6.1平面向量的概念同步训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

6.1 平面向量的概念（同步训练）
基础过关练
1．下列说法中，正确的个数是(　　)
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1　 B．2　 C．3　 D．4
2．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是(　　)
A．＝ B．∥ C．||＝|| D．＝
4．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A．与 B．与 C．与 D．与
5．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________，与相等的向量是________．
6．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；
④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．
其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
8．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1.5，求||的大小．
9．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个？
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
能力提升练
10．(2021年河南模拟)(多选)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是(　　)
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．(A∩B) {a}
11．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍 D．与不共线
12．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．
13．(2021年哈尔滨月考)已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为________．
14．(2021年郑州模拟)当与是平行向量，且||＝2||＝2时，||＝________．
15．(2021年昆明月考)飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地的什么方向上？C地距A地多远？
16．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
探索创新练
17．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．此图中，马可以从A处跳到A1处，用向量表示马走了“一步”，也可以跳到A2处，用向量表示．请在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．
参考答案：
1．【答案】B　
【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．【答案】ABC　
【解析】很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
3．【答案】D　
【解析】由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠.故选D．
4．【答案】D　
【解析】∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即＝.
5．【答案】　　
【解析】易知||＝||＝×2＝，与的模相等，方向相同．
6．【答案】①③④　
【解析】相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
7．【答案】3π　
【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
8．解：(1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，.
(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，.
(3)若||＝1.5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3.
9．解：(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．(2)与向量平行且模为的向量共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
10．【解析】因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B中的关系错误．
11．【答案】ABC　
【解析】由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确；在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故选项D错误．
12．【答案】梯形　
【解析】∵∥且||≠||，∴AB∥DC，但AB≠DC．∴四边形ABCD是梯形．
13．【答案】1　
【解析】因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
14．【答案】3或1　
【解析】当与同向时，||＝||＋||＝3；当与反向时，||＝||－||＝1.
15．解：如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则||＝1 400 km.
表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则||＝1 400 km.
所以为飞机从A地到C地的位移．
在△ABC中，AB＝BC＝1 400 km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，
故△ABC为等边三角形，
所以∠BAC＝60°，AC＝1 400 km.60°－15°＝45°.
所以C地在A地北偏东45°方向上，距离A地1 400 km.
16．解：(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
17．解：如图，马在B处只有3步可走，马在C处有8步可走，人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大．