6.2指数函数word版含答案

6.2 指数函数
一、单选题
1．下列函数中不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的零点分别为，则的大小关系为
A． B． C． D．
3．已知，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．函数在[－π，π]上的图象大致为(　　)
A． B． C． D．
5．设集合，，则=
A． B． C． D．
6．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①； ②对任意，恒有成立；
③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；
④存在三个点、、，使得为等边三角形；其中真命题的序号为（ ）
A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③
9．已知(，)满足，，则在区间上的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（，且）的图象恒过定点A，则A的坐标为
A． B． C． D．
11．若，则
A． B． C． D．
12．定义新运算：当时，；当时，.设函数，则在上值域为
A． B． C． D．
13．已知且，函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
14．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
15．已知函数，若，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
16．某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在储藏温度为时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为时的保鲜时间是（ ）
A． B． C． D．
17．函数的图象大致是（ ）.
A． B．
C． D．
18．函数（且）的图象必经过定点（ ）
A． B． C． D．
19．函数的大致图像是（ ）.
A． B．
C． D．
20．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知指数函数y=(a+2)x,则实数a的取值范围是(　 　).
A．(-2,+∞) B．[-2,+∞) C．(-2，-1)（-1，+∞） D．(1,2)∪(2,+∞)
二、填空题
22．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数型衰减曲线，那么桶2中的水量就是升，桶1与桶2的大小和形状相同，假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等，则桶1中的水量为升时，需再经过________分钟．
23．函数（且）的图象必过定点______.
24．如果指数函数（且）的图象经过点，那么实数a的值为______．
25．对于给定的函数（，且），下面给出五个命题，其中真命题是________（填序号）．
①函数的图象关于原点对称；
②函数在R上不具有单调性；
③函数）的图象关于y轴对称；
④当时，函数的最大值是0；
⑤当时，函数的最大值是0．
26．已知函数，则_______________.
三、解答题
27．设集合，，若，
（1）求集合A；
（2）求实数a的取值范围.
28．某地区脑卒中发病人数呈上升趋势．经统计分析，从2010年到2019年的10年间每两年上升2％，2018年和2019年共发病815人．如果按照这个比例下去，从2020年到2023年有多少人发病？
29．求函数的定义域．
30．已知，，
（1）设，，，求的最大值与最小值；
（2）求的最大值与最小值.
31．比较下列各组数中两个数的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
32．已知函数（，）．
（1）若函数在区间上单调递增，求非负实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（，且）对任意的成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
分析给定四个函数的奇偶性，可得答案．
【详解】
对A, 是偶函数，不合题意；
对B, 是偶函数，不合题意；
对C, 是偶函数，不合题意；
对D,函数定义域不关于原点对称，故不是偶函数，符合题意
故选D
【点睛】
本题考查的知识点是函数的奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的奇偶性，是解答的关键．
2．D
【解析】
【分析】
分别令函数等于0，转化为两个函数的关系，利用数形结合，即可确定函数的零点的大小，得到答案.
【详解】
由题意，令函数，
即，
在同一坐标系下，分别作出函数的图象，
如图所示，
结合图象可知，
即，故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题，转化为函数图象的交点，利用数形结合法求解是解答本题的关键，着重考查了转化思想的应用，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.
3．D
【解析】
【分析】
将问题转化为来列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
要使对任意的，存在，使，则需.当时，取得最解得小值为.当时，取得最小值为，故，解得，故选D.
【点睛】
本小题主要考查恒成立问题和存在性问题，考查函数最大值最小值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
4．D
【解析】
【详解】
由题易得函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除选项B、C，当 时，f(x)>0，排除选项A.故选D.
5．B
【解析】
【详解】
,,则，
故选B.
6．B
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【详解】
解：由题意得：，
故，故，
解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
7．A
【解析】
【分析】
数形结合比较出x与y的大小关系，进而求出正确的选项
【详解】
因为正实数x，y，故画出函数的图象如图所示，由图可知，即，所以，A选项正确
，B选项错误，，因为函数在R上单调递减，所以，C选项错误，因为函数在R上单调递增，所以，D选项错误
故选：A．
8．C
【解析】
【分析】
命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；
命题②和命题③：分为无理数和为有理数两种情况进行验证；
命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证.
【详解】
当为无理数时，，所以；
当为有理数时，，所以，
所以对任意，恒有，①错误；
当为无理数时，也为无理数，所以；
当为有理数时，也为有理数，所以，②正确；
对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，
所以；当为有理数时，也为有理数，所以，
所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确；
取，则，
此时，三点恰好构成等边三角形，④正确.
故选：C.
9．B
【解析】
【分析】
根据，先求出；根据得出周期，求出，再由余弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
∵，∴，又，∴，，
∵，∴，即，
即函数的周期是，故，∴，即，
则，∵，∴，
∴当时，取最大值；当时，取最小值；
∴在区间上的最大值与最小值之和为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查求余弦型函数的最值，涉及由三角函数的性质求解析式，属于常考题型.
10．C
【解析】
【分析】
由,将代入函数表达式,可求出答案.
【详解】
由函数（,且）的图象恒过定点,
对函数,令,可得,
故函数的图象恒过定点.
故选:C.
【点睛】
本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题.
11．B
【解析】
【分析】
根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，所以选B.
【点睛】
本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.
12．C
【解析】
根据题意，求得函数 ，分别求得分段函数各段的值域，进而求得函数的值域，得到答案.
【详解】
由题意得，函数 ，
当时，；
当时，，令，则，
故在上的值域为.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的值域的求解问题，其中解答中根据题意准确得出函数的解析式，熟练应用指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
13．A
【解析】
【分析】
先根据得到函数的单调性，分别考虑每段函数单调性、分段点处的函数值关系，由此解出的取值范围.
【详解】
因为对任意实数，都有，
所以在上单调递增；
又因为在上递增，在上递减，令；
所以有：，所以，解得：，
故选A.
【点睛】
根据分段函数的单调性求解参数范围的方法：先考虑每一段函数的单调性,再考虑分段函数在分段点处多段函数值之间的大小关系,由此求解出参数范围.
14．C
【解析】
【分析】
由直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b即可求解.
【详解】
解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而，
所以a，b，c，d的值分别是，，，，
故选：C.
15．A
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的奇偶性，以及在上的单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
【详解】
解：
则函数是偶函数，
由得，
即，得，
当，，恒成立，
即函数在上为增函数，
则不等式，等价于，
则或，
得或，
即的取值范围，
故选A．
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
16．B
【解析】
【分析】
利用给定条件列出方程组，求得相关量，再将代入计算即得.
【详解】
依题意，，解得，
所以当时，.
故选：B.
17．A
【解析】
【分析】
利用导数可求得的单调性，同时确定最大值为正，通过排除法可确定结果.
【详解】
由题意得：定义域为，，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，可排除；
，可排除，则正确.
故选：.
【点睛】
本题考查函数图象的识别问题，关键是能够利用导数确定函数的单调性和最值.
18．D
【解析】
【分析】
由指数函数的图像及性质可知：令，即可得到定点.
【详解】
由题：函数（且），
当时，，所以图像必经过定点.
故选：D
【点睛】
此题考查函数过定点问题，关键在于寻找自变量的取值使参数不起作用，可以积累常见函数定点的求法.
19．C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，排除D；根据的值，可排除A、B，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，所以函数为奇函数，排除D；
又由，排除A；
又由，，可得，排除B.
故选：C.
20．A
【解析】
根据指数函数、对数函数性质与和1比较可得．
【详解】
，，，所以．
故选：A．
【点睛】
方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
21．C
【解析】
【分析】
解不等式且即得解.
【详解】
由题得且，
所以且.
故选：C
【点睛】
本题主要考查指数函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．10
【解析】
【分析】
由于5分钟后桶A和桶B中的水量相等，所以，可求．再利用桶A中只有水升，可求时间.
【详解】
解:由题意得，解得．设再经过分钟，桶1中的水量为升，则，即，解得．
【点睛】
本题主要考查指数函数的实际应用，关键是根据题意，求出指数函数，进而解决问题．
23．(1,6)
【解析】
【分析】
由a得指数为0求得x值，再求出相应的y值得答案.
【详解】
由，得.
此时.
∴函数（且）的图象必过定点（1，6）.
故答案为：（1，6）.
【点睛】
本题主要考查指数函数的图象变换，考查了指数函数的性质，属于中档题．
24．3
【解析】
【分析】
代点计算即可.
【详解】
由题可知：
故答案为：3
25．①③④
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，单调性及最值和指数函数的性质对5个命题分别进行分析判断，即可得出结论．
【详解】
解：，，函数的奇函数，的图象关于原点对称，①正确；
，当时，函数是增函数，当时，函数是减函数，命题②错误；
，所以是偶函数，图象关于轴对称，命题③正确；
当时，函数在上递增，在上递减，所以函数最大值是，④正确；
当时，函数在上递减，在上递增，，函数的最小值是0，无最大值，⑤不正确．
故答案为：①③④．
26．4
【解析】
由自变量的取值范围代入分段函数解析式即可得解.
【详解】
因为，所以，
所以.
故答案为：
27．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据指数函数的单调性求出函数的值域，即可求解；
（2）由题意可得，分别讨论、、化简集合B，根据集合的运算性质，得出满足条件的不等式，解对应不等式即可求解.
【详解】
（1）因为，所以，
所以，
故；
（2）因为，所以，
不等式等价于，
当时，，
因为，所以，解得；
当时，则，不满足；
当时，则，满足；
综上，a的取值范围是：.
28．1679
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，结合指数运算法则求出结果.
【详解】
设2010年和2011年发病的总人数为x人，则由2018年和2019年共发病815人，可得：，则从2020年到2023年发病总人数为
故按照这个比例下去，从2020年到2023年大约由1679人发病.
29．
【解析】
【分析】
解指数不等式可得函数的定义域.
【详解】
根据题意得，，
即，化简整理得，所以，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为： .
【点睛】
函数的定义域一般从以下几个方面考虑：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次根号（，为偶数）中，；
（3）零的零次方没有意义；
（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.
30．（1）最大值为9，最小值为1；（2）最大值为67，最小值3.
【解析】
（1）对于，，，直接利用为增函数求出的最大值与最小值；
（2）把函数转化为，利用二次函数求最值即可.
【详解】
（1）设，，，则，即，
即t的最大值为9，最小值为1；
（2）设，，，则，
函数转化为，
，在上单调递增，
当时，最小为，
当时，最大为，
即的最大值为67，最小值3.
【点睛】
求值域的常用方法：
（1）直接法；（2）单调性法；（3）图像法；（4）复合函数法.
31．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，比较可得答案.
【详解】
解：（1）因为函数在R上单调递增，且，所以，综上所述：；
（2）因为函数在R上单调递减，且，所以，综上所述：；
（3）因为函数在R上单调递减，且，所以，综上所述：；
（4）因为函数在R上单调递减，且，所以，综上所述：；
32．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据单调性的定义可知，任取，，设，则恒成立；
（2）在（1）的条件下，函数在区间上单调递增，若不等式（，且）对任意的成立，只需恒成立即可，然后利用参变分离思想求解.
【详解】
解：（1）任取，，设，则根据题意有成立．
又
，
∴对任意，，
即在，且时恒成立，则，
又为非负实数，即所求实数的取值范围是．
（2）∵，，
∴，．
根据（1）可知，函数区间上单调递增，若，
则只需对任意成立，
故对任意成立．
因为，则，
所以，故，
即所求实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查根据函数的单调性求参，考查根据函数的单调性求解不等式，难度一般.
答案第1页，共2页
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