第1章1.1集合的概念与表示word版含答案

第1章 1.1 集合的概念与表示
一、单选题
1．考查下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
①我校高一年级聪明的孩子②直角坐标系中，横、纵坐标相等的点
③不小于3的整数④的近似值
A．② B．②③④
C．②③ D．①③
2．已知A＝{x|3－3x>0}，则有(　　)
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
3．已知集合，且，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或2
4．下列各组对象能构成集合的有：①平面内到点O(坐标原点)的距离等于1的点；②的近似值；③高一年级中年龄比较大的学生；④1，2，3，1．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．下列说法中正确的是（ ）
A．班上爱好足球的同学，可以组成集合
B．方程x（x﹣2）2＝0的解集是{2，0，2}
C．集合{1，2，3，4}是有限集
D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合
6．下列集合中，表示方程组的解集的是
A． B． C． D．
7．有下列四个命题：
①是空集；
②若，则有2个；
③集合，集合中所有元素之和为；
④集合是有限集．
其中正确的命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
8．下列哪些对象能形成一个集合（ ）
A．身材高大的人 B．比2大的数
C．直角坐标系上的横纵坐标相等的点 D．面积较大的矩形
9．下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、双空题
10．已知满足“如果，则”的自然数构成集合．”
（1）若是一个单元素集合，则______．
（2）满足条件的共有______个．
四、填空题
11．已知集合，若，则实数的值为________
12．下面六种表示方法
①{x＝－1，y＝2}；②；③{－1，2}；
④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥或.
其中，能正确表示方程组的解集的是____________(把所有正确答案的序号填上).
13．用符号“”或“”填空：
（1）______； （2）_____；
（3）_____； （4）_____；
（5）_____； （6）_____；
（7）_____； （8）_____ .
五、解答题
14．已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值.
15．已知集合M是非空数集，且满足三个条件：① x∈M， y∈M，恒有x﹣y∈M；② x∈M（x≠0），恒有；③1∈M．
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）求证： x∈M， y∈M，恒有x+y∈M．
（3）求证：当x≠0且x≠﹣1时，x∈M”是“∈M”的充分条件．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据集合元素的明确性，可得①④当中的对象不明确，故不能构成集合；而②③当中的对象符合集合元素的性质，可以构成集合．
【详解】
解：对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；
对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；
对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；
对于④，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合．
综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合．
故选：．
【点睛】
本题给出几组对象，要求我们找出能构成集合元素的对象，着重考查了集合元素的性质和集合的定义等知识，属于基础题．
2．C
【解析】
【详解】
因为A＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.选C.
3．C
【解析】
【分析】
由，可知，结合集合的三要素即可求解.
【详解】
由，知，
当时，，集合中出现重复元素，故不满足题意；
当时，(舍)或，此时，，满足题意.
综上所述，.
故选：C.
4．B
【解析】
【详解】
①由平面几何的知识可知，平面内到点O(坐标原点)的距离等于1的点在以点O(坐标原点)为圆心、1为半径的圆上，显然满足集合中元素的确定性，所以这些点的整体构成一个集合——以点O(坐标原点)为圆心、1为半径的圆；
②“的近似值”是一个模糊的概念，没有一个明确的衡量标准，因此很难判断一个数是否是它的近似值，所以其不能构成一个集合；
③“年龄比较大”是一个模糊的概念，没有一个明确的衡量标准，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；
④中的对象是确定的，可以构成集合，需注意集合中元素的互异性，构成的集合为{1，2，3}．
5．C
【解析】
根据构成集合中对象的确定性判断A，由集合中元素的互异性判断B，根据集合有限集的定义判断C，分析集合中元素判断D.
【详解】
班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；
方程x（x﹣2）2＝0的所有解的集合可表示为{2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；
集合{1，2，3，4}中有4个元素，所以集合{1，2，3，4}是有限集，选项C正确；
集合{x2+5x+6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，{x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D不正确．
故选：C．
6．C
【解析】
解出方程组，方程组的解构成的集合，即有序数对构成的集合.
【详解】
解方程组，得即，
所以方程组的解集.
故选：C
【点睛】
此题考查集合元素的辨析，正确解出方程组，方程组的解是有序数对，其解集是由有序数对构成的集合，容易出现概念混淆，把解集的形式弄错.
7．C
【解析】
①根据空集的定义，可知{0}不是空集，可判断是否正确； ②由，可知集合中一定有1，从而可得出的可能情况，即可判断是否正确；③集合，可判断是否正确；④集合，是有限集，可判断是否正确．
【详解】
解：①空集是不含任何元素的集合，所以不是空集，故①不正确；
②若，则集合中一定有1，所以集合的可能为：
，即有3个，故②不正确；
③集合，则，
所以集合中所有元素之和为：，故③正确；
④集合，是有限集，故④正确；
所以正确的命题的个数是2个.
故选：C．
8．BC
【解析】
直接由集合中元素的确定性逐一核对四个命题中的自然语言，由元素是否确定加以判断.
【详解】
对于A，身材高大的人不是确定的，原因是没法界定什么样的人为身材高大，故A不能构成集合；
对于B，比2大的数是确定的，故B能构成集合；
对于C，因为直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的，所以C能构成集合；
对于D，面积较大的矩形，也是不确定的，故D不能构成集合.
故选：BC.
9．BD
【解析】
【分析】
根据常见数集的符号表示逐一判断即可.
【详解】
表示自然数集，故A不正确、B正确；
表示整数集，故C不正确；
表示有理数集，故D正确.
故选：BD
10． 15
【解析】
【分析】
（1）如果，则,若是一个单元素集合，则得解
（2）讨论集合元素个数得解
【详解】
（1）是一个单元素集合，则，
（2）当集合元素个数为1个时
当集合元素个数为2个时
当集合元素个数为3个时
当集合元素个数为4个时
当集合元素个数为5个时
当集合元素个数为6个时
当集合元素个数为7个时
综上满足条件的共有15个
故答案为；15
【点睛】
本题考查集合元素的构成，属于基础题.
11．
【解析】
先由集合元素的互异性得，求的范围，然后由得，结合这两点求解本题．
【详解】
因为，
所以由集合元素的互异性得，即且，
又，则，解之得（舍去），或．
故答案为：．
【点睛】
本题考查元素与集合间的关系，容易忽略集合元素的互异性的验证，属于基础题．
12．②⑤
【解析】
由题意结合集合的表示方法、解集的概念，逐项判断即可得解.
【详解】
由题意方程的解为，
①中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，故①不正确；
②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同，故②正确；
③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素，故③不正确；
④表示的是区间不是点集，故④不正确；
⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等，故⑤正确；
⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号，条件中“或”也要改为“且”，故⑥不正确.
故答案为：② ⑤ .
【点睛】
本题考查了方程解集的表示，掌握集合的表示方法是解题关键，属于基础题.
13． .
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系，即可判断.
【详解】
（1）是自然数集，所以；
（2）是整数集，所以；
（3）是有理数集，所以；
（4）是实数集，所以；
（5）中，所以；
（6）=，所以；
（7）（2,2）表示点，表示数集，所以；
（8）集合中有2个元素，分别是，，所以.
故答案为：；； ；； ； ；；
14．，2，0.
【解析】
由实数满足：，4，，得到或，或，结合互异性能求出实数的取值．
【详解】
因为实数满足，
所以或或，
解得或或或或，
当时，集合中含有1，4，1，不合题意；当或或时，满足题意.所以实数的值为，2，0.
【点睛】
本题主要考查已知集合与元素的关系求参数，解题时要认真审题，注意集合中元素互异性的合理运用，是基础题．
15．（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）通过赋值得到0∈M， 1∈M，2∈M，进而可得答案；
（2）通过赋值得到 0∈M， y∈M，进而可得x＋y∈M；
（3）通过赋值得到x＋1∈M，∈M，∈M，进而可得∈M.
【详解】
解：（1）正确，
理由：由③1∈M，则由①得1 1＝0∈M，进而有0 1＝ 1∈M，
∴1 （ 1）＝2∈M
∴由②知；
（2）证明：因为： x∈M， y∈M 恒有x y∈M
所以令x＝y，则有x y＝0∈M
即 0∈M．
若x、y∈M，令x＝0，则0 y∈M，
即 y∈M．
所以x （ y）∈M，即x＋y∈M．
所以 x∈M， y∈M，恒有x＋y∈M；
（3）证明：∵ x∈M， y∈M，恒有x y∈M，x＋ y∈M，
令y＝1．对 x∈M，有x＋1∈M，
若x＋1∈M，则∈M．又x∈M，则∈ M．
则
即当x≠0且x≠﹣1时，x∈M”是“∈M”的充分条件．
答案第1页，共2页
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