底角，那另外两个角为70°和40°，
②∠A为顶角，那另外两个角为55°．
所以∠B的度数是70°或55°或40°．
故选：D．
3．解：当2为底时，其它两边都为5，2、5、5可以构成三角形，周长为12；
当2为腰时，其它两边为2和5，因为2+2＜5，所以不能构成三角形，故舍去．
故这个等腰三角形的周长为12．
故选：B．
4．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC．
∵AB+AC+BC＝16，
即AB+BD+CD+AC＝16，
∴AC+DC＝8，
∵AC+DC+AD＝12，
∴AD＝4．
故选：D．
5．解：分两种情况：
①当80°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，
故它的底角度数是50°或80°．
故选：A．
6．解：∵AB＝BC，
∴∠EAF＝∠BCA＝18°，
∴∠CBD＝∠EAF+∠BCA＝36°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ECD＝∠EAF+∠CDB＝18°+36°＝54°．
故选：B．
7．解：∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝12，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．
故选：C．
8．解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
9．解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图1所示：
∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t
∴当PO＝QO时，
12﹣2t＝t
解得t＝4；
当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t；
∴当PO＝QO时，2t﹣12＝t；
解得t＝12；
故答案为：4s或12s．
10．解：∵AD＝ED，
∴∠A＝∠AED，
∵∠CDE＝∠A+∠AED＝72°，
∴∠A＝36°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
11．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴当∠BDA的度数为 110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
故答案为：110°或80°．
12．解：∵A（﹣1，0），B（2，4），
∴AB＝＝5，
设点P的坐标为（x，0），
则AP＝|x+1|，
BP＝＝，
当AB＝AP时，则|x+1|＝5，
解得x＝4或﹣6，
∵点P在x轴正半轴上运动，
∴P（4，0）；
当AP＝BP时，则|x+1|＝，
解得：x＝，
∴P（）；
当AB＝BP时，则＝5，
解得x＝﹣1或5，
∵点P在x轴正半轴上运动，
∴x＝5，
∴P（5，0），
综上所述，P的坐标为：（5，0）或（4，0）或（）．
13．解：∵∠B＝52°，∠C＝43°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，
由作图可知：BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝64°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝85°﹣64°＝21°．
14．解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣36°）＝72°，
∵线段CD为△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝36°，
在△ACD中，∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∵线段CE为△ABC的高线，
∴∠BEC＝90°，
在△BEC中，∠ECB＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，
所以∠DCE＝∠DCB﹣∠BCE＝36°﹣18°＝18°．
∴∠ADC＝108°，∠DCE＝18°．
15．解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝65°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°．
16．证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°．
∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF．
∴∠A＝∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
17．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠C，
∴∠AMN＝∠C，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）∵BP平分∠ABC，
∴∠MBP＝∠CBP，
∵MN∥BC，
∴∠MPB＝∠CBP，
∴∠MBP＝∠MPB，
∴MB＝MP，
∴△BPM是等腰三角形．
18．证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，
∴∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠ADC，
∴∠ADE+∠DAE＝∠ADC+∠BAD＝（∠ADC+∠BAD）＝90°，
∴∠AED＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝90°；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴△ADC是等腰三角形．
19．证明：∵BD、AE分别是AC、BC边上的高，
∴BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠ADF＝90°，∠DBC+∠BFE＝∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠CBD＝∠DAF，
在△BCD和△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（AAS），
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
20．解：（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，
又∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°＝20°，
故∠CAD度数为20°；
（2）∵NM∥AC，
∴∠ANM＝∠CAD，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠ANM＝∠BAD，
∴AM＝NM，
∴△BMN的周长＝MB+BN+NM＝AB+BN，
∵AB＝16，BN＝6，
∴△BMN的周长＝16+6＝22．
故△BMN的周长为22．
21．（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，
∴∠B＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，
（2）证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，
∵∠AFD＝∠B+∠BDF，
∴∠BDF＝α＝∠B，
∴BF＝DF．