1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 练习题 -2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修2-3（含答案）

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
一、选择题
1.的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．第6项　　 B．第8项
C．第5,6项 D．第6,7项
2．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为(　　)
A．5 B．10
C．20 D．40
3．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)
A．64 B．32
C．63 D．31
4．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．212 B．211
C．210 D．29
5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
6．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　)
A．第9项 B．第8项
C．第7项 D．第6项
7．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为(　　)
A．－35x4 B．35x3
C．－35x4和35x3 D．－35x3和35x4
二、填空题
8．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
9．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.
10．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
11．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第8项T8＝________.
12．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．
三、解答题
13．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
14．对二项式(1－x)10，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；
(2)求展开式中各二项式系数之和；
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
15．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋))展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．
参考答案
1答案D　[由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．]
2答案B　[因为的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－r＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10.]
3答案B　[由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.]
4答案D　[因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.]
5答案A　[a＝C＝70，设b＝C2r，则
得5≤r≤6，
所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.]
6答案B　[展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．]
7答案C　[由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选C.]
8答案81　[由C＝C可知n＝4，令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.]
9答案34　[由已知，得＝，化简得＝，解得n＝34.]
10答案2n－1　[由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，
所以an＝2n－1.]
11答案120aeq \s\up12()　[C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120aeq \s\up12().]
12答案－121　[展开式中含x3的项的系数为
C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.]
13[解]　(1)令x＝0，则a0＝－1，
令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128. ①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则
－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7， ②
由，得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256.
(3)由，得
a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128.
14[解]　(1)展开式共11项，中间项为第6项，
T6＝C(－x)5＝－252x5；
(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024.
(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
15[解]　(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第r＋1项，则
Tr＋1＝Cx8－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝Cmrx8－2r，
令8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，
解得m＝±.
(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．
则
化简可得≤r≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即
所以m只能等于2.