苏教版（2019）必修第一册同步检测第3章3.2.1基本不等式的证明word版含答案

苏教版（2019） 必修第一册 同步检测 第3章 3.2.1 基本不等式的证明
一、单选题
1．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值是
A．4 B． C．8 D．6
3．函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．2
4．若连续函数，的定义域为同一闭区间，则，满足：，是成立的（　　）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分不必要条件
5．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图3－3－1所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E,设AC＝a,BC＝b,则该图形可以完成的“无字证明”为
A． B．
C． D．
6．已知，，则的最小值是
A． B． C． D．
7．已知，，且，则的最小值为（ ）．A． B． C． D．
8．下列结论正确的是（ ）
A．当且时，
B．时，的最大值是2
C．的最小值是2
D．当时，的最小值为4
9．焦点在轴上的双曲线的离心率为，焦点在轴上的双曲线的离心率为，已知与具有相同的渐近线，当取最小值时，的值为
A．1 B． C． D．2
10．设a，b是正实数，以下不等式：
(1)；(2)；(3)；(4)a＜|a－b|＋b，其中恒成立的有
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(2)(4)
11．若，，，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则（ ）
A．一定是直角三角形 B．为递增数列
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题
13．下列说法中：
①命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”；
②“对于任意的，总有（为常数）”是“函数在区间上的最小值为”的必要不充分条件；
③若，，则函数满足；
④若，，，则函数满足．
所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上）
14．若，则函数的最小值为__________.
15．求函数f（x）＝x（x＞0）的值域_____．
16．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.( )
(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0.( )
(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(4)若a17．已知正数a，b满足，则的最小值是___________.
18．如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______
19．设，，且，则的最小值为__________．
四、解答题
20．若实数、、满足，则称比远离．
（1）若比3远离0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．
21．若，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.
（1）；
（2）；
（3）.
22．已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数的范围.
23．在中，，且的角平分线与边相交于点.
（1）若求的长；
（2）若，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
取特殊值排除选项，然后再用不等式性质证明其它选项.
【详解】
取，，，排除A；
取，排除B，C，故选D.
或推导选项D正确如下：
.
故选:D
【点睛】
本题考查不等式的性质，解题注意特殊方法的应用，属于基础题.
2．C
【解析】
【详解】
分析：由题意求得 ①， ②，化简，利用基本不等式求得它的最小值．
详解：在锐角中，
化简可得 ①．
， ②，且 ．
则
令 ，则 ，
故
当且仅当，即 时，取等号，此时， ，
故的最小值是8，
故选C．
点睛：本题主要考查诱导公式，两角和差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题．
3．B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最小值.
【详解】
易知函数在R上单调递减，
所以.
故选B
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．B
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的概念判断即可.
【详解】
若，满足：，则，，
所以，所以是充分的；
若，则，，显然，
但不存在m，满足：，所以是不必要的.
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
根据圆中弦长关系，可得不等式：.
【详解】
由，可得半圆的半径，易得
， ，，
.故选
【点睛】
本题考查基本不等式几何意义，考查基本分析识别能力，属中档题.
6．A
【解析】
由权方和不等式可得，，将代入，即可求出结果.
【详解】
由权方和不等式，，
，
当且仅当时，取等号；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了权方和不等式，权方和不等式：若，则成立；当时，等号成立.
7．B
【解析】
化简得，再利用基本不等式求解.
【详解】
∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为.
故选：B．
【点睛】
方法点睛：本题利用基本不等式求最值时用到了“1的代换”技巧，即把原式乘以“1”，再把“1”换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解，可以提高解题效率.
8．B
【解析】
根据基本不等式“一正、二定、三相等”，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，当时，，此时，
当且仅当时，等号成立，所以不正确；
对于B中，当时，由，
当且仅当时，即时等号成立，所以的最大值是2，所以是正确的；
对于C中，由，
当且仅当时，即（无解），所以不正确；
对于D中，当时，由，
当且仅当时，即（不成立），所以不正确.
故选：B.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．C
【解析】
【详解】
设双曲线的方程分别为，，由题设，则，，由此可得，即，故，所以（当且仅当取等号），即时取等号，应选答案C．
点睛：本题以双曲线为背景，旨在考查基本不等式求解最值及运用．解答本题的关键是借助题设中的渐近线相同建立两个双曲线的离心率之间的等量关系，进而求出，则，然后巧妙运用基本不等式求出取最小值时，从而使得问题获解．
10．B
【解析】
【详解】
①∵a，b是正实数，而ab不一定是定值，故a+ 2不一定成立，如a=，b=1，a+=<2.
②∵a，b是正实数
∴(a+b)2=a2+b2+2ab 2(a+b)2
∴ a+b
③a，b是正实数，a+b 2，
∴ ，两边同时乘以2ab得

④令a=3，b=1，则|a b|+b=3=a，故④不成立．
故选B.
11．C
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断A，B，D恒成立，对于C，举例即可.
【详解】
解：对于A，，则，当且仅当取等号，故恒成立；
对于B，，当且仅当取等号，故恒成立，
对于C，令，则不成立，
对于D. ，当且仅当取等号，故恒成立.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用问题，也考查了特殊值判断命题真假的问题，是基础题目.
12．ABD
【解析】
先结合已知条件得到，进而得到，得A正确，再利用面积公式得到递推关系，通过作差法判定数列单调性和最值即可.
【详解】
由，得，，故，
又，，，故一定是直角三角形，A正确；
的面积为，而，
故，
故，
又（当且仅当时等号成立）
，又由，知不是恒成立，即，故，故为递增数列，有最小值，无最大值，故BD正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到，进而得到，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.
13．②③④
【解析】
【分析】
①直接利用命题的否定判断；
②函数的最小值和必要不充分条件的应用；
③对数的运算关系式的应用；
④根据基本不等式可得答案；
【详解】
①命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”，故①错误；
②“对于任意的，总有（为常数）”由于没有说明，所以“函数在区间上的最小值为”不一定成立；函数在区间上的最小值为，总有（为常数）成立，故②正确；
③若，，则函数满足，
所以成立，故③正确；
④若，，，，，
因为，所以，故④正确．
故答案为：②③④.
【点睛】
本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.
14．3
【解析】
【详解】
试题分析：，当且仅当且时，即时取等号，故最小值为3.
考点：1.函数的最值；2.基本不等式.
15．[2，+∞）
【解析】
【分析】
利用基本不等式可得，即可得解.
【详解】
，，当且仅当时等号成立，
当时，，
的值域为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.
16． √ × √ √
【解析】
【详解】
⑴限高米就是，故正确
⑵ 与的差是非负数则，故错误；
⑶大于等于即不小于，故正确
⑷不等式表示或，故若或中有一个正确，则一定正确；
17．3
【解析】
【分析】
利用“1的代换”将转化为，最后利用基本不等式求得最小值即可.
【详解】
解：因为正数a，b满足，
则，
当且仅当且即时取等号，
此时的最小值3.
故答案为：3.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
18．
【解析】
【分析】
通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.
【详解】
依题意得：，
则
当且仅当即时取等号，故
本题正确结果：
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.
19．18
【解析】
【详解】
当且仅当时取等号
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
20．（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据定义得到不等式，解这个不等式可得的取值范围．
（2）只要证明即可，利用作差法可证该不等式，注意利用基本不等式可证绝对值符号内的代数式恒正．
【详解】
（1）因为比3远离0，所以即，
所以或（无解），所以，
故．
（2），，，，，
于是，
而
，
即比远离．
【点睛】
本题考查不等式的证明，其基本方法有
（1）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；
（2）作商法：利用商与1的大小关系来判断两个代数式的大小，注意商的分母的符号；
（3）利用基本不等式：根据不等式的代数结构特点选择合适的基本不等式帮助证明．
21．（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析.
【解析】
(1)作差分解因式，即可得出答案；
(2)作差分解因式，即可得出答案；
(3)用基本不等式，即可得出答案.
【详解】
（1）正确
（2）正确
（3）正确
【点睛】
本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）将函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出最值；
（2）根据（1）的结果，将不等式化为，解对应的一元二次不等式，即可得出结果.
【详解】
（1）因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立；
即函数的最小值为；
（2）为使不等式恒成立，只需，
由（1）知，解得，
即实数的范围为.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
23．（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理求出,再由正弦定理求出正弦，利用内角和定理知，求出后在中，利用正弦定理求边长，也可利用及三角形面积公式求解；
（2）设，根据得，由余弦定理及基本不等式求出，进而求出的范围，根据，利用函数单调性求范围即可.
【详解】
（1）方法一：
因为，
所以
因为，所以.
所以
所以
因为 ，
所以
方法二：由可得：
于是：
（2）设，由题意得，
所以
根据余弦定理，可得，
所以，
所以，
又由，得，
所以
所以
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的灵活运用，考查了基本不等式，考查了推理运算能力，属于难题.
答案第1页，共2页
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