第6章6.3对数函数课后练习word版含答案

第6章 6.3 对数函数 课后练习
一、单选题
1．设集合，分别是函数的定义域和值域，则
A． B． C． D．
2．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
5．三个数之间的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知定义域为的函数满足，则函数在区间上的图象可能是
A． B． C． D．
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，则（ ）．A． B． C． D．
10．函数在上的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知集合，，则
A． B． C． D．
12．已知函数f(x)=(x2-x)(x2+ax+b),若对任意x∈R,均有f(x)=f(3-x)，则f(x)的最小值为（ ）
A．- B．-1 C．- D．0
13．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
15．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
16．函数的图象可能是 (　 　)
A． B．
C． D．
17．已知满足，其中e是自然对数的底数，则的值为（ ）
A．e B． C． D．
18．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
19．函数的定义域为(　　)
A．(1，4) B．[1，4)
C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)
20．与的图象关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称
C．原点对称 D．轴对称
21．函数，，对，，使成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．已知，，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．已知在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
二、双空题
25．函数为_______(在“奇” “偶” “非奇非偶”中选一个填空)函数，值域为________.
三、填空题
26．函数的图像恒过定点的坐标为_________.
27．若函数则其过定点为_________.
28．函数的反函数图像经过点，则____________
29．设函数，若则=______.
30．函数的最大值为________.
31．等差数列中，，则该数列的前项的和__________.
32．若函数的反函数的图象过点，则________．
33．函数的图像一定经过定点为________．
34．对于下列结论：
①函数的图象可以由函数（且）的图象平移得到；
②函数与函数的图象关于轴对称；
③方程的解集为；
④函数为奇函数.
其中正确的结论是___________把你认为正确结论的序号都填上.
35．给出下列命题：（1）函数与函数的图象关于直线对称；（2）函数的最小正周期；（3）函数的图象关于点成中心对称图形；（4）函数，的单调递减区间是.其中正确的命题序号是__________.
四、解答题
36．已知函数的反函数是，
（1）画出的图像；
（2）解方程．
37．设,函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若的最大值为5，求的最小值．
38．作出函数图像的简图.
39．如图，在直径的半圆内，以直径为下底，做一个内接等腰梯形，问怎样才能使得该梯形有最大的周长？并求出这个最大周长.
40．定义：对函数，对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“k性质函数”.
（1）若函数为“1性质函数”，求；
（2）证明：函数不是“k性质函数”；
（3）若函数，为“2性质函数”，求实数a的取值范围.
41．选修不等式讲
已知函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
试题分析：由，解得，所以，又，所以，所以，所以，故选B．
考点：对数函数的定义域与值域．
2．A
【解析】
【分析】
由题可得，再利用函数图象的平移即可判断.
【详解】
∵，
∴函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再把所得图象向上平移1个单位得到.
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
由函数的定义域为或即可求解．
【详解】
解：由，得或，
则该函数的定义域为或，
结合选项，只有A项符合．
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的性质及图象的应用，属于基础题．
4．D
【解析】
【分析】
化简集合，求出交集以及并集即可判断.
【详解】
等价于，解得
，
则，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了集合交集和并集运算，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
比较a、b、c与参照数0和1的大小关系即可.
【详解】
由指数函数和对数函数性质可得：
则 即
故选A
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题型，解题中需熟练掌握指数函数、对数函数的函数值的分布情况，根据函数值的分布情况选择合适的参照数.
6．C
【解析】
【详解】
由函数满足可知，把在上的图象向右平移一个单位，然后再关于x轴对称得到在上的图象.
故选C
7．C
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再根据时，，可得答案.
【详解】
设，则，从而；
设，则，从而；
又．
综上，对于，都有，所以为偶函数，则可排除A和B；
又当时，，则可排除D．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
8．C
【解析】
直接求出的值，即可得答案；
【详解】
，
，
故选：C.
9．A
【解析】
根据指数函数的单调性比较出与的大小关系，根据对数函数的单调性比较出与的大小关系，由此确定出的大小关系.
【详解】
因为在上递增，所以，
又因为在上递减，所以，
又因为在上递减，所以，
所以由上可知：，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：常见的比较大小的方法：
（1）作差法：作差与作比较；
（2）作商法：作商与作比较（注意正负）；
（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；
（4）中间值法：取中间值进行大小比较.
10．D
【解析】
讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.
【详解】
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令，则，
根据三角函数的性质，
当时，，故切线的斜率变小，
当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令 ，，
当时，，故切线的斜率变大，
当时，，故切线的斜率变小，可排除C，
故选：D
【点睛】
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.
11．B
【解析】
【详解】
由题意得又，所以，选B.
12．B
【解析】
【分析】
先求出，再设，利用二次函数求解.
【详解】
令或.
对任意x∈R,均有f(x)=f(3-x),
所以，
所以，
所以
所以，
设，
所以，
当时，.
所以f(x)的最小值为.
故选B
【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用和解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．D
【解析】
令，由题意可知，函数的值域包含，分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
令，由于函数的值域为，
所以，函数的值域包含.
①当时，函数的值域为，合乎题意；
②当时，若函数的值域包含，
则，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于分析出内层函数的值域包含，进而对参数进行分类讨论，结合二次函数的基本性质求解.
14．C
【解析】
【分析】
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，再根据题意列出不等式求解即可
【详解】
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，
则vn＝100×0.90n－1.
由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，
则(n－1)ln 0.90即n－1>≈≈4.87，则n>5.87，
故至少需要“打水漂”的次数为6.
故选：C
15．D
【解析】
【分析】
求出的范围,比较得到即得解.
【详解】
由题得
.
.
.
所以.
故选：
【点睛】
本题主要考查指数函数幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．C
【解析】
【分析】
对进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案.
【详解】
①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误；
又时，，则函数过点，故B错误；
②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误；
又时，，则函数过点，故C正确；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了判断指数型函数的图象形状以及函数图象的变换，属于基础题.
17．D
【解析】
【分析】
把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.
【详解】
因为，，
所以，，
即，，
所以，均为方程的根，
又因为方程的根唯一，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题.
18．C
【解析】
根据对数的换底公式、对数运算法则以及对数恒等式计算出的结果.
【详解】
因为，
所以，
故选：C.
19．A
【解析】
【详解】
由题意，，则或，
当，无解；当，，
则定义域为，故选A．
20．B
【解析】
【分析】
利用反函数的性质即可得出结论.
【详解】
函数与互为反函数，故其图象关于直线对称．
故选：.
21．C
【解析】
【分析】
由题意只需值域为值域的子集，求出与的值域，根据包含关系列出不等式即可求解.
【详解】
由题意只需值域为值域的子集，
因为，的值域为，
，的值域为，
则，解得，
故选：C
【点睛】
方法点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，
即的值域包含于的值域；
的值域与的值域交集非空．
22．A
【解析】
【分析】
作出函数的图象，通过数形结合即可求得答案.
【详解】
函数图象如图所示：
则图象不过第一象限.
故选：A.
23．D
【解析】
令，根据复合函数的单调性，由在区间上是增函数，且在区间上恒成立求解.
【详解】
令，
因为在区间上是减函数，且在区间上是减函数，
所以在区间上是增函数，且在区间上恒成立，
即 ，且，
解得，且，
所以实数a的取值范围是，
故选：D
24．D
【解析】
【分析】
利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.
【详解】
对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能；
对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；
对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；
对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能.
故选：D.
25． 偶
【解析】
利用函数的奇偶性定义可判断该函数为偶函数，根据函数的单调性可求该函数的值域.
【详解】
的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
当时，，
因为在上为增函数，为增函数，
故在上为增函数，所以在为增函数，
故在上为减函数，
所以即的值域为.
故答案为：偶，.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性以及函数的最值，考虑前者时要优先考虑定义域，考虑后者时可用函数的单调性、基本不等式等工具，本题属于中档题.
26．(1,2)
【解析】
令真数，求出的值和此时的值即可得到定点坐标．
【详解】
令得：，
此时，
所以函数的图象恒过定点，
故答案为：．
27．(4,2).
【解析】
【分析】
根据计算得到答案.
【详解】
，根据知函数过定点
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数过定点问题，意在考查学生对于函数知识的灵活运用.
28．2
【解析】
【详解】
反函数过，则原函数过，所以．
29．或2
【解析】
【分析】
根据分段函数的对应法则，分类求解即可.
【详解】
（1）当时，，解得，
若，则，解得，
若，则，解得
（2）当时，，解得，（舍去）
综上：或
故答案为：或2
30．.
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解．
【详解】
由，得.
函数的定义域为，
函数在上为增函数，函数在上为增函数，
函数，在上为增函数，
当时，函数有最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．
31．52
【解析】
【详解】
由等差数列的性质可得+=2，
代入已知式子可得3=12，故=4，
故该数列前13项的和
故答案为52
32．
【解析】
【分析】
由反函数的性质可得的图象过，将代入，即可得结果.
【详解】
的反函数的图象过点，
的图象过，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查反函数的基本性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.
33．
【解析】
【分析】
令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点的坐标．
【详解】
令2x3＝1，求得x＝2，y＝3，故函数y＝3+loga（2x3）的图象必经过的定点坐标为（2，3），
故答案为（2，3）．
【点睛】
本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
34．①④
【解析】
【分析】
根据图象的平移变换可判断①；利用反函数的性质可判断②；解对数方程可判断③；利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性可判断④，进而可得正确答案.
【详解】
对于①：的图象可由的图象向左平移2个单位得到，故①正确；
对于②：与互为反函数，所以图象关于直线对称，故②错误；
对于③：由得解得：或，又因为
且，所以，所以解集为，故③不正确；
对于④：由可得：，所以定义域为关于原点对称，又因为
所以是奇函数，故④正确，故正确的结论是①④，
故答案为：①④..
35．（1）（3）（4）
【解析】
根据反函数的性质知（1）正确；由图象可知（2）错误；利用代入检验的方式可知（3）正确；利用整体对应法求得单调递减区间，对应到所给区间知（4）正确.
【详解】
（1）函数与函数互为反函数，
两函数图象关于直线对称，（1）正确；
（2）图象如下图所示：
由图象可知：的最小正周期为，（2）错误；
（3）当时，，
是的对称中心，是的对称中心，（3）正确；
（4）令，
解得：，
即的单调递减区间为，
当时，的单调递减区间为，（4）正确.
故答案为：（1）（3）（4）.
【点睛】
思路点睛：求解三角函数的单调区间、对称轴和对称中心的问题时，通常采用整体对应的方式，结合对应的正弦、余弦或正切函数的性质来求解；若判断所给结论是否为函数的对称轴或对称中心时，可采用代入检验的方式来判断.
36．（1）详见解析；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）作图见解析；
（2）先求出的反函数，再利用换底公式将底数化成一样的，即可得到关于的方程，需注意对数的真数大于零．
【详解】
（1）如图：
（2）即
即
解得或
【点睛】
本题考查求反函数的解析式，以及函数方程思想，属于基础题．
37．（1）在上为减函数，在上为增函数；（2）.
【解析】
【详解】
（1）由，知对任意都成立，
令，，则，
且，，
在上为减函数，在上是增函数，
又为增函数，的两个单调区间为，，
且在上为减函数，在上为增函数
（2）由（1）的单调性知在处取得最小值，在处取得最大值.
，依题意，解得，
38．详见解析
【解析】
先作出的图像，然后根据图像变换的知识，画出函数图像.
【详解】
第一步：作出的图像（如图①所示）.
第二步：将的图像沿x轴向左平移1个单位长度得的图像（如图②所示）.
第三步：将的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得的图像（如图③所示）.
第四步：将的图像沿y轴向上平移2个单位长度得到的图像（如图④所示）.
【点睛】
本小题主要考查对数型复合函数图像的画法，属于基础题.
39．腰长为时，周长最大为
【解析】
【分析】
梯形的周长，其中，此时和都是变量，但两者之间存在联系，所以只需分析和的关系，选取适合的变量，即可建立函数解析式，并求得函数的最值.
【详解】
过点D作的垂线，垂足为E，连接，
设，梯形的周长为y，
因为为直径所对圆周角，所以.在直角三角形中，，
所以，即，
因为梯形上底，
所以，
又因为且，
所以周长y关于腰长x的函数解析式为：，
当时，，所以欲作出周长最大的梯形，可以在上取点E使得，过点E作，交半圆于点D，再过点D作，交半圆于点C，连接得此梯形.
【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，选取适合的变量，建立函数解析式是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
40．（1）1；（2）证明见解析；（3）
【解析】
（1）根据可得方程，解方程求得结果；
（2）采用反证法，假设为“性质函数”，可整理得到，由判别式可知方程无根，从而假设错误，得到结论；
（3）根据对数函数定义域要求可知；利用整理可得方程：，分别在和两种情况下令方程有根，从而求得的范围.
【详解】
（1）由题意得：，即：，解得：；
（2）假设存在且满足条件：，
则，即：，
，方程无实根，与假设矛盾，
不是“性质函数”；
（3）且，，
由题意得：存在，使得，
，即：，
整理得：，
当时，，满足题意，
当时，由得：，即，
解得：且，
综上所述：.
【点睛】
本题考查函数中的新定义运算的求解问题，关键是能够准确理解新定义运算的含义，将问题转化为一元二次方程是否有解得讨论、方程有解求解参数范围的问题；易错点是在方程二次项系数含参数时，忽略对于二次项系数是否为零的讨论.
41．（1）；（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由题意得，则，然后再利用零点分段法解含绝对值的不等式；（2）由题意得恒成立，即，然后再用分离参数法，构造函数法求参数的范围．
试题解析：（1）由题意得，
则
当时，，即
当时，，
∴，即
当时，，∴，即
综上所述，函数的定义域为
(2）由题意得恒成立
即
∴恒成立
令
则
所以，故
考点：1．对数函数的图像与性质；2．绝对值不等式的解法．
答案第1页，共2页
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