苏教版（2019）必修第一册同步检测第5章5.4函数的奇偶性word版含答案

苏教版（2019） 必修第一册 同步检测 第5章 5.4 函数的奇偶性
一、单选题
1．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．3
2．已知函数是定义在上的奇函数，若且为偶函数，则
A． B．1 C．6 D．4
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为．
A． B． C． D．
4．设f，g都是由集合A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
则的值为
A． B． C． D．
5．已知函数满足和,且当时,则
A．0 B．2 C．4 D．5
6．已知是定义在上的奇函数，且在上是增函数，设，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
8．设函数，则不等式的解集是
A． B． C． D．
9．下列函数既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是上的偶函数，且，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
12．设是R上的偶函数，且在上递增，若，，那么的取值范围是
A． B． C． D．或
13．已知，若定义在上的函数满足对、，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．函数是定义域为的非常值函数，且对任意，有，，则是（ ）
A．奇函数但非偶函数 B．偶函数但非奇函数
C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
15．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
16．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
17．函数的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为，最小值为，则_______．
三、填空题
18．奇函数在上满足，且，则不等式的解集为__________ .
19．某同学在研究函数 f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④方程f（x）=x在R上有三个根．
其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
20．函数是定义在R上的奇函数,当时,,则当时,______.
21．已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为___________.
22．已知等差数列的前项和为，且，，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号）
四、解答题
23．.函数是R上的奇函数，m、n是常数.
（1）求m，n的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围.
24．已知函数，存在不等于1的实数使得.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）直接写出与的大小关系.
25．已知函数，判断的奇偶性并证明．
26．判断下列各函数是否具有奇偶性
（1）、；（2）、；
（3）、；（4）、， ；
（5）、；（6）、.
27．函数的定义域，且满足对于任意,有
(1) 求的值
(2) 判断的奇偶性，并证明．
(3)如果，且在上是增函数，求的取值范围
28．已知幂函数的图象经过点.
(1)求该函数的表达式；
(2)证明该幂函数的图象关于原点成中心对称；
(3)证明该幂函数在区间上是严格增函数.
29．已知函数y＝f（x）的图象（如图所示）过点（0，2）、（1.5，2）和点（2，0），且函数图象关于点（2，0）对称；直线x＝1和x＝3及y＝0是它的渐近线．现要求根据给出的函数图象研究函数g（x）＝的相关性质与图象．
（1）写出函数y＝g（x）的定义域、值域及单调递增区间；
（2）作函数y＝g（x）的大致图象（要充分反映由图象及条件给出的信息）；
（3）试写出y＝f（x）的一个解析式，并简述选择这个式子的理由（按给出理由的完整性及表达式的合理、简洁程度分层给分）．
30．已知函数其中．
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）求使成立的的集合．
31．设定义域为的函数
（1）在平面直角坐标系内直接作出函数的图象，并写出的单调区间（不需证明）；
（2）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.
32．已知，其中a为实数.
（1）当时，证明函数在上是严格增函数；
（2）根据a的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先构造出的解析式,然后根据奇偶性得到的解析式,最后联立方程组求解解析式,即可计算的值.
【详解】
因为,所以,
又因为分别是偶函数和奇函数，所以,
所以,所以,
所以,
故选B.
【点睛】
利用函数的奇偶性求解函数解析式时,要充分考虑到与的联系;若是单个函数已知奇偶性,则可直接求解函数解析式;若是两个函数已知奇偶性,可通过联立方程组求解函数解析式.
2．D
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的周期性，然后结合函数的性质求解函数值即可.
【详解】
我们有如下结论：
若函数是奇函数，且是偶函数，则函数是周期函数，它的一个周期.
证明如下：
函数为奇函数，则，
是偶函数，则，据此可得：
.
据此即可证得上述结论.
据此结论可知题中所给函数的周期为，
则，，，
据此可得：4.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．C
【解析】
【详解】
解：因为是偶函数，所以排除A,B，然后在(0,1)上递减，则排除D，选C
4．A
【解析】
【详解】
试题分析：，，所以，故选．
考点：函数的定义
5．C
【解析】
【分析】
函数满足和,可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，进而可求解答案．
【详解】
函数满足和,
可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，
又由当时,，
所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查了函数的对称性与函数的周期性的应用问题，其中解答中根据题设条件，得到函数的图象以为周期的周期函数，且关于对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
6．A
【解析】
【分析】
分析出函数为上的增函数，然后比较、、的大小，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
由于函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，
则函数在上单调递增，所以，函数为上的增函数，
函数为上的增函数，则；
函数为上的减函数，则；
函数为上的减函数，则.
，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小，同时也考查了利用中间值法比较指数式和对数式的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
7．A
【解析】
【分析】
根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.
【详解】
根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，
当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1，
当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0，
当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1，
综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）；
故选：A．
【点睛】
此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.
8．A
【解析】
【分析】
判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.
【详解】
为上的奇函数
又
可知与在上都单调递增，即与在上都单调递增
当时，，；假设
则
即：在上单调递增
又为奇函数，则在上单调递增，即在上单调递增
由可得：
即
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.
9．D
【解析】
【分析】
逐项分析函数的单调性和奇偶性，然后作出判断.
【详解】
A．定义域为关于原点对称，，
所以为偶函数，且在上单调递增，不符合；
B．定义域为关于原点对称，，
所以为偶函数，且在上单调递增，不符合；
C．定义域为关于原点对称，，
所以为奇函数，不符合；
D．定义域为关于原点对称，，
所以为偶函数，当时，为减函数，符合；
故选：D.
10．B
【解析】
【详解】
【分析】
∵
∴为奇函数，排除A，C
，，且
排除D，
故选B
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
11．C
【解析】
【分析】
根据是上的偶函数得关于对称，
再由函数的平移变换可得关于对称，根据对称性即可求解.
【详解】
因为是上的偶函数，所以关于对称，
把向右平移一个单位可得，则关于对称，
所以
故选C
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的运用以及函数的平移变换，属于基础题.
12．A
【解析】
【详解】
试题分析：由是R上的偶函数，得，则；由，，得，即；因为函数在上递增，所以，解得.故选A.
考点：函数的奇偶性和单调性.
13．D
【解析】
【分析】
由题意可知，函数是上的减函数，则函数的两支函数均为减函数，且有，由此可得出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】
定义在上的函数满足对、，都有，
所以，函数是上的减函数，
则函数和均为减函数，且有，
即，解得，因此，实数的取值范围是.
故选D.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，求解时不仅要求分段函数的每支函数都保持原函数的单调性外，还应注意各支函数在分界点处函数的值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．B
【解析】
【分析】
根据，可以确定函数额对称性，再根据，可以确定函数的周期，结合函数的奇偶性的定义，即可判断得到答案．
【详解】
由题意，因为，所以函数的对称轴为，
又，所以，所以函数的周期为，
∴是函数的对称轴，所以为偶函数，
又∵在R上不是常数函数，所以不恒为0，
所以是偶函数但不是奇函数，故选B．
【点睛】
本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的奇偶性与对称性、周期性的关系，函数的奇偶性可以利用定义判定，也可以利用函数的图象的对称性进行判定，同时主语既是奇函数又是偶函数的函数必为函数，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
15．C
【解析】
【分析】
先根据函数的奇偶性排除，然后再判断其是否在定义域为减函数，即可得出．
【详解】
显然可知，函数，不是奇函数，而是偶函数，只有是奇函数，且在定义域内为减函数．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查基本初等函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
16．B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
17．
【解析】
【分析】
先将分离常数，找到与奇函数的关系，再利用平移求出对称中心及最大值与最小值之和.
【详解】
，记，
是奇函数，其图象关于坐标原点中心对称.
则的最大值和最小值之和为，
把的图象向上平移一个单位得到的图象，即的图象关于点对称，且．
故答案为：；.
【点睛】
具有对称中心的函数最大最小值之和问题，可从两个角度理解，一是从形的角度，理解所求函数与奇函数图象的平移关系；二是从数的角度，理解函数关于对称的等量关系. 即：的图象关于点对称.
18．
【解析】
【分析】
由函数f（x）在（0，+∞）上满足，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；结合f（2）=0，函数f（x）为奇函数，可得函数的图象和性质，进而得到不等式的解集．
【详解】
：∵函数f（x）在（0，+∞）上满足，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
又由f（2）=0，函数f（x）为奇函数，
故函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（-2）=0，
故当x∈（-∞，-2）∪（0，2）时，f（x）＜0，
当x∈（-2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0，
∵
故x∈（-2，0）∪（0，2），
即答案为．
【点睛】
本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
19．①②③
【解析】
【分析】
由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由只有一个根说明④错误．
【详解】
对于①，任取，都有，∴①正确；
对于②，当时，，
根据函数的奇偶性知时，，
且时，，②正确；
对于③，则当时，，
由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；
再由的奇偶性知，在上也是增函数，且
时，一定有，③正确；
对于④，因为只有一个根，
∴方程在上有一个根，④错误．
正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③．
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
20．
【解析】
设时，，则，再化简即得解.
【详解】
设时，，则，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．
【解析】
【分析】
当时，，由可得结果.
【详解】
当时，，.
故答案为：.
22．②④
【解析】
【分析】
构造函数，可知是奇函数，且是上的增函数，由，，可得，且，再结合等差数列的性质可判断
【详解】
令函数，因为，所以是奇函数，且是上的增函数．
由题可知，，，
所以，且，即，，所以①错误，②正确，
因为，，所以，所以，
因为，，所以，所以，所以④正确，
又因为是等差数列，
所以，，所以③错误．
故答案为：②④
23．（1）；（2）在上递增；证明见解析；（3）.
【解析】
（1）由是上的奇函数，可得，即可求解；
（2）在上递增，用定义法可证；
（3）由题意得：对任意恒成立又是R上的增函数，所以即对任意恒成立，令，即，对恒成立，构造函数，求的最小即可得解.
【详解】
（1）∵是上的奇函数，
∴∴
∴.
（2）在上递增
证明：设，且，则
∵∴又，，∴，即，∴是上的增函数.
（3）由题意得：对任意恒成立又是R上的增函数，
∴即对任意恒成立，
令，即，对恒成立，令，对称轴为，当即时，在为增函数，
∴成立，∴符合，
当即时，在为减，为增，
∴
解得，
∴.
综上.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了利用单调性解不等式，同时考查了恒成立问题和转化思想以及分类讨论思想，有一定的计算量，属于中档题.
24．（Ⅰ）（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）
【解析】
【分析】
Ⅰ根据题意，分析可得，变形可得，分析可得b的值；
Ⅱ根据题意，任取，由作差法分析可得答案；
Ⅲ根据题意，对c的值分2种情况讨论，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】
（Ⅰ）因为实数使得，
所以 ，
即.
因为 ，
所以 ，即.
经检验，满足题意，所以 .
（Ⅱ）函数在上单调递增，证明如下：
任取， ，当时，.
所以 .
所以
，即.
所以 函数在上单调递增.
（Ⅲ）当时，；
当时，.
【点睛】
本题考查函数单调的判定以及应用，涉及函数解析式的计算，关键是求出b的值．
25．偶函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
先求出定义域，求出，得出与的关系得出答案.
【详解】
函数是偶函数;
证明：由知的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
∴为偶函数．
26．（1）为奇函数；（2）为偶函数；（3）为非奇非偶函数；（4）为非奇非偶函数；（5）为非奇非偶函数；（6）既是奇函数也是偶函数.
【解析】
【分析】
（1）判断函数的定义域为R，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解；
（2）判断函数的定义域为R，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解；
（3）判断函数的定义域为，结合函数奇偶性的定义即可得解；
（4）由函数的定义域为，结合函数奇偶性的定义即可得解；
（5）由函数的定义域为，结合函数奇偶性的定义即可得解；
（6）由函数的定义域为，结合函数奇偶性的定义即可得解.
【详解】
（1）由题意函数的定义域为R，
且对任意的，有，
所以函数是奇函数；
（2）由题意函数的定义域为R，
且对任意的，有，
所以函数为偶函数；
（3）由题意函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数；
（4）由题意函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以函数，为非奇非偶函数；
（5）由可得函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数；
（6）由可得函数的定义域为，
且，，所以且，
所以函数既是奇函数也是偶函数.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的判断，考查了运算求解能力，属于基础题.
27．（1）0；（2）偶函数；（3）见解析
【解析】
【分析】
(1)令，代入，即可求出结果；
(2)先求出，再由，即可判断出结果；
(3)先由，求出，将不等式化为，根据函数在上是增函数，分和两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】
(1)因为对于任意,有，令，
则，所以；
(2)令，则，所以，
令，则，所以函数为偶函数；
(3)因为，所以，
所以不等式可化为；
又因为在上是增函数，而函数为偶函数，
所以或；
当时，或；
当时，或；
综上，当时，的取值范围为或；
当时，的取值范围为或.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，以及抽象函数及其应用，常用赋值法求函数值，属于常考题型.
28．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）把点的坐标代入函数的解析式即得解；
（2）利用函数的奇偶性定义证明；
（3）利用函数单调性的定义证明.
(1)
解：由题得.
所以函数的表达式为.
(2)
证明：设，
所以函数是奇函数，所以该幂函数的图象关于原点成中心对称.
(3)
证明：设
所以，
因为所以，
所以，
所以该幂函数在区间上是严格增函数.
29．（1）定义域为：{x|x≠1，x≠2，且x≠3}，值域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数的单调递增区间为：（1，2），（2，3）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据函数f（x）的图象及g（x）＝，即可写出y＝g（x）的定义域，值域及单调递增区间；
（2）根据（1）写出的y＝g（x）的定义域、值域及单调性即可画出y＝g（x）的大致图象；
（3）根据y＝f（x）的图象即可写出一个y＝f（x）的解析式．
【详解】
（1）由f（x）的图象知g（x）的定义域为：{x|x≠1，x≠2，且x≠3}，
值域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）； 函数的单调递增区间为：（1，2），（2，3）；
（2）函数g（x）的大致图象如下：
（3）f（x）＝；解析式满足在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
过（0，2），（1.5，2），（2，0）；并且其图象关于（2，0）对称；即该解析式可作为y＝f（x）的一个解析式．
【点睛】
本题考查函数的定义域、值域及单调区间，画出函数的大致图象的能力，以及根据函数图象能够写出它的一个解析式，属于中档题．
30．（1）（2）奇函数，证明见解析（3）时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
【解析】
【分析】
（1），若要式子有意义，则，解不等式组即可得定义域（2）设，利用奇函数的定义即可判断出结论（3），即，分类讨论，利用对数函数的单调性求解.
【详解】
（1），
若要式子有意义，则，
解得，
所以函数定义域为.
（2）设，其定义域为，关于原点对称，
，
是奇函数,
即是奇函数.
（3），即，且定义域为
当时，得：，
解得，
，
当时，得：,
解得，
，
综上，时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，对数不等式，分类讨论，属于中档题.
31．(1) 单增区间：，,单减区间，
(2)
【解析】
【详解】
试题分析：的图象就是把的图象向左平移1个单位，而的图象就是顶点在开口向上的抛物线，根据解析式画出图象，第二步当x为正时，g(x)=
f(x),由于g(x)为奇函数，则时，，利用g(x)=-g(-x)求出相应的解析式，从而求出g(x).
试题解析：
如图.
单增区间：，
单减区间，
（2）当时，
，
因为为奇函数，所以，
且，所以
32．（1）证明见解析；（2）当时，奇函数；当时，非奇非偶函数，理由见解析.
【解析】
（1）当时，得到函数，利用函数单调性的定义，即可作出证明；
（2）分和两种情况，结合函数的奇偶性的定义，即可得出结论.
【详解】
（1）当时，函数，
设且，
则
，
因为，可得
又由，可得，所以
所以，即，
所以函数是上是严格增函数.
（2）由函数的定义域为关于原点对称，
当时，函数，可得，此时函数为奇函数；
当时，，此时且，
所以时，函数为非奇非偶函数.
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