第8章8.2.2函数的实际应用word版含答案

第8章 8.2.2 函数的实际应用
一、单选题
1．近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国!某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收的该重金属.若当废水中该重金属含量低于最原始的时，至少需要经过该装置的次数为（ ）(参考数据：)
A．11 B．12 C．13 D．14
2．某商人如果将进货单价为元的商品按每件元出售，则每天可销售件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件，如果使得每天所赚的利润最大，那么他应将每件的销售价定为
A．元 B．元 C．元 D．元
3．在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝(　　)
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
5．已知函数，则 （ ）
A．－4 B．4 C．－6 D．6
6．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图，那么图象所对应的函数模型是(　　)
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
7．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准.震级()是用距震中千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式为：(其中(常数)是距震中公里处接收到的级地震的地震波的最大振幅；是指我们关注的这个地震在距震中公里处接收到的地震波的最大振幅)，地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数焦耳，其中为地震级数，它直接同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大.已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的倍，若玉树地震波产生的能量为，则汶川地震波产生的能量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，那么集合中元素的个数为
A．1 B．0 C．1或0 D．1或2
9．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满.公司欲提高客房档次，并提高租金.如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高.
A． B． C． D．
10．设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．若，则a，b，c之间满足（ ）
A． B． C． D．
12．设a=log32,b=log52,c=log23,则
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
13．函数，若实数满足，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、双空题
14．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
15．如图，有一块半径为的半圆形广场，为的中点．现要在该广场内以为中轴线划出一块扇形区域，并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆和圆），使得圆内切于扇形，圆与扇形的两条半径相切，且与圆外切．记，则圆的半径可表示成的函数式为____________，圆的半径的最大值为___________________．
三、填空题
16．已知一次函数满足条件，则函数的解析式为__________.
17．袋中有大小相同的10个乒乓球，其中6个黄色球，4个白色球，要求不放回抽样，每次任取一球，取2次，第二次才取到黄色球的概率为__________________.
18．计算__________.
19．如果方程的两个根为、，那么的值为________
20．《扫雷》是一款大众类的益智小游戏，某玩家在点击一次后得到的结果如图所示，小方格中的数字代表其周围区域中的地雷数(一般为8个格子，粗线外面没有地雷)，则该图中地雷的个数为___________.
四、解答题
21．某代卖店代售的某种快餐，深受广大消费者喜爱，该种快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售．如果当天19:00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完．
（1）若这个代卖店每天定制15份该种快餐，求该种类型快餐当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，）的函数解析式；
（2）该代卖点记录了一个月30天的每天19:00之前的销售数量该种快餐日需求量，统计数据如下：
日需求量 12 13 14 15 16 17
天数 4 5 6 8 4 3
以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，假设这个代卖店在这一个月内每天都定制15份该种快餐．
（i）求该种快餐当天的利润不少于52元的概率．
（ii）求这一个月该种快餐的日利润的平均数（精确到0.1）．
22．已知函数且.
（1）证明:在上为单调递增函数；
（2）求满足的的取值范围.
23．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费每月用电不超过100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算.
Ⅰ.设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；
Ⅱ.小明家第一季度缴纳电费情况如下：
月份 一月 二月 三月 合计
缴费金额 76元 63元 45.6元 184.6元
问小明家第一季度共用多少度？
24．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.
（1）求函数的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）
25．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润 并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金)
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
先由题意建立不等式，然后再解指数不等式确定合理的解即可.
【详解】
设废水中最原始的该重金属含量为，则经过次该装置过滤后，该重金属含量为，根据题意知，即，两边取常用对数得.
所以取最小整数为14.
故选：D.
2．D
【解析】
【详解】
设销售价每件定为元，销售利润为元，则每件利润为元，销售量为
件，根据利润每件的利润销售量，可得销售利润
，
∴当时，的最大值为，
∴该商人应把销售价格定为每件元，可使每天销售该商品所赚利润最多．故选D．
考点：二次函数模型.
3．B
【解析】
【分析】
首先在平面直角坐标系中作出不等式组表示的可行域， 表示O到可行域内某点的距离，过点O向直线 作垂线，垂足在可行域内，所以O到直线的距离即为的最小值．
【详解】
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，过点O向直线 作垂线，垂足在可行域内，所以O到直线的距离即为的最小值，所以 .故选B.
【点睛】
本题考查线性规划，属于距离模型，利用点到直线的距离公式求解．
4．A
【解析】
【详解】
f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，
f[f（x）]=x+2，
可得：k（kx+b）+b=x+2．
即k2x+kb+b=x+2，
k2=1，kb+b=2．
解得k=1，b=1．
则f（x）=x+1．
故选A．
5．D
【解析】
【分析】
由分段函数的表达式，代入即可求解.
【详解】
由函数，
可得.
故选：D．
6．A
【解析】
【分析】
根据函数图象是不同的直线段构成的可知，图象不是B,C,D,可知答案.
【详解】
根据函数图象由不同的直线段构成可知,函数是分段函数，在每一段上函数是一次函数，故选A.
【点睛】
本题主要考查了函数的图象，属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
根据对数运算法则可求得，由指数运算法则可求得结果.
【详解】
记汶川地震的最大振幅为，里氏震级为；玉树地震的最大振幅为，里氏震级为；
由题意知：，；
汶川地震波产生的能量为：.
故选：A.
8．C
【解析】
【详解】
试题分析：集合表示函数在定义域上图像上的点，集合表示的是直线上的点，根据函数定义可知直线与函数曲线最多有一个交点
考点：函数概念
点评：函数概念：A,B是两个数集，对于集合A中的每一个数按照对应法则，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，则构成由集合A到集合B的函数
9．B
【解析】
【分析】
设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，设客房租金总收入元，则有：化简求二次函数的最值即可
【详解】
解：设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，设客房租金总收入元，则有：
当时，有最大值为8000．
所以当每间客房日租金提高元时，客房租金总收入最高，为每天8000元．
故选：B.
10．A
【解析】
【详解】
分析：将函数写成分段函数形式，求导后，可得若存在使得，
则必有，且，利用不等式的性质可得结果.
详解：，
若存在使得，
则必有
由得
由得
由得，
所以，得
综上可得，故选A.
点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
11．B
【解析】
【分析】
由对数化指数，结合指数运算求解求解即可
【详解】
因为，所以，所以．
故选B
【点睛】
本题考查对数式化指数式，考查指数运算，是基础题
12．D
【解析】
【详解】
试题分析：判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．
解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，
所以a=log32，b=log52=，
所以c＞a＞b，
故选D．
考点：对数值大小的比较．
13．D
【解析】
【分析】
判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解.
【详解】
由题意可得的定义域为，
在上单调递增，在上单调递增，
若，所以，可得，
由可得，解得：，
所以，
故选：D.
14． (－∞，－1) (－1，＋∞)　
【解析】
【详解】
作出函数y＝log2x的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即可得到函数y＝log2|x|的图象，再将y＝log2|x|的图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图)．由图可见，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.
15．
【解析】
【分析】
设圆的半径为，有几何关系可得，消去即可得到圆的半径与的函数关系；令，则，再由二次函数求出最大值，即可求出结果．
【详解】
设圆的半径为，过作，，垂足分别为、，如下图所示：
在中，可得，即；
在中，可得，即；
则，则，；
令， 则，
当 ，即时，．
故圆的半径的最大值为．
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查了函数的应用，同时考查了利用换元法和二次函数求最值，是中档题．
16．
【解析】
【分析】
先设，，然后根据，代入后根据对应系数相等可求，，即可求解．
【详解】
设，，
，
，
即，
，
解可得，，，
故答案为
【点睛】
本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，属于基础试题．
17．
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，“记第一次取到白球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，“第二次才取到黄球”为事件，则.
考点：条件概率与独立事件的概率.
18．
【解析】
【分析】
由指数和对数的运算性质直接计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查指数与对数的运算性质.
19．
【解析】
【分析】
先对方程进行因式分解变形得，求出的值，即可得答案；
【详解】
，
或，
，
，
故答案为：.
【点睛】
本题考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.
20．4
【解析】
【分析】
先从右下角的“2”和“1”逐一推导，选择有地雷的情况，再推导左下角的“1”和“3”，最后根据第一行的“2”得到最后结果.
【详解】
第一步，根据右下角的“2”和“1”可得到下图两种情况，其中“”代表地雷，“”代表没有地雷.
第二步，根据第一列的两个“1”和第二列的“3”可知第二个图不正确，于是得到下图，
第三步，根据第一行的“2”可得到最后结果，如图.
所以该图中地雷的个数为4.
故答案为：4.
【点睛】
思路点睛：解题的关键是按照一定的顺序逐一推导，一般先从限制条件多的地方往限制条件少的地方推导.
21．（1）；（2）（i）0.7；（ii）53.5
【解析】
【详解】
分析：（1）根据题意结合分段函数的知识可得结论．（2）由（1）及题意先得到利润及对应的天数的统计表．（i）由表可得利润不少于52元包括利润为53元、60元两种情况，然后根据古典概型求解．（ii）根据平均数的定义求解．
详解：（1）由题意得当时，；
当时，．
所以
（2）由题意可得该种快餐的利润情况如下表：
天数 4 5 6 15
利润 39 46 53 60
（i）该种快餐当天的利润不少于52元的概率为．
（ii）这一个月该种快餐的日利润的平均数为（元）．
点睛：本题以实际问题为载体考查概率统计的有关问题，难度中等，解题的难点是对题意的理解，因此解答类似问题时要认真读懂、理解题意，然后按照要求结合相关知识进行求解．
22．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
由,可求得的值,进而得到的解析式.
（1）运用函数单调性的定义可证明结论,注意“作差”、“变形”、“定号”和“下结论”几个步骤;
（2）结合函数的单调性,可得,求解即可.
【详解】
将代入,可得,解得.
故.
（1）证明:任取,且,
则.
因为,所以,.
则,
故,即.
所以,在上为单调递增函数;
（2）由（1）知在上为单调递增函数,
又,
则,解得.
故满足不等式的的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数解析式的求法,考查了函数单调性的证明,考查了单调性的应用,属于基础题.
23．Ⅰ. ; Ⅱ.第一季度共用电330度．
【解析】
【分析】
（1）根据应交电费=月用电度数×每度电费建立函数关系，因为每度电费标准不一样，需要分类讨论；
（2）分别根据每月所交电费，求出每月所用电的度数，最后相交即可求出所求．
【详解】
Ⅰ.由题可得
Ⅱ.一月用电 ； 二月用电 ；
三月用电 ； 第一季度共用电330度．
【点睛】
本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及根据函数值求自变量，属于基础题．
24．（1）；（2）14分钟.
【解析】
（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；
（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.
【详解】
（1）当时，设函数，
因为，所以，所以，
当时，，
由，解得，所以，
综上，函数的解析式为.
（2）当时，令，
即，解得或（舍去），所以，
当时，令，得，
所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.
25．（1）生产芯片的毛收入，生产芯片的毛收入；（2）答案见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元.
【解析】
【分析】
（1）根据芯片的毛收入与投入的资金成正比，且每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元求解；根据芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，将，代入求解；
（2）由（1）的结果，比较即可.
（3）设投入千万元生产芯片，投入千万元资金生产芯片，由（1）的结果，建立利润函数，利用二次函数的性质求解.
【详解】
（1）设投入资金(千万元)，则生产芯片的毛收入.
将，代入，得，
∴，
生产芯片的毛收入.
（2）由，得；由，得；由，得.
∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大；
当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等；
当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大
（3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，
投入千万元资金生产芯片，
∴公司所获利润，
故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页