苏教版（2019）必修第一册同步检测第7章7.4三角函数应用word版含答案

苏教版（2019） 必修第一册 同步检测 第7章 7.4三角函数应用
一、单选题
1．已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈
的模型波动（为月份），已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车每秒转动，如图2所示，盛水桶在处距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数f(x)＝，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)的周期是
B．函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝
C．函数f(x)在区间上为减函数
D．函数f(x)是偶函数
7．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当，的最大值为
D．当时，
二、多选题
8．已知函数的定义域为，若对于任意分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
9．已知函数（，）满足，对任意的，恒成立，且存在，使得，则______；若，的值域是，则实数的取值范围是______．
10．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为，它以的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点， 点到船底的距离是（单位：），轮子旋转时间为（单位：s）. 当时，点在轮子的最高点处.
①当点第一次入水时，__________；
②当时，函数的瞬时变化率取得最大值，则的最小值是________.
四、填空题
11．函数 在R上的部分图像如图所示，则___．
12．已知函数的部分图象如图所示，_____.
13．水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度”指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”的余弦值为___________.
14．已知在，，，若平面，则的最小值为___________.
五、解答题
15．海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:18 2.5 18:36 5.0
3:06 7.5 12:24 5.0 21:42 2.5
6:12 5.0 15:30 7.5 24:00 4.0
(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系,给出整点时水深的近似数值(精确到0.001 m).
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m,安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3)某船的吃水深度为4 m,安全间隙为1.5 m该船这一天在2:00开始卸货,吃水深度以0.3 m/h的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域,那么该船最好在什么时间停止卸货,将船驶向较深的水域？
16．王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC上的点F处，折痕为DE，设，．
（1）求x、y满足的关系式；
（2）求x的取值范围．
17．如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．
18．（原创）已知数列满足：
（1）求的通项公式
（2）求证：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
利用正方体外接球的直径为正方体的体对角线，容易求解．
【详解】
棱长为2的正方体，其体对角线长为2 ，
而正方体的外接球直径即为正方体的体对角线，
故外接球半径为，
∴
故选A．
【点睛】
此题考查了正方体的外接球问题，属容易题．球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
2．C
【解析】
【分析】
利用基本函数指数函数、正弦函数、幂函数和对数函数的性质判断.
【详解】
A. 因为， 所以是减函数，故错误；
B. 因为，所以不单调，故错误；
C. 因为，所以是奇函数，又，所以又为增函数，故正确；
D. 因为， 所以是减函数，故错误；
故选：C
【点睛】
本题主要考查指数函数、正弦函数、幂函数和对数函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3．D
【解析】
【详解】
根据题意，T＝ 2(7－3)＝8，ω＝＝，由得当x＝3时，2sin＋5＝7，得φ＝－.∴f(x)＝2sin＋5.故选D.
4．C
【解析】
【分析】
根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择.
【详解】
由题意可得，初始位置为P0，不妨设初相为，
故可得，，则.排除B、D.
又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，
所以|ω|＝，即ω＝－.
故满足题意的函数解析式为：.
故选：.
【点睛】
本题考查三角函数在生活中的应用，属基础题.
5．D
【解析】
设后盛水桶到水面的距离关于的函数解析式为，根据题中信息求出函数的解析式，再令即可得解.
【详解】
设后盛水桶到水面的距离关于的函数解析式为，
由题意可得，解得，
由于筒车每秒转动，所以，函数的最小正周期为，
所以，，则，
由于盛水桶在处距水面的距离为，则，可得，
由于函数在附近单调递增，则为第一象限角，所以，，
所以，.
故选：D.
【点睛】
思路点睛：建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：审清题目条件、要求、理解数学关系；
（2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型；
（3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得出结论.
6．B
【解析】
【分析】
根据三角函数的周期性，对称性以及单调性分别进行判断即可．
【详解】
因为函数f(x)＝，所以周期是函数y的周期的一半，
所以函数的周期为T．故A错误；
当x＝时，f(x)＝1，所以x＝是函数图象的一条对称轴．故B正确；
f（）＝＝sin，f（）＝＝，
所以f（）f（）＝＝≠±1，则图象不关于y轴对称，故D错误，
故选B．
【点睛】
本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及三角函数的周期性，对称性以及单调性问题，结合三角函数的图像与性质是解决本题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．
【详解】
由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．故不正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
故选：．
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.
8．AD
【解析】
【分析】
结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若为 “三角形函数”则恒成立，即恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可.
【详解】
解:①，则，
则恒成立,则满足条件
②
当时，当时，函数取得最小值,当时，函数取得最大值，
则不恒成立，则不满足条件
③，则不满足条件恒成立，故不是
④
，，则
，
则，则恒成立，故满足条件
故选
【点睛】
本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.
9．
【解析】
【分析】
由题知直线为函数的一条对称轴，可求得，由知函数的最值，可求得，进而求得函数解析式，再利用正弦函数的性质和函数的值域可求得实数的取值范围.
【详解】
由，知图象的一条对称轴为直线，
，，又，所以．
由对任意的，恒成立，且存在，使得，
可知，所以，
，当时，，
由，得，
由正弦函数的性质可知，解得，
所以实数的取值范围是．
10．
【解析】
（1）根据题意，列出方程，分类讨论即可求解；
（2）求出导数得，，当时，瞬时变化率取得最大值，进而求解
【详解】
（1）当时，点在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m，半径3m，设为，则，当点第一次入水时，水面高2.5m，即，代入得，，第一次入水即在满足的情况下满足现实条件后可取的最小值，
（2）瞬时变化率取得最大值，即最大，，当时，瞬时变化率取得最大值，此时，的最小值为
故答案为：①；②
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于求出和，根据题目的实际情况求解，难度属于中档题
11．－
【解析】
【详解】
试题分析：由已知得 ，∴T=12= ，且A=5，∴ ，
又函数图象过（2,5），∴ ，且 ，所以 ，
所以
考点：本题考查函数的图象和性质
点评：解决本题根据最值求A，根据周期求 ，关键是求出的值
12．
【解析】
【分析】
根据图形，得到，再根据周期公式，得到，从而得到，将点代入，解得，得，把代入即可．
【详解】
根据图形，，，∴，，∴，
∴，将点代入上式，得，
，，得.
，因此，.
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质等知识，准确理解给定的函数图象是解题关键，属于中档题．
13．
【解析】
【分析】
使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为.利用展开图解决.
【详解】
其展开图如下图所示.
水管直径为2，则水管的周长为，
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由平面，得，从而利用空间向量垂直的坐标表示可得y，x，z之间的关系，最后根据空间向量模的坐标表示即可求解最值．
【详解】
解：因为平面，所以，
所以，即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．（1）可用函数近似描述，近似值见解析；
（2）货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右；
（3）货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.
【解析】
(1) 以时间x(单位:h)为横坐标,水深y(单位:m)为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图,根据根据图像,可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系,从数据和图像可以得出:,,,,即可求得答案;
(2) 货船需要的安全水深为,所以当时就可以进港.令,,结合图像和已知即可求得答案;
(3) 设在h时货船的安全水深为m,那么.在同一直角坐标系内画出这两个函数的图像,可以看到在时之间两个函数图像有一个交点,借助计算器,根据二分法即可求得答案.
【详解】
(1)以时间x(单位:h)为横坐标,水深y(单位:m)为纵坐标,
在直角坐标系中画出散点图:
根据图像,可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系,
从数据和图像可以得出:,,,；
由,得.
这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述,
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(如表):
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00
水深/m 5.000 6.213 7.122 7.497 7.245 6.428 5.253 4.014 3.023 2.529 2.656 3.372
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深/m 4.497 5.748 6.812 7.420 7.420 6.812 5.748 4.497 3.372 2.656 2.529 3.023
(2)货船需要的安全水深为,所以当时就可以进港.
令,.
由计算器可得:
.
如图,在区间内,函数的图像与直线有两个交点
,或.
解得,.
由函数的周期性易得:
,
.
货船可以在零时分左右进港,早晨时分左右出港；
或在下午时左右进港,下午时左右出港.每次可以在港口停留小时左右.
(3)设在h时货船的安全水深为m,那么.在同一直角坐标系内画出这两个函数的图像,可以看到在时之间两个函数图像有一个交点(如图).
借助计算工具,用二分法可以求得点的坐标约为,
为了安全,货船最好在时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.
【点睛】
本题考查了求解正弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握正弦型函数的图像特征和基础知识,二分法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
16．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，由翻折的特点可得垂直平分，则，在中，运用余弦定理可得，的关系式；
（2）由（1）的关系式，解得关于的式子，换元后，运用基本不等式可得所求范围，注意等号成立的条件．
【详解】
解：（1）如图连接，由点翻折后恰好落在边上的点处，
折痕为，可得垂直平分，则，
由等边三角形的边长为1，且，
可得，，
在中，，
由余弦定理可得：
即，
化简可得：，
即x、y满足的关系式为：；
（2）由（1）可得，
解得：，
设，由，可得：，
则，
，
当且仅当，即，等号成立，
则x的取值范围是：．
【点睛】
本题考查平面几何的翻折问题，考查解三角形的余弦定理，以及变量的取值范围的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力．
17．
【解析】
利用正弦定理得，，求得，从而有，再根据条件得，从而求出答案．
【详解】
解：在△BDE中，∠BED=，由正弦定理得，
∴，
在△DCF中，，由正弦定理得，
∴，
，
AEDF为四边形区域，，，
，，
花卉种植面积取值范围是．
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题．
18．（1）；（2）见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由递推公式得故即，而故且，取对数得故为等比数列，从而；（2）当n=1或n=2时，验证原不等式成立. 当时,由二项式定理及不等式放缩法得，故有，从而=+,原命题得证.
试题解析：解：（1），即，
，则，，
（2）当时，，，=+，当时，显然成立．
考点：数列求通项公式及数列与不等式的综合问题
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页