2021-2022学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
下列抛物线经过原点的是
A. B.
C. D.
在中，，已知，下列结论正确的是
A. B. C. D.
如图，已知，它们依次交直线和于点、、和点、、，如果：：，那么下列结论中错误的是
A.
B.
C.
D.
如图，已知点、、、在同一条直线上，，，，如果，，那么的长等于
A. B. C. D.
已知与是非零向量，且，那么下列说法中正确的是
A. B. C. D.
已知在中，，，，如果与相似，且两条边的长分别为和，那么第三条边的长为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
已知，那么______．
已知反比例函数，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，的值随着的值增大而增大，那么的取值范围是______．
已知函数，如果，那么______．
已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，那么这条抛物线的表达式可以是______只要写出一个表达式．
已知是单位向量，与方向相反，且长度为，那么______用向量表示
已知二次函数的图象上有两点、，那么的值等于______．
如图，在中，平分，如果，，那么的度数等于______．
如图，在四边形中，，对角线、相交于点，如果，，那么______用含有字母的代数式表示
某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，给观众带来美感，如图，如果她踮起脚尖起舞时，那么她的腰部以下高度与身形之间的比值等于______．
如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交、交于点、，如果，，那么的长等于______．
如图，已知点、分别在线段和上，点是与的交点，，如果，，，那么的长等于______．
如图，在中，，，是边上的高，将绕点旋转，点落在线段上的点处，点落在点处，那么______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
计算：．
如图，已知，、相交于点，过作交于点，：：．
求的值；
设，，那么______，______用向量，表示
在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于横坐标为的点．
求这个反比例函数的解析式；
如图，已知是正比例函数图象在第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，与反比例函数图象交于点，如果，求点的坐标．
图为钓鱼竿安置于湖边的示意图，钓鱼竿有两部分组成，一部分为支架，另一部分为钓竿，图是钓鱼竿装置的平面图，，，支架中的厘米，厘米，，可以伸缩，长度调节范围为，钓竿放在支架的支点、上，并使钓竿的一个端点恰好碰到水面．
当的长度越______填“长”或“短”时，钓竿的端点与点之间的距离越远；
冬季的鱼喜欢远离岸边活动，为了提高钓鱼的成功率，可适当调节的长度，使钓竿的端点与点之间的距离最远，请直接写出你选择的的长度，并求出此时钓竿的端点与点之间的距离参考数据：，，
已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
求证：；
延长、交于点，求证：．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于点，，与轴交于点，联结．
求、的值和抛物线的表达式；
点在抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标；
将平移，平移后点仍在抛物线上，记作点，此时点恰好落在直线上，求点的坐标．
如图，在中，边上的高，，直线平行于，分别交线段，，于点、、，直线与直线之间的距离为．
当时，求的值；
将沿着翻折，点落在两平行直线与之间的点处，延长交线段于点．
当点恰好为的重心时，求此时的长；
联结，在的条件下，如果与相似，试用的代数式表示线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、将代入，得，所以该抛物线经过原点，本选项符合题意；
B、将代入，得，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；
C、将代入，得，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；
D、将代入，得，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；
故选：．
将分别代入各抛物线的解析式，如果求出，那么该抛物线经过原点．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，则该点的坐标满足函数的解析式．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握互余两角的三角函数的关系是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，：：，
，
，，故选项A、、结论正确，不符合题意；
连接，交于，
，
∽，
，
，
选项C结论错误，符合题意；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式判断、、，连接，交于，根据相似三角形的性质判断．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质得到，，证得≌，得到，进而得到，即可得出．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得≌是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、由与是非零向量，且知，与只是模相等，方向不一定相同，不一定成立，故不符合题意；
B、由与是非零向量，且知，与只是模相等，方向不一定相反，即不一定成立，故不符合题意；
C、由与是非零向量，且知，与只是模相等，不一定共线，故不符合题意；
D、由与是非零向量，且知，，符合题意．
故选：．
根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案
本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
与相似，
，
，
，
则第三条边的长为，
故选：．
根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质健康得到结论．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设，
则，，
，
故答案为：．
设，根据比例的性质求出，，把，代入，即可求出答案．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么，反之亦然．
8.【答案】
【解析】解：函数的图象在其所在的每一象限内，函数值随自变量的增大而增大，
，
解得：，
故答案为：．
根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．
本题考查了反比例函数的性质，关键掌握以下性质：反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．
9.【答案】
【解析】解：，
故答案为．
把代入函数关系式即可求得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数图象上点的坐标适合解析式．
10.【答案】答案不唯一
【解析】解：满足题意的抛物线解析式为：．
本题答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴是直线，开口向下即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是单位向量，与方向相反，且长度为，
，
故答案为：．
根据平面向量的性质解决问题即可．
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：二次函数，
抛物线的对称轴为直线，
点、都在抛物线上，
点、关于直线对称，
，
．
故答案为：．
根据点、坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出的值．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
．
故答案为：．
由三角形的内角和可求得，再由角平分线的定义得，利用三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握．
14.【答案】
【解析】解：在梯形中，，
，，
：：，
：：；
，
∽，
：：，
：：，
，
，
．
故答案为：．
首先根据：：，可得：：；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，和等高的三角形面积比是底与底的比，进而可以解决问题．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．
15.【答案】
【解析】解：某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，
，
故答案为：．
由黄金分割的定义即可得出答案．
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是熟记黄金分割的比值．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
斜边的垂直平分线分别交、交于点、，
，
，
故答案为：．
根据，，求出，则，，再根据，即可求出．
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，，
∽，
，
，，
，
设，则，
，，
，
．
．
故答案为：．
证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，设，则，得出方程，求出，则可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
将绕点旋转，点落在线段上的点处，点落在点处，
，，
，是边上的高，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，，
，
，
故答案为：．
如图，过点作于点，由旋转可知：，，利用三角函数可得，进而可得：，，运用勾股定理可得，，由等腰三角形性质可得，再运用三角函数可得．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数定义，解题关键是要熟练运用等腰三角形性质．
19.【答案】解：原式
．
【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，
，，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
由知：，
，
，
，
，
，
：：，
，
，
．
故答案为：，．
根据平行线的性质和相似三角形的判定证明∽和∽即可得出结论；
根据中结论和平面向量的加、减运算即可得出结论．
本题考查相似三角形的判定和性质以及平面向量，熟练掌握平行线的性质和平面向量的加、减运算是解题的关键．
21.【答案】解：把代入得：，
的坐标为，
把的坐标代入得：，
即反比例函数的表达式为；
过作于，
轴，
轴，
，
，
，，
，
点的纵坐标为，
把代入得：，解得，
即点的坐标为，
点的横坐标为，
把代入得，，
．
【解析】把代入求出的坐标，把的坐标代入求出即可；
过作于，求出，根据等腰三角形的性质求出，得出点的纵坐标为，代入求出点的坐标，即可得出点的横坐标，进而即可求得纵坐标．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，能求出各个点的坐标是解此题的关键．
22.【答案】长
【解析】解：观察图象可知，当的长度越长时，钓竿的端点与点之间的距离越远，
故答案为：长；
如图中，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形，四边形都是矩形．
厘米，厘米，厘米，
在中，厘米，厘米，
厘米，
，
，
，
，
，
厘米，
厘米，
答：的长度是厘米，此时钓竿的端点与点之间的距离约为厘米．
观察图象可知，当的长度越长时，钓竿的端点与点之间的距离越远，
如图中，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形，四边形都是矩形．分别求出，，，可得结论．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：，
，
，
，
∽，
，
即；
如图所示：
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
又，
．
【解析】由得出，得出，从而得出结论；
根据的结论和已知证明∽即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．
24.【答案】解：将代入，
解得，
，
将代入，
解得，
，
把，代入中，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
如图，过点作轴于点，
抛物线的解析式为．
抛物线的对称轴为，
，
，
，
又，
，
，
，
由可知，，
，
，
；
如图，若平移后的三角形为，
则，，
设，
，
点在直线上，
，
或，
或
【解析】利用待定系数法求出，两点坐标即可解决问题．
过点作轴于点，由直角三角形的性质得出，则，可列出方程求出的长，则可得出答案；
设，得出，由点在直线上可得出的值，则可得出答案．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．
25.【答案】解：如图，在中，边上的高，，
，
，
，，
，，
，
，即，
解得：，
的值为；
如图，将沿着翻折，点落在的重心点处，
，，即，，
，
，
，
，∽，
，即，
，
在和中，
，
≌，
，
，
此时的长为；
在中，，
将沿着翻折，点落在两平行直线与之间的点处，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，，
与相似，则∽或∽，
Ⅰ当∽时，
∽，
∽，
，即，
，
；
Ⅱ当∽时，
∽，
∽，
，即，
，
，
综上，线段的长为或．
【解析】根据，可得：，再由，，可得：，，利用，可得，建立方程求解即可；
由翻折可得：，，即，，进而得出：，推出，再由，可得出，利用证明≌，即可求得答案；
分两种情况：Ⅰ当∽时，由∽，推出∽，建立方程求解即可；Ⅱ当∽时，由∽，推出∽，建立方程求解即可．
本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，翻转变换的性质等，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．
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