5.2函数的表示方法同步练习word版含答案

5.2 函数的表示方法 同步练习
一、单选题
1．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知f(x)=,则f[f(3)]= A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
5．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为　　
A． B．
C． D．
6．已知函数，则方程的实根的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知函数，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
8．已知，则的解析式可取（ ）
A． B． C． D．
9．设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，能表示集合P到集合Q的函数关系的有
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②
10．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．存在函数f(x)满足：对任意的实数x都有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，则（ ）
A．f(g(1))=11 B．g(f(1))=35
C．f(g(x))=3·2x+3x+2 D．
三、填空题
15．已知函数，则__________.
16．函数的值域是________.
17．函数的值域是______________.
18．对任意两个实数，定义，若，则函数的最大值为_____________.
19．设函数，若，则实数______.
20．已知函数满足则=________.
21．函数的值域___________．
22．已知等差数列的前12项的和为，则的最小值为________.
四、解答题
23．（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数，求函数的解析式.
24．已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当（）时，该图象是斜率为的线段，其中常数且，数列由（）定义.
（1）若，求，；
（2）求的表达式及的解析式（不必求的定义域）；
（3）当时，求的定义域，并证明的图象与的图象没有横坐标大于1的公共点.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
首先求出，再求出即可求解.
【详解】
由，
则.
故选：C
2．A
【解析】
【详解】
由题设可得，，应选答案A．
3．C
【解析】
【分析】
将看做整体，求得f（x）的解析式，进而求其导数，由导数的几何意义，计算可得所求切线的斜率．
【详解】
函数，
即为，
则，
导数为，
可得曲线在点处切线的斜率为4．
故选：C．
4．C
【解析】
【分析】
分类讨论，利用分段函数列出不等式求解即可．
【详解】
当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，因为0<<1，所以a>－3，此时－3【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
5．A
【解析】
【分析】
首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图像，求得结果.
【详解】
分两种情况讨论：
（1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，
从而可以求得，
（2）当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，
可求得，
所以，
从而可选出正确的图象，
故选A.
【点睛】
该题所考查的是有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，有关函数解析式的求法，根据解析式选择合适的函数图象，属于 中档题目.
6．B
【解析】
【分析】
由可得，而由，可得，或，或，或，然后分别解这四个方程，可得答案
【详解】
解：当时，令，则，解得或，
当时，令，则，解得或，
因为，
所以，或，或，或，
由，得，此时，方程无解；
由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，分别或；
由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，即为，
由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，即为，
所以方程的实根的个数为6，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，解题的关键是由可得，从而可得，或，或，或，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
7．A
【解析】
【分析】
由已知得f（e）＝lne＝1，从而f[f（e）]＝f（1），由此能求出结果．
【详解】
∵函数，∴f（e）＝lne＝1，f[f（e）]＝f（1）＝12+2＝3．
故选A．
【点睛】
本题考查函数值的求法，注意分段函数性质的合理运用，属于基础题．
8．A
【解析】
利用换元法，设，得，代入可解得结果.
【详解】
因为，令，则，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用换元法求函数解析式，属于基础题.
9．C
【解析】
【详解】
①的定义域不是集合P；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C．
考点：函数的定义．
10．A
【解析】
【分析】
由函数解析式，先求出的值，即可求解的值.
【详解】
解：因为函数，所以，
所以，
故选：A.
11．BCD
【解析】
【分析】
利用函数的定义判断.
【详解】
A. 当时， ，当 时， ，故错误；
B. 令，得 ，所以 ，即，故正确；
C. 令，得 ，所以 ，即，故正确；
D. 因为，所以存在，故正确；
故选：BCD
12．ABD
【解析】
【分析】
对四个选项逐一验证即可求得结果.
【详解】
对于选项A： ，，则，故A不正确；
对于选项B：，，则，故B不正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：，，则，故D不正确.
故选：ABD.
13．CD
【解析】
【分析】
根据函数的定义：集合M中的每一个数通过对应法则对应后在集合N中都有唯一的一个元素与之对应，逐项判断，可得选项.
【详解】
对于A：当时，，集合中不存在，
对于B：当时，，集合中不存在，
对于C：当时，当时，当时，当时，所以C选项满足函数的定义；
对于D选项：当时，当时，当时，当时，所以D选项符合函数定义，
故选：CD.
【点睛】
本题考查函数的定义，属于基础题.
14．ACD
【解析】
【分析】
由，分别代入求，，，.
【详解】
因为，，
所以，，
，
.
故选：ACD．
15．##
【解析】
【分析】
令求出的值，即为结果.
【详解】
令，得，所以.
故答案为：
16．
【解析】
【详解】
，因为，所以.
故答案为
17．
【解析】
【分析】
设，则，得到，结合基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，设，则，因为，所以，
则，
当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理使用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
18．
【解析】
根据定义求出的解析式，再分段求最值比较可得解.
【详解】
若，即或时，，此时当时，的最大值为，
若，即时，，此时，
综上所述：当时，取得最大值.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：根据函数的定义求出函数解析式是解题关键.
19．-3或
【解析】
【分析】
根据解析式分类讨论的范围，代入对应的解析式，列出方程进行求解．
【详解】
解：因为，，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得（舍去）或；
故答案为：或
【点睛】
本题考查分段函数的应用，已知分段函数值求自变量的值，注意分类讨论思想的应用，属于基础题.
20．
【解析】
【分析】
由题意函数满足，令，即可求解．
【详解】
由题意函数满足，令，则．
【点睛】
本题主要考查了函数值的求解，其中根据函数的解析式，合理赋值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
21．
【解析】
【详解】
∵，
∴，
∴．因此函数的值域为．
答案：
22．60
【解析】
【详解】
，当且仅当时等号成立，
故的最小值为60.
故答案为60
23．（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件设出函数的解析式，利用待定系数法求解即得；
(2)令，借助换元法即可得解.
【详解】
（1）因为是一次函数，则不妨设，
于是得，而，
因此，，解得或，
所以函数的解析式为或；
（2）令，则，于是得，则有，
所以函数的解析式为.
24．（1），； （2）；时，，（）； （3）的定义域为，证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意知，，当时，图像是斜率为的线段，所以，即可求出，同理求出；(2) 当时，，得，利用累加法可求得，当时，即时，化简即可求得的解析式；(3) 当时，，的定义域为，证明，时，恒有成立，运用的解析式结合不等式的性质即可得到结论.
【详解】
（1）由，，当时，图像是斜率为的线段，
∴，
∴，又及，
∴，
∴即.
（2）由（1）知，，；
因为当时，，，
所以
∴
而此式对也成立，所以
又当时，，∴
即时，，（）；
（3）当时，，的定义域为
下面证明，时，恒有成立
事实上，对任总存在，使得，于是由可有，进而
当时，，
即，∴，
综上所述，的图象与的图象没有横坐标大于1的公共点.
【点睛】
本题考查函数、等比数列及直线方程等基础知识，综合了数列、函数、解析几何等知识点，对归纳推理能力、逻辑思维能力有较高的要求，属于难题.
答案第1页，共2页
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