5.3.1导数在函数中的应用-函数的单调性分类练习（word版含答案）

5.3.1导数在函数中的应用——函数的单调性
◎利用导数判断函数的单调性
1．（2021·全国·高二课时练习）设函数，则（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
2．（2021·西藏·日喀则市南木林高级中学高二期末（理））如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．函数在区间上是减函数
B．函数在区间上是减函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数在区间上是单调函数
◎利用导数求函数的单调性区间
1．（原创）求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）
2．（2021·全国·高二课时练习）求函数的单调递减区间．
◎导数与函数性质综合
1．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高二期末（文））设是定义在R上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
◎函数单调性的参数范围问题
1．（2019·内蒙古乌达·高二期末（文））若函数的单调递减区间为，则实数的值为
A． B． C． D．
2．（2021·福建·莆田第十五中学高二阶段练习）函数在R上是减函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高二单元测试）（多选）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河北·深州长江中学高二期末）已知函数.
(1)若，求的单调递增区间；
(2)已知在区间上单调递增，求实数的取值范围.
◎函数单调性的参数讨论问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性；
2．（2021·广东普宁·高二期中）已知函数，讨论在定义域内的单调性．
巩固提升
一、单选题
1．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数，则的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
4．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若对任意的，，且，都有，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
7．下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝x﹣（）x B．y＝x+sinx
C．y＝3﹣x D．y＝x2+2x+1
8．(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．f(b)>f(a) B．f(d)>f(e)
C．f(a)>f(d) D．f(c)>f(e)
9．已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________.
11．若函数在区间上具有单调性，则a的取值范围是________．
12．已知函数，则不等式的解集为___________.
四、解答题
13．证明函数是R上的增函数．
14．利用导数判断下列函数的单调性:
（1）；
（2）；
（3）.
15．设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
(2)讨论函数的单调性.
16．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围.
17．已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上的单调性.
参考答案
◎利用导数判断函数的单调性
1．B
解：由题可知，
，
又当，则，
，
故是上的增函数，故.
故选：B.
2．A
由函数的导函数的图像知，
A：时，，函数单调递减，故A正确；
B：时，或，
所以函数先单调递减，再单调递增，故B错误；
C：时，，函数单调递增，故C错误；
D：时，或，
所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D错误.
故选：A
◎利用导数求函数的单调性区间
1．（1）在单调递减, 在上单调递增.（2）在单调递减，在上单调递增.
（1），
，
所以在上单调递增，在单调递减.
（2），
令，
所以在上单调递增，在单调递减.
2．.
解：，可知函数的定义域为，
，
令，即，解得：，
所以函数的单调递减区间为.
◎导数与函数性质综合
1．A
因为当时，有恒成立，即恒成立，
所以在内单调递减．
因为（3），
所以在内恒有；在内恒有．
又因为是定义在上的奇函数，
所以在内恒有；在内恒有．
又不等式的解集，即不等式的解集．
∴不等式的解集为
故选：A．
◎函数单调性的参数范围问题
1．D
由f′（x）=3x2﹣a，f（x）的单调递减区间为（﹣1，1），
可得方程3x2﹣a=0的根为±1，∴a=3．
故选：D．
2．B
解：，
因为函数在R上是减函数，所以在R上恒成立，
当时，，符合，
当时，由得，解得，
综上所述，.
故选：B.
3．AC
定义域为，；
由得函数的增区间为；
由得函数的减区间为；
因为在区间上单调，
所以或
解得或；
结合选项可得A,C正确.
故选：AC.
4．(1)单增区间为，
(2)
(1)
由题可知：，
当时，，由得：或，
故的单增区间为，.
(2)
由（1）可知，
若在区间上单调递增，则对恒成立，
即对恒成立，
结合，从而，即对恒成立，于是.
◎函数单调性的参数讨论问题
1．答案见解析
函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
2．答案见解析
解：的定义域为
，
①当时，，
即，所以在上是增函数
②当时，令，
则，
∴，，
所以时，，
时，，
所以在上是减函数，
在上是增函数；
综上：当时，所以在上是增函数
当时，在上是减函数，在上是增函数
巩固提升
1．A
原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.
所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.
所以A选项符合.
故选：A
2．C
解：因为函数，所以，
令，得，所以的单调增区间为，
故选：C.
3．C
解：因为，
所以函数为偶函数，
，
当时，，所以函数在上递增，
则，所以，
所以.
故选：C．
4．D
由可得，
设，则
对任意恒成立
对任意恒成立
在R上单调递增，又
所以原不等式等价于
解得，故选项D正确.
故选：D.
5．B
由题意，在上恒成立，则在上恒成立，因为，所以.
故选：B.
6．A
因为，所以由可得，
，即．
所以在上是减函数，
，
当时，，递增，时，，递减，
即的减区间是，
所以由题意的最小值是．
故选：A．
7．ABD
对于A，∵与，都是增函数，∴在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于B，y＝x+sinx，其导数y′＝1+cosx，由y′≥0在R上恒成立，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，y＝3﹣x，是一次函数，在R上是减函数，不符合题意；
对于D，y＝x2+2x+1＝（x+1）2，是二次函数，其开口向上，对称轴为x＝﹣1，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：ABD．
8．ABD
由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈(c，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函数，在(c，e)上是减函数，
且，
所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).
故选：ABD
9．ABC
由题意有方程在区间内有唯一实数根，
即方程在区间内有唯一实数根，令，
，所以在区间内单调递增，
所以，所以，
因为，，
故选：ABC
10．(1，2)
f′(x)＝6x2－18x＋12，
令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.
故答案为：(1，2)
11．
，函数在区间上具有单调性等价于或在上恒成立，
则或，设，
当时，取得最大值，，当时，取得最小值，
所以或．
故答案为：
12．
由题设，且定义域为，故为奇函数，
又，在定义域上递增，
∴，可得，
∴，解得，
∴原不等式解集为.
故答案为：.
13．证明过程见详解
，因为，所以，则恒成立，所以函数是R上的增函数
14．（1）递增；（2）递减；（3）和上单调递增.
（1）因为， 所以
所以在R上单调递增.
（2）因为， 所以
所以，函数在 上单调递减.
（3）因为， ，所以
所以，函数在 和上单调递增.
15．(1)
(1)
由题意知，，
又
即 ，解得；
(2)
已知，令，知
当时，，此时函数在单调递增
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
16．(1)在、上递增，在上递减；
(2).
(1)
由题设，且定义域为，则，
当或时，；当时，.
所以在、上递增，在上递减.
(2)
由题设，在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，满足题设；
当时，，可得.
综上，.
17．(1)
(2)答案见解析
(1)
当时，，则，
故切线的斜率.
又.
所以函数在处的切线方程为：.
(2)
由，得
①当时，在上单调递减；
②当时，在上单调递减；
③当时，令，得
当时，在上单调递减；
当时，在单调递增；
④当时，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.