6.2.3 向量的数乘运算 同步训练 -2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

6.2.3 向量的数乘运算（同步训练）
1．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的是(　　)
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
2．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么＝(　　)
A．－ B．＋ C．＋ D．－
3.(2021年宁德月考)在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
4．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
5．(2021年武汉模拟)(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n
6．(2021年福建模拟)(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的是(　　)
A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2
7．(2021年厦门月考)设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　)
A．k＝m B．km－1＝0 C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
8．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝，b＝，则＝(　　)
A．a－b　 B．a＋b
C．a－b　 D．a＋b
9．下列各组向量中，能推出a∥b的是(　　)
①a＝－3e，b＝2e；②a＝e1－e2，b＝－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.
A．①　 B．①②　 C．②③　 D．①②③
10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设＝x1＋y1，＝x2＋y2，则＋＝(　　)
A．　 B．2　　　　C．　　　　D．＋1
11.已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4x b＋3(y＋9)a，则x＝________；
y＝________．
12．(2021年北京模拟)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________．
13.设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________
14．(2021年汉中月考)如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；(2)＝________．
15．(2021年河南模拟)如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
16．化简：
(1)－2；(2)4(a－b)－3(a＋b)－b.
17．如图，在△BOC中，A是边BC的中点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.试用a和b表示向量，.
18．如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
19．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．
参考答案及详细解析：
1．【答案】ABD　
【解析】当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．|－λa|表示一个数，|λ|a表示一个向量，不可能相等，选项D错误；故选ABD．
2．【答案】D　
【解析】＝＋＝＋＝－.
3．【答案】C　
【解析】由条件可知＝－，所以AB∥CD．又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．
4．【答案】B　
【解析】∵＝λ＋，∴－＝λ.∴＝λ.∴P，A，C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．
5．【答案】AB　
【解析】A正确；B正确；C错误，由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b；D错误，由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.
6．【答案】ABC　
【解析】对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线．
7．【答案】B　
【解析】若A，B，C三点共线，则与共线，所以存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，所以所以km＝1，即km－1＝0.
8．【答案】A　
【解析】因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝a＋b.所以＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.
9.【答案】B　
【解析】①中a＝－b，所以a∥b；②中b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；③中b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线．
10．【答案】C　
【解析】由题意，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，
同理，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
∴x1＝y2＝，x2＝y1＝. ∴＋＝＋＝.故选C．
11．【答案】3　－4　
【解析】因为a与b不共线，根据向量相等得解得
12．【答案】2　
【解析】∵－3＋2＝0，∴－＝2(－)，∴＝2，∴＝2.
13．【答案】－4　
【解析】因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0 k＜0)．
14．【答案】(1)e2＋e1　(2)e1－e2　
【解析】因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
15．【答案】3　
【解析】因为，共线，设＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则＝2－，＝2k－k，又＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3.
16．解：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
17．解：(1)＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－＝2a－b；
＝＋＝＋2(－)＝2－＝2a－b.
18．证明：在△BCD中，∵G，F分别是CD，CB的中点，∴＝，＝.∴＝－＝－＝.同理＝.∴＝.又∵G，F，H，E四点不在同一条直线上，∴GF∥HE，且GF＝HE.∴四边形EFGH是平行四边形．
19．(1)证明：当a＝，b＝时，＝＋，所以(－)＝(－)，即2＝.所以与共线．又与有公共点C，所以A，B，C三点共线．
(2)解：a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥.
不妨设＝λ(λ∈R)，所以－＝λ(－)，即＝(1－λ)＋λ.
又＝a＋b，且，不共线，则所以a＋b＝1(定值)．