6.3.1平面向量基本定理同步训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

6.3.1 平面向量基本定理（同步训练）
基础过关
1.设e1，e2是平面内两个向量，则有(　　)
A.e1，e2一定平行 B.e1，e2的模一定相等
C.对于平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D.若e1，e2不共线，则对平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
2.(2021年达州模拟)(多选)已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为一组基底的是(　　)
A.{e1＋e2，e1－e2} B.{3e1－2e2，4e2－6e1}
C.{e1＋2e2，e2＋2e1} D.{e2，e1＋e2}
3.(2021年福建模拟)设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)
A.0，0 B.1，1 C.3，0 D.3，4
4.(2021年天津期末)在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)
A.(a＋b) B.a＋b C.a＋b D.(a＋b)
5.在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则等于(　　)
A.－a＋b　　B.a－b C.a－b D.a＋b
6.设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
7.设{e1，e2}是平面内的一个基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋______b.
8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．
9.如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示.
10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
能力提升
11.(2021年南通模拟)(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是(　　)
A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对
C.若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D.若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
12.(2021年上海模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A.－ B.－ C. D.1
13.(2021年杭州模拟)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
14.若＝a，＝b，＝λ，则＝(　　)
A.a＋λb　 B.λa＋b
C.λa＋(1＋λ)b　 D.
15.△ABC中，D为AC上的一点，满足＝.若P为BD上的一点，满足＝m＋n(m>0，n>0)，则mn的最大值为________；＋的最小值为________．
16.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________
17.(2021年北京模拟)在平行四边形ABCD中，已知＝a，＝b，E、F分别是边CD和BC上的点，满足＝3，＝3.
(1)分别用a，b表示向量，；(2)若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求出λ＋μ的值．
18.(2021年天门模拟)如图所示，在□ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．
(1)试用向量a，b来表示，；(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
探索创新
19.(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A.　 B.　
C.　　 D.
20.如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若＝ma＋nb，则m＝________，n＝________．
　
参考答案及详细解析：
1.【答案】D　
【解析】由平面向量基本定理知D正确．
2.【答案】ACD　
【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．A、C、D选项均可．
3.【答案】D　
【解析】因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4.
4.【答案】C　
【解析】＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.故选C．
5.【答案】A　
【解析】∵＝，∴＝－.
又∵EF∥BC，∴＝＝(－)，
∴＝＋＝－＋(－)＝－＝－a＋b.
6.【答案】D
【解析】如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，
＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋.
7.【答案】 ，　
【解析】由解得故e1＋e2＝＋＝a＋b.
8.【答案】　
【解析】因为＝＋＝＋＝＋＋，所以＝＋.
所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
9.解：因为D是BC边的四等分点，所以＝＝(－)．
所以＝＋＝＋(－)＝＋.
10.(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得所以λ不存在．故a与b不共线，{a，b}可以作为一个基底．
(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得所以c＝2a＋b.
11.【答案】AD　
【解析】由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法错误．对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C说法错误．
12.【答案】B　
【解析】∵AD为BC边上的中线，E为AD的中点，∴＝＋＝＋＝－＋(－)＝－＋.∵＝λ＋μ，∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝－，故选B．
13.【答案】B　
【解析】为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ＋
∴点P在上移动，∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
14.【答案】D　
【解析】∵＝λ，∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝λ＋.＝.
15.【答案】 ，16　
【解析】因为＝，所以＝.所以＝m＋n＝m＋4n.因为B，P，D三点共线，所以m＋4n＝1，则4mn≤＝，则mn≤，即mn最大值为，当且仅当m＝4n时取等号；＋＝(m＋4n)·＝＋＋8≥2＋8＝16，当且仅当m＝4n时取等号．故答案为，16.
16.【答案】　
【解析】因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝.
17.解：(1)＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b.
(2)若＝λ＋μ，则λ＋μ＝a＋b，∴a＋b＝a＋b.
∵a，b不共线，∴解得λ＋μ＝.
18.解：(1)因为AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b.
因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥，
设＝λ，则＝－＝λ－＝λa＋b－b＝λa＋b.
因为D，O，N三点共线，所以∥，存在实数μ使＝μ，则λa＋b＝μ.
由于向量a，b不共线，则解得所以＝，＝，所以AO∶OM＝3∶11.
19.【答案】C　
【解析】(方法一)连接AC(图略)，由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则－1＋＋＋＝0，得－1＋＋＋＋＝0，得λ＋μ－1＋＝0.又，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.
(方法二)根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT，
所以＝＝λ＋μ.因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝.
20.【答案】 ，　
【解析】根据已知条件，得＝－＝－＝(ma＋nb)－a＝a＋b，
＝－＝－＋＝－b＋a＝a＋b，
∴＝a＋b，＝a＋b，＝－a＋b.
∵＋＝，∴a＋b＝a＋b，∴解得