1.3.1二项式定理练习题-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修2-3（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 1.3.1二项式定理练习题-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修2-3（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 94.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-23 16:14:54 | ||
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文档简介
1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
2．已知 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A． B．－
C．7 D．－7
3．在的展开式中常数项是( )
A．－28 B．－7
C．7 D．28
4．在的二项展开式中，x2的系数为( )
A．－ B.
C．－ D.
5．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
6．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
7．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
二、填空题
8．若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.
9．对于二项式(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．(填序号)
10．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为________．
11．(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为________．
12．如果的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________.
三、解答题
13．已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
14．记的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
15．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
参考答案
1答案D [原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.]
2答案B [T4＝Cx4＝5，则x＝－.]
3答案C [Tk＋1＝C··＝
(－1)k·C··xeq \s\up8(8－k)，
当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·＝7.]
4答案C [Tk＋1＝C·＝(－1)k22k－6·Cx3－k，令3－k＝2，则k＝1，所以x2的系数为(－1)1×2－4×C＝－，故选C.]
5答案A [展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.]
6答案A [∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3xeq \s\up12()＋3x－xeq \s\up12())，
∴x2的系数是－12＋6＝－6.]
7答案D [512 018＋a＝(13×4－1)2 018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 018＋a能被13整除．]
8答案－2 [Tk＋1＝C·(ax2)5－k＝C·a5－kxeq \s\up12(10－k).令10－k＝5，解得k＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.]
9答案①④ [二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]
10答案－210 [由通项公式得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210.]
11答案330 [x3的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝330.]
12答案8 [Tk＋1＝C()n－k＝Cxeq \s\up8()，由题意知k＝2时，＝2，所以n＝8.]
13[解] 通项公式为：
Tr＋1＝Cxeq \s\up12() (－3)rxeq \s\up12(－)＝C(－3)rxeq \s\up12().
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.
即405x2，－61 236,295 245x－2.
14[解] (1)的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，的展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)6－k·＝26－k·C·x6－2k.
依题意，6－2k＝0，得k＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.
15[解] 由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，
所以1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，
此时x7的系数为C＋C＝156.
一、选择题
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
2．已知 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A． B．－
C．7 D．－7
3．在的展开式中常数项是( )
A．－28 B．－7
C．7 D．28
4．在的二项展开式中，x2的系数为( )
A．－ B.
C．－ D.
5．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
6．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
7．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
二、填空题
8．若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.
9．对于二项式(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．(填序号)
10．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为________．
11．(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为________．
12．如果的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________.
三、解答题
13．已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
14．记的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
15．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
参考答案
1答案D [原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.]
2答案B [T4＝Cx4＝5，则x＝－.]
3答案C [Tk＋1＝C··＝
(－1)k·C··xeq \s\up8(8－k)，
当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·＝7.]
4答案C [Tk＋1＝C·＝(－1)k22k－6·Cx3－k，令3－k＝2，则k＝1，所以x2的系数为(－1)1×2－4×C＝－，故选C.]
5答案A [展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.]
6答案A [∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3xeq \s\up12()＋3x－xeq \s\up12())，
∴x2的系数是－12＋6＝－6.]
7答案D [512 018＋a＝(13×4－1)2 018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 018＋a能被13整除．]
8答案－2 [Tk＋1＝C·(ax2)5－k＝C·a5－kxeq \s\up12(10－k).令10－k＝5，解得k＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.]
9答案①④ [二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]
10答案－210 [由通项公式得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210.]
11答案330 [x3的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝330.]
12答案8 [Tk＋1＝C()n－k＝Cxeq \s\up8()，由题意知k＝2时，＝2，所以n＝8.]
13[解] 通项公式为：
Tr＋1＝Cxeq \s\up12() (－3)rxeq \s\up12(－)＝C(－3)rxeq \s\up12().
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.
即405x2，－61 236,295 245x－2.
14[解] (1)的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，的展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)6－k·＝26－k·C·x6－2k.
依题意，6－2k＝0，得k＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.
15[解] 由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，
所以1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，
此时x7的系数为C＋C＝156.