2021-2022学年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式 同步达标测试（word版含解析）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-6完全平方公式》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列运算正确的是（　　）
A．3a2b﹣5a2b＝﹣2 B．（﹣a2b4）2＝a4b8
C．（﹣2）﹣2＝4 D．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2
2．小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
3．若x2+（a﹣1）x+25是一个完全平方式，则a值为（　　）
A．﹣9 B．﹣9或11 C．9或﹣11 D．11
4．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中小方形的面积为4，每个小长方形的面积为15，若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中xy），现给出以下关系式：①x﹣y＝3；②x+y＝8；③x2﹣y2＝16；④x2+y2＝34．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若a2+2a+b2﹣6b+10＝0，则（　　）
A．a＝1，b＝3 B．a＝﹣1，b＝﹣3 C．a＝1，b＝﹣3 D．a＝﹣1，b＝3
6．将四个长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝2S2，则a，b满足（　　）
A．a＝2b B．a＝3b C．2a＝3b D．2a＝5b
7．已知（2022﹣x）（2020﹣x）＝2021，那么（2022﹣x）2+（2020﹣x）2的值是（　　）
A．20212 B．4042 C．4046 D．2021
8．要使多项式（x﹣1）（x+3）（x﹣4）（x﹣8）+m为一个完全平方式，则m等于（　　）
A．12 B．24 C．98 D．196
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，则xy＝　 　，x+y＝　 　．
10．已知m2﹣6m﹣1＝0，求2m2﹣6m+＝　 　．
11．已知（a+b）2＝2024，（a﹣b）2＝2020，则ab＝　 　．
12．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，则x+y+z＝　 　．
13．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，则a＝　 　．
14．有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．已知x2+y2＝25，x+y＝7，求xy和x﹣y的值．
16．已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．
17．已知x﹣y＝6，xy＝﹣8，
（1）求x2+y2的值；
（2）求代数式的值．
18．阅读理解：
①32+42＞2×3×4
②32+32＝2×3×3；
③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；
④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×5
（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；
（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；
（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．
19．如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于　 　．
（2）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
方法①　 　；方法②　 　．
（3）观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：　 　．
（4）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值．
20．认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　 　；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝4，求阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：A、3a2b﹣5a2b＝﹣2a2b，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣a2b4）2＝a4b8，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（﹣2）﹣2＝，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：C．
3．解：x2+（a﹣1）x+25＝x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，则（a﹣1）x＝±2 x 5，
解得：a＝﹣9或11．
故选：B．
4．解：由题意得，（x﹣y）2＝4，xy＝15，
∴x﹣y＝2；
x+y＝8；
x2﹣y2＝（x+y） （x﹣y）＝2×8＝16；
x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝4+2×15＝4+30＝34，
故②③④正确，
故选：C．
5．解：∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0，
∴（a2+2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0，
即（a+1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a＝﹣1，b＝3．
故选：D．
6．解：∵S1＝2×b（a+b）+2×ab+2×（a﹣b）
＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣（a2+2b2）
＝2ab﹣b2，
又∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故选：A．
7．解：∵（2022﹣x）（2020﹣x）＝2021，
∴（2022﹣x）（x﹣2020）＝﹣2021，
∵[（2022﹣x）+（x﹣2020）]2＝（2022﹣x）2+（x﹣2020）2+2（2022﹣x）（x﹣2020），
∴原式＝（2022﹣x）2+（x﹣2020）2
＝[（2022﹣x）+（x﹣2020）]2﹣2（2022﹣x）（x﹣2020）
＝4﹣2×（﹣2021）
＝4+4042
＝4046．
故选：C．
8．解：多项式（x﹣1）（x+3）（x﹣4）（x﹣8）+m可化为
（x﹣1）（x﹣4）（x+3）（x﹣8）+m，
∴（x2﹣5x+4）（x2﹣5x﹣24）+m，
把x2﹣5x看成一个整体，设x2﹣5x＝y，
则（y+4）（y﹣24）+m为完全平方式，
故y2﹣20y+m﹣96为完全平方式，
即为：（y﹣10）2，故m﹣96＝100，
∴m＝100+96＝196．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：∵x﹣y＝1，
∴x2﹣2xy+y2＝1，
∵x2+y2＝25，
∴xy＝12；
设x+y＝a，
∴x2+2xy+y2＝a2，
∴49＝a2，
∴a＝±7
∴x+y＝±7；
故答案为：12；±7．
10．解：由m2﹣6m﹣1＝0得；2m2﹣6m＝1+m2，，
∴2m2﹣6m+＝1+m2+＝1+2＝1+62+2＝39．
故答案为：39．
11．解：∵（a+b）2＝2024，（a﹣b）2＝2020，
∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2024﹣2020＝4，
∴ab＝1．
故答案为：1．
12．解：∵x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，
∴x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9＝0，
∴（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，z﹣3＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，z＝3，
故x+y+z＝1﹣2+3＝2．
故答案为：2．
13．解：原式＝（x+y）2﹣a（x+y）+52，
∵原式为完全平方式，
∴a（x+y）＝±2×5 （x+y），
解得a＝±10．
故答案为：±10．
14．解：正方形A的边长为a，正方形B的边长b，
由题意得，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，
∴a2+b2＝1+2ab＝1+12＝13，
即：A、B两个正方形的面积之和为13，
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴25＝72﹣2xy，
∴xy＝12，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝25﹣2×12＝1，
∴x﹣y＝±1．
16．解：，①
，②
由①+②，得
a﹣c＝，③
∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝++＝，
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝，
∵a2+b2+c2＝1，
∴2﹣2（ab+bc+ca）＝，
∴ab+bc+ca＝＝．
17．解：（1）∵x﹣y＝6，xy＝﹣8，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝36﹣16＝20；
（2）∵（x+y+z）2+（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣z（x+y），
＝（x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz）+[（x﹣y）2﹣z2]﹣xz﹣yz，
＝x2+y2+z2+xy+xz+yz+x2+y2﹣xy﹣z2﹣xz﹣yz，
＝x2+y2，
又∵x2+y2＝20，
∴原式＝20．
18．解：（1）规律是：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab；
（2）∵（a﹣b）2≥0，
∴a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（3）∵a2+b2≥2ab，
∴（a+b）2﹣2ab≥2ab，
（a+b）2≥4ab，
ab≤（a+b）2＝×16＝4．
故ab的最大值是4．
19．解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝m﹣n；
（2）方法①（m+n）2﹣4mn；
方法②（m﹣n）2；
（3）这三个代数式之间的等量关系是：
（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∵a+b＝6，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝36﹣20＝16，
∴a﹣b＝±4．
故答案为m﹣n；（m+n）2﹣4mn （m﹣n）2；（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．
20．解：（1）阴影部分面积为两个正方形面积的和，即a2+b2；阴影部分面积为大正方形面积减去两个矩形面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）阴影部分面积相等，即得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）∵阴影部分的面积＝S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF＝m2+n2﹣m2﹣（m+n）n，
∴阴影部分的面积＝m2+n2﹣mn＝（m2+n2）﹣mn＝[（m+n）2﹣2mn]﹣mn，
∵m+n＝mn＝4，
∴阴影部分的面积＝[（m+n）2﹣2mn]﹣mn＝×[42﹣2×4]﹣×4＝2，
答：阴影部分面积为2．