6.2.1 向量的加法运算 同步训练 -2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

6.2.1 向量的加法运算（同步训练）
1．下列等式错误的是(　　)
A．a＋0＝0＋a＝a B．＋＋＝0
C．＋＝0 D．＋＝＋＋
2．在四边形ABCD中，＝＋，则一定有(　　)
A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　)
A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km
4．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是(　　)
A．＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
5．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的是(　　)
A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
6．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
7．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A．0 B．
C． D．
8．已知有向线段，不平行，则(　　)
A．|＋|>|| B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋|| D．|＋|<||＋||
9．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
10．在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝________，|＋|＝________．
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
12．如图所示，点G是△ABC的重心，则＋＋＝________．
13.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N．绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为________N，方向为________
14.平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
15．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.
求证：＋＝＋.
16．如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；(2)＋＋＝0.
17．在长江某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
参考答案及详细解析：
1．【答案】B　
【解析】＋＋＝＋＝2≠0.故B错．
2．【答案】D　
【解析】由＝＋得＝，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形ABCD为平行四边形．
3．【答案】B　
【解析】如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B．
4．【答案】ABD　
【解析】在A中，＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.
5．【答案】ACD　
【解析】a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
6．【答案】AC　
【解析】∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．
7．【答案】D　
【解析】∵在正六边形ABCDEF中，＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝.
8．【答案】D　
【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，|＋|<||＋||.
9．【答案】D　
【解析】设线段BC的中点为O(图略)，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|＋|＝2||，又|＋|＝，故||＝，又AB＝AC＝1，所以∠AOB＝∠AOC＝90°，BO＝CO＝，所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．
10．【答案】1　　
【解析】易知|＋|＝||＝1.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝.
11．【答案】1　
【解析】在菱形ABCD中，连接BD，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为||＝1，所以||＝1，所以|＋|＝||＝1.
12．【答案】0　
【解析】如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0.
13.【答案】12　竖直向上　
【解析】以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，即＋＝，则∠OAC＝60°，||＝24，||＝||＝12，∴∠ACO＝90°，∴||＝12.∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上．
14．证明：∵＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＝4＋(＋＋＋)＝4＋(＋)＋(＋)＝4＋0＋0＝4，
∴＋＋＋＝4.
15．证明：∵＝＋，＝＋，∴＋＝＋＋＋.
又∵＋＝0，∴＋＝＋.
16．证明：(1)由向量加法的三角形法则，∵＋＝，＋＝，∴＋＝＋.
(2)由向量加法的平行四边形法则，∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0＋0＋0＝0.
17．解：如图，表示水速，表示渡船实际垂直过江的速度，以AB为一边，AC为对角线作平行四边形，就是船的速度．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°.
所以渡船的航向为北偏西30°.