6.3.1 平面向量基本定理 同步训练 -2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

6.3.1 平面向量基本定理（课时训练）
【巩固基础】
1.设e1，e2是平面内两个向量，则有(　　)
A.e1，e2一定平行
B.e1，e2的模一定相等
C.对于平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D.若e1，e2不共线，则对平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
2.设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)
A.0,0　　　　B.1,1
C.3,0 D.3,4
3.(多选题)已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是(　　)
A.{e1＋e2，e1－e2} B.{3e1－2e2,4e2－6e1}
C.{e1＋2e2，e2＋2e1} D.{e2，e1＋e2}
4.在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)
A.(a＋b)　 B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
5.若D点在△ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A.　 B.　 C.　　　　D.
6.如图，在正方形ABCD中，点E满足＝，点F满足＝2，那么＝(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
7.设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
8.设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________
9.若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________
10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________
11.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与.
12.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
【提升素养】
13.(多选题)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是(　　)
A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对
C.若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D.若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
14.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心　　　
C.重心　　D.垂心
15.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比为________
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ＞0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，则λ＝________，μ＝________.
【拓展思维】
17.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．
(1)试用向量a，b来表示，；(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
参考答案及详细解析：
1.答案：D　
解析：由平面向量基本定理知D正确．
2.答案：D　
解析：因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4.
3.答案：ACD　
解析：∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．A、C、D选项均可．
4.答案：C　
解析：因为＝2，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
5.答案：C　
解析：因为＝4＝r＋s，所以＝＝(－)＝r＋s.
所以r＝，s＝－.所以3r＋s＝－＝.
6.答案：C　
解析：＝＋＋＝－＋＋＝－＋.故选C．
7.答案：D　
解析：如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋.
8.答案：a－b　
解析：由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b，
所以e1＋e2＝a－b.
9.答案：2　
解析：∵向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝λa，即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.
∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
∴∴k＝2.
10．答案：　
解析：如图，由题意知，D为AB的中点，＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，所以λ1＋λ2＝－＋＝.
11.解：在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，
∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a，＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
12.解：在矩形OACB中，＝＋，
又＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ＝＋，
所以＝1，＝1，所以λ＝μ＝.
13.答案：AD　
解析：由平面向量基本定理，可知AD说法正确，B说法不正确．对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C不正确．
14.答案：B　
解析：[为上的单位向量，
为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，
∴λ的方向与＋的方向相同．
而＝＋λ，∴点P在上移动，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
15.答案：1∶4　
解析：如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ λ＝，
所以＝，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.
16．答案：3，　
解析：依题意得＝b－a，＝a＋b，且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝a＋b，即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得解得]
17.解：(1)因为AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b.因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥，
设＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b.
因为D，O，N三点共线，所以∥，存在实数μ使＝μ，则λa＋b＝μ.
由于向量a，b不共线，则解得所以＝，＝，
所以AO∶OM＝3∶11.