6.2.4 向量的数量积 同步训练 -2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

6.2.4 向量的数量积（同步训练）
基础过关
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　)
A．　　　B．　　　C．1＋　　　D．2
2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝(　　)
A．2 B． C．2 D．4
3．(2021年广州期末)已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝(　　)
A．18 B．－18
C．±18 D．0
4．(2021年安阳月考)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
5．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
6．(2021年开封月考)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
7．(2021年焦作模拟)已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
8．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．外心　 B．内心　
C．重心　 D．垂心
9．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
10．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________．
11.已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；(2)求向量a与向量a＋b的夹角的余弦值．
能力提升
13．(2021年安徽期末)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是(　　)
A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
14.(2021年重庆模拟)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于(　　)
A．2 B． C． D．
15．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)
A．等边三角形　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形　 D．直角三角形
16．(2021年南通模拟)若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
17．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
18．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________；
|2a－b|＝________．
19．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.
20．(2021年荆门月考)已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
21.设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
探索创新
22．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　)
A．e1在e2方向上的投影向量为cosθe2 B．e＝e
C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1
23．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足＝＝λ，当·＝0时，则λ的值为________．
参考答案及详细解析：
1．【答案】B　
【解析】a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
2．【答案】B　
【解析】[|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.]
3．【答案】C　
【解析】当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18.故选C．
4．【答案】C　
【解析】因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
5．【答案】ACD　
【解析】A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，D错．故只有选项B正确．故选ACD．
6．【答案】C　
【解析】因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以·＝1××cos 150°＝－.
7．【答案】C　
【解析】|a－2b|＝|a＋b| (a－2b)2＝(a＋b)2 a·b＝b2 cos〈a，b〉＝＝＝.
8．【答案】D　
【解析】由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
9．【答案】　
【解析】由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.
10．【答案】3　
【解析】|2a－b|＝ (2a－b)2＝10 4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10 |b|＝3.
11.解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝，所以|a|·|b|cos θ＝，得cos θ＝.
因为0°≤θ≤180°，即θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，所以|a－b|＝.
12．解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.
∴|a＋b|＝＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a与向量a＋b的夹角的余弦值为＝＝.
13．【答案】ACD　
【解析】根据向量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；D正确．
14．【答案】D　
【解析】·＝||||cos∠DAC＝||·cos＝||sin∠BAC＝||sin B＝||sin B＝||＝.
15．【答案】D　
【解析】因为2＝·＋·＋·，所以2－·＝·＋·，所以·(－)＝·(－)，所以·＝2，所以·(＋)＝0，所以·＝0，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
16．【答案】D　
【解析】∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.
17．【答案】－　
【解析】∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b.∴a·b＝－|b|2.∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
18．【答案】　2　
【解析】由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2.
【答案】5或－8
【解析】[因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.
20．解：∵a⊥b，∴a·b＝0.由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0，∴k＝(t2－3t)＝－.
故当t＝时，k取最小值，为－.
21.解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝<0，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简得2t2＋15t＋7<0.解得－7当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则∴
∴所求实数t的取值范围是
∪.
22．【答案】ABC　
【解析】因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θe2＝cos θe2，故A正确；e＝e＝1，故B正确；(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0，故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误．
23．【答案】　
【解析】由AB＝4，BC＝CD＝2，得与夹角为60°，与夹角为120°，与的夹角为60°，则·＝4×2×＝4，·＝4×2×＝－4，·＝2×2×＝2.
∵＝＝λ，∴＝λ，＝λ，则
＝＋＝＋λ，＝－＝λ－.
∴·＝(＋λ)·(λ－)＝λ||2－·＋λ2·－λ·＝0，
即16λ－4－4λ2－2λ＝0，
∴2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝(舍去)或λ＝.